高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解

高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解 习题十 21. 根据二重积分性质，比较与的大小，其中: ln()dxy，,[ln()]dxy，,,,,,DD (1)D 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示以(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形; (2)D表示矩形区域. {(,)|35,02}xyxy,,,, 解:(1)区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有 图10-1 12,，,xy 从而 0ln()1,，,xy 2故有 ln()[ln()]xyxy，,， 2所以 ln()d[ln()]dxyxy，,，,,,,,,DD (2)区域D如图10-2所示.显然，当时，有. (,)xyD,xy，,3 图10-2 从而 ln(x+y)>1 2故有 ln()[ln()]xyxy，,， 2所以 ln()d[ln()]dxyxy，,，,,,,,,DD 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值: (1); IxyDxyxy,，,,,,,4d,{(,)|02,02},,,D 22(2); IxyDxyxy,,,,,,sinsind,{(,)|0,π,0π},,D 2222(3). IxyDxyxy,，，,，,(49)d,{(,)|4},,,D 解:(1)因为当(,)xyD,时，有, 02,,y 02,,x 206 因而 . 04,,xy 从而 2422,，,xy故 2d4d22d,,,,，,xy,,,,,,DDD 即 2d4d22d,,,,，,xy,,,,,,DDD 而 (为区域D的面积)，由=4 σσd,,,,,D 得 . 84d82,，,xy,,,D 22(2) 因为，从而 0sin1,0sin1,,,,xy 22 0sinsin1,,xy 22故 0dsinsind1d,,,,,xy,,,,,,DDD 22即 0sinsindd,,,xy,,,,,,,DD 2而 ,,π 222所以 0sinsind,,xy,π,,D 22(3)因为当时，所以 (,)xyD,04,，,xy 2222 9494()925,，，,，，,xyxy 22故 9d(49)d25d,,,,，，,xy,,,,,,DDD 22即 9(49)d25,,,,，，,xy,,D 2而 ,,,,π24π 22所以 36π,，，,(49)d100xy,π,,D 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值: 22222(1) ()d,{(,)|};axyDxyxya,，,，,,,,D 222222(2) axyDxyxya,,,，,d,{(,)|}.,,,D 22解:(1)在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以(0，0，a)为顶点的圆锥的体积，所以()d,axy,，,,,D 207 1223 axya,，,,()dπ,,D3 222(2)在几何上表示以原点(0，0，0)为圆心，以a为半径的上半球的体积，故axy,,d,,,D 22223 axya,,,,dπ.,,D3 12224. 设f(x，y)为连续函数，求. fxyDxyxxyyr,,,，,,lim(,)d,{(,)|()()}00,,2Dr,0rπ 解:因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得 ，,(,),,,D 2 fxyfrf(,)d(,),,,,,,,,,,π(,),,D 又由于D是以(x)为圆心，r为半径的圆盘，所以当时， ，y(,)(,),,,,xyr,00000 112fxyrff,,,,,,,,lim(,)dlimπ(,)lim(,)22,,Drrr,,,000rrππ于是: ,,ffxylim(,)(,),,00,,,xy(,)(,)00 5. 