单摆的自由振动研究
能源2班 徐士尧 201200181195
摘要：该文对单自由度系统的振动进行了研究，给出了一种研究单自由度振动的方法，并以单摆的振动为例做了详细的说明。笔者将常微分方程运用到力学模型“单摆振动”的研究上，找到了单摆运动的一般规律。
关键词：单摆 阻尼 共振
引言：振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式，它既被广泛应用，又可带来危害。例如单摆的往复运动、弹簧的振动、乐器中弦线的振动、机床主轴的振动、电路中的电磁震荡等等。下面我以单摆为研究对象来讨论有关自由振动和强迫振动的问题。
振动是指系统在某一位置附近的往复摆动，如单摆的自由振动。最低点是小球的势能极小值点，也是小球的平衡位置，除非小球能刚好被禁止放在最低点，否则便会来回往复摆动。可以想象，如果没有任何空气阻力带来的能量损耗，这个小球将会永不停止地来回摆动下去，这就是无阻尼自由振动的模型；而实际中总是有空气阻力损耗能量，小球的摆幅将会越来越小，最终停在最低点位置，此为有阻尼自由振动；而如果不停地从外界给小球输入能量，激励小球运动，即使有空气阻力耗散能量，小球也能不停地运动下去，此为受迫振动。下面我们一一来看。
（1） 无阻尼自由振动
分析
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小球受力即运动，则其无阻尼微小振动的方程为
(1)
记
，这里
>0是常数，（1）式可变为
（2）
方程通解为
， (3)
令
，
，
因此，若取
，
则式（3）可以改写为
从方程的解可以看出，不论反映摆初始状态的A 和
为何值，摆的运动总是一个正弦函数，这种运动就是简谐振动，周期T=
，且摆的周期只依赖于摆长l，而与初值无关。
（2） 有阻尼的自由振动
从上述解可以看到，无阻尼的自由振动是按正弦规律做周期运动，摆动似乎可以无限期的进行下去。但是，实际情况并非如此，摆总是经过一定时间的摆动后停下来，这是由于空气阻力的作用，其自由振动方程为：
（4）
（5）
记
，这里
是正常数，所以上式可以改写为
（6）
它的特征方程为
特征根为
对于不同的阻尼值n，微分方程有不同形式的解，分别代表不同形式的运动形式，现分下面三种情况进行讨论：
1 小阻尼的情形：
当
时，记
，则
，此时方程（6）的通解为
和前面的无阻尼情形一样，可以把上式通解改写成如下形式：
（7）
从式（7）可见，摆的运动已不是周期性的，振动的最大偏离随着时间的增加而不断减小，最后趋近于平衡位置，而从一个最大偏离到达下一个最大偏离所需时间为
。
2 大阻尼的情形：
当
时，特征方程有两个不同的负实根，方程的通解为：
（8）
从式（8）可以看出摆的振动也不是周期的，因为方程
对于t最多只有一个解，因此摆最多只通过平衡位置一次，而
当t足够大时，
的符号与
的符号相反。因此经过一段时间后，摆就单调地趋于平衡位置，因而在大阻尼的情形下，运动不再是周期性的，且不再具有振动的性质。
3 临界阻尼的情形：
当
时，方程的通解为
（9）
从上式可以看出，摆的振动也不是周期性的，它的运动规律同样不具有振动的性质。
（3） 无阻尼强迫振动
以上谈到的无阻尼和有阻尼振动都是自由振动，而当一个振动系统还经常受到一个外力的作用时，这种振动称为强迫振动。最常见的外力是按周期变化的，这里仅以以正弦规律变化的外力作用为例。
此时单摆微小强迫振动方程可写为
（10）
考查明无阻尼强迫振动，即
=0的情形。
令
，设
为已知常数，p为外力圆频率。这时（10）式变为
（11）
方程对应于其次线性微分方程的通解为
而方程有形如
的特解，这里M,N为待定常数，与式（11）比较得
因此方程的通解为
（12）
显然，通解由两部分组成，第一部分是无阻尼自由振动的解
，它代表固有振动，第二部分为振动频率与外力频率相同，而振幅不同的项
，它代表由外力引起的强迫振动。我们还可以看出，如果外力圆频率p越接近固有频率，则强迫振动项的振幅就越大。
如果
，则方程的解为
（13）
上式表示随着时间的增大，摆的偏离将无限增大，这种现象即为共振。但是，实际上，随着摆偏离的增加，到了一定程度，方程（10）就能描述摆的运动了。
（4） 有阻尼的强迫振动
此时，摆的运动方程变为
（14）
根据事实，大阻尼时方程并不能很好地描述方程的运动，所以这里只讨论小阻尼的情形，即
，则方程（14）所对应的齐次线性微分方程上的通解为
这里A为常数，
（见（2）中有阻尼自由振动的情形①）
现求方程的一个特解，寻求形如
（15）
的特解，这里M,N为待定常数，将式（15）代入（14）进行比较得
令
这时，可得方程的通解
（16）
从式中我们可以看到，摆的运动由两部分叠加而成，第一部分是有阻尼的自由振动，第二部分是系统本身的固有振动，它随时间的增长而衰减。
下面，研究外力圆频率p取何值时所引起的强迫振动达最大。
从式（16）可看出，只需讨论p取何值能使
达最小即可。记
将它对p求导
因此，只要
，即只要阻尼很小时，就解得
（17）
当p取此值时，我们有
，因而
在
时达到最小值。并可以得到相应的最大振幅为：
这种现象就是共振现象。
结论：通过对单摆各种情形的振动的研究，深入了解了系统的单自由度振动情况，并得出了各种情况下系统共振的条件，从而能便于我们控制系统的振动，发挥振动的优点，尽量减少振动的危害。
结语：通过这次小
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的撰写，我学习了很多，可谓受益匪浅，更深入地了解了单摆的振动过程，熟练地掌握了公式编辑器等其他工具，感谢陈老师给我这次实践的机会，文中任由许多不足之处，烦请老师指正。
参考文献：
范钦珊 陈建平《 理论力学》（第二版）第十七章 离散系统的振动 高等教育出版社
倪振华 《振动力学》西安交通大学出版社
2011-1-5
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