高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数学数列 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型之等差数列与等比数列综合题 等差数列与等比数列综合题 例 已知等差数列满足:a,7，aa，,26，的前项和为S( naa,,,,357nnn aS(?)求及; nn 1*,T=(N)，求数列的前项和( (?)令bnnbn,,nn2a,1n a,7aa，,26【解析】(?)设等差数列的公差为d，因为，，所以有 a,,357n ad，,27,1ad,,3,2，解得， ,121026ad，,1, n(n-1)2an,，,321)=2n+1(S所以;==。 n+2n3n+2，nn2 1111111=,a,2n+1(?)由(?)知，所以b===， ,(-)nn22(2n+1)1,4n(n+1)a,14nn+1n n11111111T所以==， ,,(1-+++-),(1-)=n4(n+1)4223nn+14n+1 nT即数列的前n项和=。 b,,nn4(n+1)【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 2*Sknn,，nS{}a例 设为数列的前项和，，，其中是常数( nN,knnn aa (I) 求及; 1n *aaa (II)若对于任意的mN,，，，成等比数列，求的值( km2m4m n,1,a,S,k，1解(?)当， 11 22n,2,a,S,S,kn，n,[k(n,1)，(n,1)],2kn,k，1,() nnn,1 ,？a,2kn,k，1n,1, 经验，()式成立， n 2？a,a,a(?)成等比数列，， ？a,a.am2m4m2mm4m 2(4km,k，1),(2km,k，1)(8km,k，1)mk(k,1),0即，整理得:， 对任意的成立， ？k,0或k,1m,N, asSSS例 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 nn132 )求{a}的公比q; (1n aas(2)求,,3，求 13n 解:(?)依题意有 2a，(a，aq),2(a，aq，aq) 111111 由于 a,0，故 1 22q，q,0 1q,, 又，从而 5分 q,02 12 (?)由已知可得 a,a(,),3112 故a,4 1 1n41,,(())81n2 从而 10分 S,,1,,(())n1321,,()2 aa，*nn，1例 已知数列满足， . ,,12,,aaanN,,a},’，212nn2 {}bbaa,,令，证明:是等比数列; ,，，nnnn，1 (?)求的通项公式。 a},n baa,,,1,(1)证 121 aa，11nn,1当时， baaaaab,,,,,,,,,()n,2nnnnnnn，,,111,222 1,所以是以1为首项，为公比的等比数列。 b,,n2 1n,1(2)解由(1)知baa,,,, (),nnn，12 11n,2aaaaaaaa,，,，,，，,()()()当时，,，，,，，, 11()()n,2nnn121321,22 1n,1,,1()21521n,2n,12,，,,,,, (),1[1()],，1133232,,1()2 52111,当时，。 ,,,,()1an,11332 521n,1*所以。 anN,,,,()()n332 nnS例 设数列的前项和为，已知 ababS,,,21,,，，nnnn n,1(?)证明:当时，是等比数列; an,,2b,2,,n (?)求的通项公式 a,,n na,2解 由题意知，且 babS,,,21，，1nn n，1 babS,,,21，，nn，，11 n两式相减得 baaba,,,,21，，，，，，11nnn naba,，2即 ? ，1nn naa,，22(?)当时，由?知 b,2，1nn nnn于是 anan,，,,，,，,122212，，，，，1nn n,1 ,,,22an，，n n,1n,1a,,,,1210又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。 an,,2,,1n nn,,11n,1an,,,22(?)当时，由(?)知，即 an,，12b,2，，nn 当时，由由?得 b,2 11nnn，，11 aba,,,，,,222nn，1,,bb22 bn 2,,,ban2,b 1,,n,,,ba2 n,,,b2,,11,,nn，1aba,,,,,,22因此 nn，1,,bb,,22,, 21,b，，n,,b 2,b 21n,,,得 a,,1n,1nn，，2222，,,bbn，，,，，2,b, 11n，{}a例 在数列中，, aaa,,，，1,(1)n11nn，nn2 an{}b(I)设，求数列的通项公式; b,nnn n{}aS(II)求数列的前项和 nn aa11nn，1解:(I)由已知有 ,，？