画出积分区域，把化为累次积分: fxy(,)d,,,D (1); Dxyxyyxy,，,,,,{(,)|1,1,0} 2(2) Dxyyxxy,,,,{(,)|2,} 2(3) Dxyyyxx,,,,{(,)|,2,2}x 解:(1)区域D如图10-3所示，D亦可表示为. yxyy,,,,,,11,01 11,y所以 fxyyfxyx(,)dd(,)d,,,,,,Dy01, 22(2) 区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y的交点为(1，-1)，(4，2)，区域D可表示为 . yxyy,,，,,,2,12 图10-3 图10-4 22y，所以 fxyyfxyx(,)dd(,)d,,2,,,,Dy,1 22(3)区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线与x=2的交点为(2，1)，区域Dy,y,xx 208 2可表示为 ,,,,yxx2,12.x 图10-5 22x所以. fxyxfxyy(,)dd(,)d,,2,,,,D1x 6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序: 22yelnx(1); (2) ; d(,)dyfxyxd(,)dxfxyy2,,,,0y10 πsinx132,y(3) ; (4) ; d(,)dxfxyyd(,)dyfxyxx,,,,,0sin0y2 1233yy,(5) . d(,)dd(,)dyfxyyyfxyx，,,,,0010 2解:(1)相应二重保健的积分区域为D:如图10-6所示. 02,2.,,,,yyxy 图10-6 xD亦可表示为: 04,.,,,,xyx2 224yx所以d(,)dd(,)d.yfxyxxfxyy, x2,,,,00y2 (2) 相应二重积分的积分区域D:1e,0ln.,,,,xyx如图10-7所示. 图10-7 209 yD亦可表示为: 01,ee,,,,,yx eln1ex所以 d(,)dd(,)dxfxyyyfxyx,y,,,,100e (3) 相应二重积分的积分区域D为:如图10-8所示. 01,32,,,,,,yyxy 图10-8 D亦可看成D与D的和，其中 12 2D: 01,0,,,,,xyx1 1D: 13,0(3).,,,,,xyx22 12,,yxx13213(3)2所以. d(,)dd(,)dd(,)dyfxyxxfxyyxfxyy,，,,,,,,y00010 x(4) 相应二重积分的积分区域D为:如图10-9所示. 0,,,,,xyxπ,sinsin.2 图10-9 D亦可看成由D与D两部分之和，其中 12 D: ,,,,,,10,2arcsinyyxπ;1 D: 01,arcsin,,,,,yyxyπarcsin.2 πsin0xyπ1π,arcsin所以d(,)dd(,)dd(,)dxfxyyyfxyxyfxyx,， x,,,,,,0sin12arcsin0arcsin,,,yy2 (5) 相应二重积分的积分区域D由D与D两部分组成，其中 12 D:01,02,,,,,yxy D:13,03.,,,,,yxy 12 如图10-10所示. 210 图10-10 xD亦可表示为: 02,3;,,,,,xyx2 123323yyx,,所以 d,dd(,)dd(,)dyfxyxyfxyxxfxyy，,，，x,,,,,,0010027. 求下列立体体积: 2222(1)旋转抛物面z=x+y,平面z=0与柱面x+y=ax所围; 222(2)旋转抛物面z=x+y,柱面y=x及平面y=1和z=0所围. 解:(1)由二重积分的几何意义知，所围立体的体积 2222V=其中D: {(,)|}xyxyax，,()ddxyxy，,,D 22由被积函数及积分区域的对称性知，V=2， ()ddxyxy，,,D1 其中D为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得 1 acos,πππacos,11334444222. Vrrraa,,,,,,,,2dd2dcosdπ,,,,000042320 (2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积 22 Vxyxy,，()dd,,,D 2其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示. 图10-11 2D可表示为: ,,,,,11,1.xxy 112222所以 Vxyxyxxyy,，,，()ddd()d2,,,,Dx,1 11111188，，23246 xyyxxxxx,，,，,,,d()d.,,,,,,112333105，，x 8. 