武汉大学2007-2008第二学期高数（B2）期末试题（附答案）

武汉大学2007-2008第二学期高数（B2）期末试题（附答案）武汉大学2007-2008第二学期高数（B2）期末试题（附答案）武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学B2》(180学时)考试试题 (A卷) 一、(36分)试解下列各题: 20xy，,,xyz,1、求通过直线且平行于直线的平面方程; ,,,4236xyz，，,124,, hABAC,,,,{0,4,3},{4,5,0}2、在两边向量为的中，求边上的高; AB,ABC 222xyz，，,63、求曲面在点处的切平面和法线方程; (1,2,1), 2?zxy24、设，求二阶偏导数; zeyx=+ln...

武汉大学2007-2008第二学期高数（B2）期末试题（附答案）武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学B2》(180学时)考试试题 (A卷) 一、(36分)试解下列各题: 20xy，,,xyz,1、求通过直线且平行于直线的平面方程; ,,,4236xyz，，,124,, hABAC,,,,{0,4,3},{4,5,0}2、在两边向量为的中，求边上的高; AB,ABC 222xyz，，,63、求曲面在点处的切平面和法线方程; (1,2,1), 2?zxy24、设，求二阶偏导数; zeyx=+ln抖xy 222Dxyxyaxy,，,,,{(,)|,0,0}、计算二重积分，其中; 5xyxydd,,D 201,x6、交换积分次序。 dxfxydy(,),,,，11x 1zxyxy,，，,,(0,0)二、(10分)求函数的极值。 xy x三、(12分)设函数具有连续导数，曲线积分与路径无关, gx()[()]d()degxyxgxy，,,L 1 1、求满足条件的函数; gx()g(0),,2(1,1)x 2、计算[()]d()degxyxgxy，,的值。 ,(0,0) 1357四、(12分) 证明级数收敛，并求其和。，，，，24816 2xy,22,0xy，,,22xy，fxy(,),f(0,0)五、(15分)1、求函数的二阶偏导数; ,xy22,0,0xy，,, ,,,,,,2、问微分方程yyy,,,20的哪一条积分曲线yyx,()通过点(0,3),，在这点处有 ,,y|,f(0,0)倾角为的切线，且。 arctan6xyx,0 ze22六、(15分)试求向量穿过由所围成区域的外侧面zxyzz,，,,,1,2Fizjk,，，22xy， (不包含上、下底)的流量。 1 武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学B2》(180学时A卷)考试试题参考解答 20xy，,,,一、解:通过直线的平面束方程为: (1) 4236(2)0xyzxy，，,，，,,, 1、4236xyz，，,,, xyz欲使平面(1)平行于直线，则,, 124 代入(1)得所求平面方程为:422(2)1205，，，，,,,,,,,220xyz，,，, ijk 1125SABBC,，,,,||043 2、的面积为:, ,ABC222450, hh,5SAB,||||01695AB,，，,又,,故 2222FxyzFxFyFz,，，,,,,6,2,2,23、设 xyz 故得曲面在点处的法向量为:。 (1,,2,1)2,4,22{1,2,1},,,,, 故切平面方程为:即 (1)2(2)(1)0xyz,,，，,,xyz,，,26 xyz,，,121 法线方程为: ,,121,xy2xexyy(1)2，，2yyxyxyxyzeyxe,，，, 4、，， zye=+xyxxxx,a42a3 5、 ,,cossin,,,xydxdydrdr,,,,800D11y,201,11,,,,,,,yyxy6、由已知得:，所以有:原式,dyfxydy(,)2,, 01,,y ,z1,,,,102x,1,,,xxy,,,二、解: 又求二阶导数: ,,y,1,z1,,,,,,102,,yxy,,,,,,,312231AzxyBzxyCzyx,,,,,,2,,2 xxxyyy 2 在点处，，故为所求极小值。 (1,1)BACA,,,,,,30,20z(1,1)3, ,,QPxQgxPegxy,,,，()[()]三、解:1、由且得 ,,,xy ,dxdx1x2xxx,,,,gxgxe()()，,,解得: gxeeedxceec,,，,,，()[(][],2 11x由得: 所以 gxe,,g(0),,()c,0，22(1,1)11111xx 2、eyxyedye，,, ded,,2222(0,0)0 ,un2(1)1，,211n,21n,n，1 四、解:级数可写为，由 limlim/,,,nnn，1nn,,,,1n,2u222n,,,,211nnn, 故级数收敛。 ,,,,1,,,,nnnn11,,nnnn1111,,,,2222,n,1sxnx(), 作函数级数此级数的收敛区间为||1x,，两边积分，有:,n,1 ,,xxx1nn,(),,, sxdxnxdxx,,,,0011nn,,1,x 1sx(), 将上式两边微分得: ||1x, 2(1),x ,211n, 故 ,,,,,s()1413,n1n,22 2 fxf(,0)(0,0),00,f(0,0)limlim0,,,五、解:1、 xxx,,00xx22332()2xyxyxy，,2xy22当时， xy，,0fxy(,),,x222222()()xyxy，， fyf(0,)(0,0),00,xx所以 f(0,0)limlim0,,,xy,,00yyyy32，解得:，即微分方程的通解为:2、此方程的特征方程为:rrr,,,,0,2,1rrr,,,201232xx,ccc，，,,3，由积分曲线通过点，故得， (1) yccece,，，(0,3),1231232xx,,arctan6又在这点处有倾角为的切线，故有， ycece|(2)|tan(arctan6),,,xx,,0230 ， (2) 即26cc,,232xx,,,由题设知，即 (3) ycece|(4)|0,，,40cc，,23xx,,0230 联立(1)、(2)、(3)解得: ccc,,,,0,1,4123 2xx,则所求积分曲线为: yee,,4 六、解: 补充有向平面方向分别向下和上，记为圆台外侧，法向向外，是由,,:1,:2zz,,,,12 22,zzzxy,,,，1,2,所围成的闭区域，为的边界曲面的外侧，则所求流量为: ,,z e ,,,,,，，()Fdsdydzzdxdzdxdy,,,,,,,,22，xy,,,,,11z22,zzeez2，，,,,,,2dydzzdxdzdxdydvedzddre,,,,,,,,2222，，xy,xy,,100 z ee ，，,,,,2,dydzzdxdzdxdydxdye,,,,222222，，xyxy,，,1xy1 z2ee2，，,,4,dydzzdxdzdxdydxdye,,,,222222，，xyxy,，,xy42 所以 ,,,2(1),ee 3

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