,,bbnn，1nn，nn122 1*{}b 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: () b,,nN,2nn,1n2 n(II)由(I)知, ,,2ann,1n2 nnnkk(2)k,,,(2)？kS= ,,,n,1,1kk22,1k,,11kk nnk(2)(1)knn,，而,又是一个典型的错位相减法模型， ,,k,12k,1,1k nkn，2n，2,,4？S易得 =nn(1)， ，,4,nkn,,11n,1222k,1 ,,例 已知数列anSa,13a，2S,3n的前项和为，，且(为正整数) nn1n，1n ,,a(?)求出数列的通项公式; n k,Sn(?)若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值. kn ？？3a，2S,33a，2S,3解:(?)， ? 当时，. ? n,2n，1nnn,1 a1n，1？,3a,3a，2a,0 由 ? - ?，得. (n,2). n，1nna3n 1？a,13a，2a,3 又 ，，解得 . a,12123 1？,,a q, 数列是首项为1，公比为的等比数列. n3 n,11,,n,1aaq？,,n (为正整数) ,,n1 3,, 31，，n？S,1,()(?)由(?)知 n,,23，， n，，31,,k1,, 由题意可知，对于任意的正整数，恒有，. n,,,,23,,,,，， n,,12,,,,？ 数列1,单调递增， 当时，数列中的最小项为， n,1,,,,33,,,,,, ？ 必有，即实数的最大值为1 k,1k ,,,,,naa,1,Sa例 各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有 n,Nn1nn2; 2S,2pa，pa,p(p,R)nnn ,,a?求常数的值; ?求数列的通项公式; pn 4Snn,,nbb,,2?记，求数列的前项和。 Tnnn，3 2,a,1解:(1)由及，得:2,2p，p,p ？p,1 2S,2pa，pa,p(n,N)1nnn 2 (2)由 ? 2S,2a，a,1nnn 2 得 ? 2S,2a，a,1n，1n，1n，1 22 由?—?，得 2a,2(a,a)，(a,a)n，1n，1nn，1n2(a，a)(a,a),(a，a),0 即: n，1nn，1nn，1n ？(a，a)(2a,2a,1),0 n，1nn，1n 1,,？2a,2a,1aa,a, 由于数列各项均为正数， 即 n，1nnn，1n2 1？,,a 数列是首项为，公差为的等差数列， 1n2 1n，1？,,aa,1，(n,1)，, 数列的通项公式是 nn22 4Sn(n，3)n，1nnn？b,,2,n,2S, (3)由a,，得: nnn24n，3 23n？T,1，2，2，2，3，2，？？，n,2 n 23nn，12,T,2，2，2，？？，(n,1)，2，n，2 n n2(1,2)23nn，1n，1n，1,T,2，2，2，？？，2,n,2,,n，2,,(n,1),2,2 n1,2 n，1Tn,,,，(1)22 n n,,a中，a,,3,a,2a，2，3(n,2,且n,N,).例 在数列1,1nnn 求a,a的值;(1) 23 a，3,n,,(2)设b,(n,N),证明:b是等差数列; nnn2 ,,a的前n项和S.(3)求数列 nn. n？a,,3,a,2a，2，3(n,2,且n,N,),解(1) 1,1nn 2？a,2a，2，3,1 21 3a,2a，2，3,13. 32 ,n,N, (2)对于任意 a，3a，31n，1n，，？b,b,,,,,a,2a,3 n，1nn，1nn，1nn，1222 1n，1,, =，，2，3,3,1， n，12 a，3,3，31,,？b,,0 数列是首项为，公差为1的等差数列. n22 a，3n,0，(n,1)，1, (3)由(2)得， n2 n,？a,(n,1),2,3(n,N). n 23n,,，，？S,,3，(1，2,3)，(2，2,3)，？，n,1,2,3 ， n 234n，，S,1，2，2，2，3，2，？，n,1,2,3n. 即 n 234n，，T,1，2，2，2，3，2，？，n,1,2, 设 n 345n，1，，2T,1，2，2，2，3，2，？，n,1,2, 则 n 234nn，1，，,T,2，2，2，？，2,n,1,2 两式相减得， n n,14(1,2)n，1,,(n,1),2, 1,2 n，1T,4，(n,2),2, 整理得， n n，1,S,4，(n,2),2,3n(n,N). 从而 n 12,,aS,na例 已知数列的首项，前n项和. a,nnn12 n(?)求证:,; aan，1n，n2 ,Tn,,bb,lnST(?)记，为的前n项和，求的值. e,nnnnn 22S,na解:(1)由?，得S,(n，1)a?