计算下列二重积分: 211 2x1(1) dd,:12,;xyDxyx,,,,,,2Dyx x y2(2) D由抛物线y=x,直线x=0与y=1所围; edd,xy,,D 22(3) D是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形; xyxy,dd,,,D . (4) cos()dd,{(,)|0xyxyDxyxxy，,,,,,π,π},,D x222222xxxx3解:(1) ddddddxyxyxxxx,,,,,，，1,,,,,,22111Dyyy1xx 2119，，42 ,,,xx.,,424，，1 (2) 积分区域D如图10-12所示. 图10-12 2D可表示为: 01,0.,,,,yxy xxx2211yyxyyy所示 edddedded()xyyxyy,,,,,,,,0000Dy 2yx1111yyy ,,,,,yyyyyyyyed(e1)dedd,,,,00000 1111111yyy2 ,,,,,,yyyyyydedeed.,,,0000220(3) 积分区域D如图10-13所示. 212 图10-13 D可表示为: 01,.,,,,,xxyx x211x，，xyy222222所以 ddddarcsindxyxyxxyyxyx,,,,，,,,,,,,,,00Dx22x，，,x 11ππ1π23 ,,,,xxxd.,022360 ππππ(4)cos()dddcos()d[sin()]dxyxyxxyyxyx，,，,，x,,,,,Dx00 ππ,，,,,,[sin(πxxxxxx)sin2]d(sinsin2)d ,,00 π11，，,,.coscos2xx，,,2，，209. 计算下列二次积分: 1ysinx(1)dd;yx,,0yx yy1yy1xx2(2)dedded.yxyx，111,,,,y224 sinx解:(1)因为求不出来，故应改变积分次序。 dx,x 积分区域D:0?y?1, y?x?，如图10-14所示。 y 图10-14 2D也可表示为:0?x?1,x?y?x. 所以 213 111yxsinsinsinxxx2dddd()dyxxyxxx,,,2,,,,,000yxxxx 111 ,,,,(sinsin)dsindsindxxxxxxxxx,,,000 111,,,，,,,sindcosd1sin1.xxxxxxcos0,,00 yx(2)因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中 edx, 1111 DyxyDyyxy:,,:1,.,,,,,,,, 124222 如图10-15所示: 图10-15 积分区域D亦可表示为: 12 ,,,,xxyx1,. 2 于是: xyyy1yyyx111xxx2xdeddeddeddyxyxxyx，,,xe11111,,,,,,2,yx222224x 113eee1x2xx,,,,,,(ee)dxxx,,x1xee,1,182222210. 在极坐标系下计算二重积分: 222222 (1)sindd,;xyxyD，,,,(,)|xyxyπ,，,4π,,D 2222,，()xy(2)D为圆=1所围成的区域; xy，edd,xy,,D x2222arctandd,(3)D是由=4, =1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域; xyxy，xy，,,Dy 22(4)D是由曲线=x+y所包围的闭区域。 xy，()dd,xyxy，,,D 解:(1)积分区域D如图10-16所示: 214 图10-16 D亦可采用极坐标表示为: π?r?2π, 0?θ?2π 所以 2π2π22sindddsindxyxyrrr，,,,,,,D0π 2π2,,,,,,2π6π.rrrcossin,π(2)积分区域D可用极坐标表示为: 0?r?1, 0?θ?2π. 所以: 2π1122221,,,，,,xyrr()2xyrrr,,,,,,eddded2ed(),,,,,,,,D000,,2 11,,2,r,,,,π.1,,,,e0e,,(3)积分区域D如图10-17所示. 图10-17 D可用极坐标表示为: π0?θ?, 1?r?2. 4 所以: π2x4arctanddarctan(cot)dd,,,xyrr,,,,D01y π239ππ,,4,,d.,,,,,,0264,,2(4)积分区域D如图10-18所示， 215 图10-18 D可用极坐标表示为: π3π ,,,,,，, ,,,0cossinr44 所以: 3π，cossin,,24()ddd(cossin)dxyxyrr，,，,,,π,,,,D0,4 cossin，3π,,3r4,d(cossin)，,π,,,,304 3π144,，(cossin)dπ,,,,,34 3π4ππ,,44,,sind.