， nnn，1n，1 n?-?得:. ,aan，1n，n2 n1(2)由求得. ,aaa,n，1nn，n(n，1)n2 n2?， b,lnS,lnn,ln(n，1)S,na,nnnnn，1 Tnnn,,，,，,，，,，,,，(ln1ln2)(ln2ln3)(ln3ln4)(lnln(1))ln(1) n ,Tln(n，1)n?. e,n,e,n,1 asSSS例 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 nn132 a(1)求{}的公比q; n aas(2)求,,3，求 13n 解:(?)依题意有 2a，(a，aq),2(a，aq，aq) 111111 22q，q,0a,0 由于 ，故 1 1q,,q,0 又，从而 2 12a,4a,a(,),3 (?)由已知可得 故 1112 1n41,,(())81n2 从而 S,,1,,(())n1321,,()2 a,a,a例 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列. amm，2m，1n (1)求q的值; S,S,S(2)设数列的前项和为，试判断是否成等差数列,说明理由. nS{a}mm，2m，1nn 解:(1)依题意，得2a = a + am+2m+1m m+1 mm – 1?2aq= aq + aq111 在等比数列{a}中，a?0，q?0， n1 12?2q = q +1，解得q = 1或. ,2 (2)若q = 1， S + S= ma+ (m+1) a=(2m+1) a，S= (m+2) a mm+1 1 11m + 2 1 ?a?0，?2S?S + S 1m+2 mm+1 1m2，1,(,)2111m2若q =，S= ,,,(,),m + 1 123621,(,)2 11mm，11,(,)1,(,)421141122mm，1m，S + S = = ,(,),,[(,)，(,)]mm+11133233221,(,)1,(,)22 ?2 S = S + S m+2 mm+1 故当q = 1时，S , S , S不成等差数列; mm+2m+1 1当q =时，S , S , S成等差数列. ,mm+2m+12 {}aaaa,,,2,3,6例6 已知数列中，，且对时 n?3n012 ananana,，,，,(4)4(48)有( nnnn,,,123 ,{}bbanan,,,,N(?)设数列满足，证明数列{2}bb,为等比数列，并求数nnnn1nn，1,{}b的通项公式; 列n S{}na(?)记，求数列的前项和 nnnn，,，，，,(1)21!nn (?) 证明:由条件，得， anaanaana,,,,,,,4[(1)]4[(2)]nnnnnn,,,,,11223则( anaanaana,，,,,,,(1)4[]4[(1)]nnnnnn，,,,1112 即，所以bbbb,,,22(2)，bbbbb,,,,44.1,0又nnnn，,11nnn，,1112 bb,,,,220( 21 ,所以{2}bb,是首项为2，公比为2的等比数列( nn，1 nn,1bb,,,22bbbb,,,,,22(2)2，所以( 21nn，121 bb1n，1nn，12两边同除以，可得( ,,,nn，1222 b11,,n于是为以首项，,为公差的等差数列( ,,n222,, bbn1nn1所以( (1),2(1),,,,,nb得nn2222 nnnn,,11ca,,2cnc,ananna,,,,,22(2)(?)，令，则( nnnn,1nnn,,11 而ccnncnn,？,,,,,,,,,,,1 (1)21(1)21，( 11n nann,,,,,，(1)212?( n nnnannnnnnn,,,,,,,，,，,，,(1)212(1)!!2， n 2nSnnn,,，,，，，,，，，，，，，(2!1!)(3!2!)(1)!!(12222)?( n 2n令T,， ? 12222，，，，，，nn 231nn，1222(1)22，，，，，,，，，nn则2T,( ? n n，121nn，,(1)22n,，?,?，得T,，T,( 2222，，，,，nnn n，1Snn,，，,，(1)!(1)21?( n aa21，1*nn,,11,例7 已知数列满足a,，且当，n,,时，有 an,1,,1naa12,5nn ,,1(1)求证:数列为等差数列; ,,an,, aa(2)试问是否为数列中的项,如果是，是第几项;如果不是，请说明理由. a,,12n aa21，nn,,11,证明:(1)由得 aaaa1221,,，，，，，nnnn,,11aa12,nn aaaa,,4即 nnnn,,11 aa上式两边同时除以得 nn,1 11,,,41n ，，aann,1 ,,11,5 又，是首项为5，公差为4的等差数列 ,,aa1n,, 11,，,541n(2)又(1)知 ，即 a,，，nan，41n 11？ ， a,aa,212945 11令， 解得 a,,n,11nn，4145 aa所以 是数列的第11项 a,,12n aab,，23,,nnn，1ab,,1,0例8 设数列满足且 ab,n,1,2,3,,,,,,11nnbab,，2,nnn，1, (?)求,的值，使得数列为等比数列; ab，,,,nn (?)求数列和的通项公式; ab,,,,nn Sn,(?)令数列和的前项和分别为和，求极限的值( ablimnSS,,,,nnnnn,,,Sn cab,，,q,0(?)令,，其中为常数，若c为等比数列，则存在使得 ,,nnnn cabqab,，,，,,()( nnnnn，，，111 ,，，，(2)(32),,abababab，,，，，,,23(2)又( nnnnnnnn，，11 qabab()(2)(32)，,，，，,,,所以( nnnn (2)(32)0,1,2,3,，,，，,,,,,,qaqbn由此得 nn ab,,1,0ab,,2,1由及已知递推式可求得，把它们代入上式后得方程组 2211 20,，,,,q,,,,3 消去解得( q,320，,,q,,, 下面验证当时，数列为等比数列( ab，3,,3,,nn ， (1,2,3,)n,ababab，,，，，,，，3(23)(323)(23)(3)nnnnnn，，11 ，从而是公比为的等比数列( ab，3ab，,,31023，,,nn11 ,,,3同理可知是公比为的等比数列，于是为所求( ab,323,,,nn n,1n,1(?)由(?)的结果得，，解得 ab，,，3(23)ab,,,3(23)nnnn nn,,11nn,,1131，，，，b,，,,2323a，( ,，，,2323，，，，，，，，nn,,,,，，6，，2 n,1(?)令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令dd,，(23)p,，23,,nn 其前项和为; nPn n,1, 令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令ee,,(23)p,,23,,nn ,其前项和为( nPn 13,,,SPP,， 由第(?)问得()，( SPP,,()nnnnnn26 ,Pn1，,SPPP，nnnn ( 33,,,,,P,,SPP,nnnn1,Pn 1,0231,,, 由于数列e的公比，则( P,lim,,nn,,n,,1(23) 11nn,1()(),1111,p1pp,,,23,, ，由于，则， ,lim0nn,,1pPp1,nP23，nn()1,p ,PSnnlim0,于是，所以 lim3,n,,,,nP,Snn 2例9 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成,,naSn,N*aSa,,nnnnn 等差数列. (?)求数列的通项公式; ,,an nxln，,x,1,e(?)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数(是常数，,,b,bTnennn2an ,,,,2.71828)和任意正整数，总有 2; ,enTn n，1*(?) 正数数列中，.求数列中的最大项. ,,,,cc，，a,c,(n,N)nn1n，n *2n,N(?)解:由已知:对于，总有 ?成立 2Saa,，nnn 2? (n ? 2)? 2Saa,，nn,,11n,1 22?--?得 2a,a，a,a,annnn,n,11 ，，，，a，a,a，aa,a? nn,1nn,1nn,1?均为正数，? (n ? 2) a,aa,a,1nn,1nn,1?数列是公差为1的等差数列 ,,an 2又n=1时，， 解得=1 a2Saa,，1111 *n,N?.() a,nn nxln1，,x,1,e(?)证明:?对任意实数b,和任意正整数n，总有?. n22nan 111111T,，，？，,1，，，？，? n222，，1,22,3n,1n12n 111111,1，1,，,，？，,,2,,2 223n,1nn 2a,c,2,c,2(?)解:由已知 ， 211 3443a,c,3,c,3,a,c,4,c,4,2,322433 55a,c,5,c,5544 ccccc,,,,,... 易得 12234 猜想 n?2 时，是递减数列. ,,cn 1,x,lnxlnx1,lnxx,令 ，，，，fx,,则fx,,22xxx ,，，?当x,3时，lnx,1,则1,lnx,0，即fx,0. ?在内为单调递减函数. ,，，，3,，,fx lnn，1，，n，1a,clnc,由. 知nnn，1n，1 ?n?2 时, 是递减数列.即是递减数列. ,,c,,lncnn 3又 , ?数列中的最大项为. ,,ccc,c,3n122 例10 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足anS,,nn 2222aaaaS，,，,,7。 