，,,π,,,,32,,4411. 将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值: 222aaxxax,2222 (1)d()d;(2)dd;xxyyxxyy，， ,,,,0000 122,xaay,122222 (3)d()d;(4)dd.xxyyyx， ，，xy，2,,,,x000 解:(1)积分区域D如图10-19所示. 图10-19 D亦可用极坐标表示为: π ,,,,,, 0,02cosra2 所以: 2cosa,ππ24,2a22cosaxxa,r22322d()dddd，,,,,xxyyrr,,,,,0000040 π31π344442,,,,,,4cosd4π.aaa,,,04224 216 (2)积分区域D如图10-20所示. 图10-20 D可用极坐标表示为: π ,,,,,, 0,0secra4 于是: asec,πππ33asecxa,ar2223444dddddsecd，,,,,,,,xxyyrr,,,,,,000000330 33πaa4，，,，，,sectanln(sectan).,,,,,,2ln(21)，，，，066 (3)积分区域D如图10-21所示. 图10-21 D也可用极坐标表示为: π. ,,,,,,, 0,0sectanr4 于是: 1ππ,x,,1sectan2,22144d()dddsectandxxyyrrr，,,,,,,,2,,,,,x0000 π4,,,sec21,0(4)积分区域D如图10-22所示. 图10-22 D可用极坐标表示为: π ,,,,, 0,0ra2 217 于是: aπ224,aayaππr22342 ，,,,,,yxyxrrad()ddd.,,,,00002840*12. 作适当坐标变换，计算下列二重积分: 22(1),其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所围平面区域; xyxydd,,D 222(2) dd,{1};xyD,，,(,)xyy，，xy，x,,D 12,x22(3)令x=v,x+y=u; d()d,xxyy，,,01,x 2222xy,,xy(4) dd,:1;xyD，,，,,,,2222Dabab,, 2222(5) dd,;xyD,xy，,9(,)xyxy，,4,,,,D 2222(6) dd,.xyD,xy，,4(,)xyxyy，,2,,,,D 解:(1)积分区域D如图10-23所示: 图10-23 y令xy=u,,则 ,vx u xyuvuv,,,,,,,,(24,13)v 111vvu,,,xx,,2,(,)1xy22uvuv,,uv J,,,,.,,yy,(,)2uvvvu ,,uv22uvuv于是: 4333411281u2222 ,,,,,,xyxyuuvvuuddddddln3.vln,,,,,,D12vv223231,,2u24,,v13 (2)积分区域D如图10-24所示。 218 图10-24 令x+y=u,x-y=v,则 uvuv，, xy,,, 22 1, -1?v?1. 且 -1?u? 11 ,(,)1xy22 J,,,,11,(,)2uv,22于是: 4224211uuvv，，21224224()ddddd(2)dxyxyuvuuuvvv，,,，，,,,,,,11D,,88,,,11u11,,,v 111112121，，,,423542 ,,dduuuvuvvuu，，，，,,,,,,11,,843535，，,,,1 1114121，，53,,.uuu，，,,445595，，1,(3)积分区域D: 0?x?1, 1-x?y?2-x xy 令x=v, x+y=u, 则y=u-v 积分区域D变为D: xyuv 0?v?1, 1?u?2. 01,(,)xy且 J,,,,111,,(,)uv 于是 2,x121211，，2222223xxyyvvuvuuvd()dd(22)dd，,,，,vuvuu,，2,,,,,,,,x010103，，1 1137237,,，，232v,,,d.vvvvv,，,，23,,,,,023323,,，，0 (4)令x=arcosθ, y=brsinθ则积分区域D变为 D: 0?θ?2π, 0?r?1, rθ aarcossin,,,,(,)xy Jabr,,,bbrsincos,(,)r,,, 219 于是: 1222π111,,xy，，234 ,,,xyrabrrabrrabdddddd2,,,,,πabr，,,,,,,,,22,,DD00r,2，，4ab,,0 (5) 令x=rcosθ，y=rsinθ. 即作极坐标变换， 则D变为:0?r?3, 0?θ?2π. 于是: 2π32222ddddddxyrrrr,,,,xy，,4rr,,44,,,,,,DD00 2333，，,,2π (4)d(4)drrrrrr,，,,,02，， 23,,4111，，，，2442,,2ππ.，22rrrr,,,,,,,,2，，，，4402,, (6)积分区域D如图10-25所示:D可分为D,D?D,D四个部分.它们可分为用极坐标表示为。 1234 图10-25 D: 0?θ?π, 0?r?2sinθ, 1 D?D: 0?θ?π, 2sinθ?r?2, 23 D: π?θ?2π, 0?r?2 4 于是: 22222222ddddddddxyxyxyxy,，，xyyxyyxyyxyy，,，,，,，,2222,,,,,,,,DDDDD,1234 π2sinπ22π2,222,,，,，,d(2sin)dd(2sin)dd(2sin)d,,,,,,rrrrrrrrrrrr,,,,,,0002sinπ0, π2sinπ22π2,233232,,，,d(2sin)dd(2sin)drrrrrrrrr，,d(2sin)d,,,,,,,,,,,,0002sinπ0,2sin22,444ππ2π，，，，，，222rrr333,，，dddrrrsinsinsin,,,,,,,,,,,,,,,,,,00π344343，，，，，，02sin0, ππ2π416416,,,,44,，，sinddd4sinsin4sin,，,,,,,,,,,,,,,,,00π3333,,,, ππ2π81616,,,,4,，sinddd,,，4sin,4sin,,,,,,,,,,,,00π333,,,, π2π811631，，,，，,8πsind,，sin2sin4,,,,,,,,034328，，0 23,,，，,π8π09π.32 220 13. 求由下列曲线所围成的闭区域的面积: 2bb2(1)曲线所围(a>0,b>0); yxyx,,,aa 22(2)曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x所围(x>0,y>0). 2bb2解:(1)曲线所围的图形D如图10-26所示: yxyxab,,,,,(0,0)aa 图10-26 D可以表示为: aa,2yxy,,,2 bb, ,0,,yb, 所求面积为: abyb1aa,,2b Sxyyxyab,,,,ddddd.yy,,,a,,,,,200Dy62bb,,b 22(2)曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x(x>0,y>0)所围图形D如图10-27所示: 图10-27 所求面积为 Sxy,dd,,D y令xy=u,,则 ,vx u22xyuvauav,,,,,,,,(2,12) v ,(,)1xy J,,,(,)2uvv 221 于是 222a22211aa ,,,,,Sxyuvvuvdddddddln22,,,,,,,Da112222vvv22,,aua2,,v12 14. 证明: byb1，1nn(1) yyxfxxfxbxx,,,d()()d()()d;,,,aaan，1 1(2),D为|x|+|y|?1; fxyxyfuu()dd()d，,,,,,1D 122222(3),其中D为x+y?1且 faxbycxyufu()dd21d，，,,，，uabc，，,,,,1D 22a+b?0. 解:(1)题中所给累次积分的积分区域D为 a?y?b, a?x?y. 如图10-28所示: 图10-28 D也可表示为a?x?b，x?y?b， 于是: bbybbb1nn，1nyyxfxxxyxfxyx,,,,d()()dd()()ddfxyx,()(),,,,,aaaxan，1x b1，1n,,fxbxx()()d.,an，1(2)令x+y=u,x-y=v，则 uvuv，,,且-1?u?1,-1?v?1 xy,,,22 ,(,)1xy,于是 ,,,(,)2uv 11111 fxyxyfuuvufuvfuu，,,,()dd()ddd()d()d.,,,,,,,,,,,11122Du,,,11v,,,11 aubvbuav,，(3)令,则 xy,,,2222abab，， 222 22faxbycfuabc()()，，,，， ab, 222222 ,(,)xyababab，，J,,,，,12222ba,，，(,)uvabab 2222abab，， 22当x+y?1时， 22222222aubvbuav,，,,,,()()abuabv，，，22 ，,,，,uv1.,,,,222222ab，abab，，,,,, 于是 22faxbycxyfuv()dddd，，,，，uabc，，,,,,22Duv，,1 211,u22,ddufv，，uabc，，2,,11,,,u 21,u122,fvud，，uabc，，2,,1,,1u 1222,,21d.ufu，，uabc，，,,1 22222215. 