23457 (1)求数列的通项公式及前项和; anS,,nn aamm，1(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项。 am,,nam，2 2222解:(1)设公差为，则，由性质得，aaaa,,,,，,，3()()daadaad43432543 76，d,0因为，所以，即，又由得，aa，,0S,777ad，,250ad，,431712 解得，a,,51 d,2, aa(27)(25)mm,,mm，1(2)=,设， 23mt,,23m,am，2 (方法一) aa(4)(2)8tt,,mm，1,，,t6则=, 所以为8的约数 tttam，2 aaaa(4)(2),,8mmmm，，，122(方法二)因为为数列中的项， ,,,，a6a,,m，2naaammm，，，222 8amm,,,,,231,1,2即故为整数，又由(1)知:为奇数，所以 am，2m，2 am+2 经检验，符合题意的正整数只有。 m,2 a,2aacn,，aaa，，例12 数列中，，(是常数，)，且成an,123，，，c,,1nn，1123n 公比不为的等比数列。 1 (I)求的值; c (II)求的通项公式。 a,,n aaaa,2ac,，2ac,，23解:(I)，，，因为，，成等比数列， 123132 2(2)2(23)，,，cc所以，解得或( c,0c,2 aaa,,当时，，不符合题意舍去，故( c,0c,2123 aac,,aac,,2(II)当时，由于，， n?22132 nn(1),aanc,,,(1)，所以。 aancc,,，，，,,[12(1)]nn,1n12 2a,2annnnn,，,,,，,2(1)2(23)，，又，，故(当n=1时，上式也成立，c,21n 2annn,,，,2(12)，，所以 n S{a}P(n,S)例13 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数nnnnnn 2kP(n,S)f(x),x，2x的图像上，且过点的切线的斜率为( nnn {a} (1)求数列的通项公式( n knb,2aT{b} (2)若，求数列的前项和( nnnnn ,,{c} (3)设Q,{xx,k,n,N},R,{xx,2a,n,N}，等差数列的任一项nnn c{c}c,Q,R110,c,115Q,R，其中是中的最小数，，求的通项公1nn10 式. 22*？P(n,S)f(x),x，2x解:(1)点都在函数的图像上，, SnnnN,，,2()nnn aSSn,,,，21.时， 当n2,nnn,1 {a}aS,,3an,，21.当,,1时，满足上式，所以数列的通项公式为 n11n 2‘f(x),x，2xfxx()22,， (2)由求导可得 kP(n,S)？,，kn22过点的切线的斜率为，. nnnn knn？,,，,ban24(21)4,. nn 123n？,，，，，，，，，，,,,，，，T+443445447421)4(n? n 由?×4，得 2341n，443445447421)4T+4,，，，，，，，，，,,,，，，(n? n ?-?得: 231nn，，， 343424421)4T+4-(n,,，，，，，,,,，，，，n，， 21n,，，41(,4)n，1 n,，，，，，434221)4-(,,14,，， 6116n，n，2 T？,,,4n99 ,, (3),？,,QRR. QxxnnNRxxnnN,,，,,,，,{22,},{42,} ccQR,,？,c6Q,R又，其中是中的最小数，. 11n *？,，,cmmN46()是公差是4的倍数，. c,,10n 11046115,，,m,110115,,c又，？,解得,,27. ,10*mN,, c,114所以， 10 cc,1146,101d,,,，12设等差数列的公差为，则 d1019, ？,，，，,,cnn6(1)12126cn,,126，所以c的通项公式为 ,,nnn 3aa,,,2SSS,，，,3210anS例14 已知是数列的前项和，，且，其,,12nnnn，,11n2 *nnN,,2,中. aa,,(1)求数列的通项公式; nn S(2)求 . n 解:? SSS,，，,3210SSSS,,,,2()1,nnn，,11nnnn，,11 aan,,,21(2),nn，1 3**？aanN,,,21()又也满足上式，() aa,,,12(1)aa,,,2nN,,nn，1nn，1122 1？a,1数列是公比为2，首项为的等比数列 a,,1,,n12 1nn,,12 a,,，,122n2,,1012n? Saaa,，，，...,，，，，，，，，212121...21，，，，，，，，nn12 ? Saaa,，，，...nn12 ,,1012n ,，，，，，，，，212121...21，，，，，，，， n,21,,1012n ,，，，，222...2n,，n，，2