求球面x+y+z= y含在圆柱面x+y=ax内部的那部分面积。 解:如图10-29所示: 图10-29 222上半球面的方程为，由 zaxy,,, ,,,,zxzy ,,, 222222,,xyaxyaxy,,,, 得 22,za,,,z,, 1，，,,,,,222,y,x,,,,axy,,由对称性知 223 22,za,,,z,,Axyxy,，，,41dd4dd,,,,,,,,222DD,y,x,,,,axy,, π,acos112,,4dd4ddarrarr,,,,,,2222D00arar,, ππacos,acos1(1),,22，，2222,,,aara2dd()2d2,,,,,,,2()ar,,22000，，0ar, π22,,,,4(1sin)d2(aaaaπ).,,,0 22216. 求锥面z=被柱面z=2x所割下部分的曲面面积。 xy， 2222解:由z=x+y,z=2x两式消去z得 2222x+y=2x，则所求曲面在xOy面上的投影区域D为:x+y?2x,而 ,,zxzy,,;, 2222,,xyxyxy，， 2222,zxy,,,z,,112.，，,，，,,,,,222,yxyxy，，,x,,,, 故所求曲面的面积为. 22π2cos,,z,,,z,,21dd2dd2d2dAxyxyrr,，，,,,,,,,,,,,,,DD00,y,x,,,, 2cosππ,π222222d42cosd22(1cos2)d2π.,,,，,,,,,,r,,00,00 22222217. 求底面半径相等的两个直交圆柱面x+y=R及x+z=R所围立体的表面积。 222解:由对称性知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x+y=R内的部分面积的16倍，如图10-30所示。 图10-30 22这部分曲面的方程为，于是所求面积为. zRx,, 224 222,x,z,,,,,z,,2161dd1610ddAxyxy,，，,，，,,,,,,,,,,22DD,y,x,,Rx,,,,, 22RRx,RR ,,16dd16ddxyxy,,,,2222D00RxRx,, 22Rx,RRR，，2y,,,16d16d16.xRxR,,,,2200Rx,，，0 18. 设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的重心。 (1)D由所围成; ypxxxy,,,2,,00 22xy(2)D是半椭圆形闭区域:; ，,,1,0y22ab (3)D是介于两个圆r=acosθ,r=bcosθ(00,b>0)对x轴及坐标原点的转动惯量(面ρ为常数). ，,1ab 解:所围三角区域D如图10-37所示: 图10-37 a3bayb,aba,,2223bIyxyyyxy,,,,,,,,ddddd.ayy,,,x,,,,,D00012b,, aay,a3bbayb,，，x22222b Ixyxyyxyxy,，,，,()ddd()dd，yx,,,0,,,,,,,D0003，，0 33b，，abaay22,,23,d().,,，yba，,ayy1,,,,,,,0123bb,,，， 24. 求面密度为常量ρ的匀质半圆环形薄片: 2222对位于z轴上点M(0,0,a)(a>0)处单位质量的质点的引力F. RyxRyz,,,,,,0012 解:由对称性知F=0，而 y πR,,,xrcos22,,FxGGrrddd,,π33,,,,DR,122222222，，，()()xyara π22RRrr222 令,,,GrGrratcosdd2d(tan),,,,π33,,,RR,112222222，，，ra，()ra RR2222arctanarctanattan2aa,,,,2secd2(seccos)dGattGtttRR33,,11,,arctanarctanatsecaa 22,,RaR，，RR2221,,2ln,,,，G222222,,RaRRaRa，，，，1121,, 229 πR,,ddrr22FGaGa,,,,d,,πz33,,,,DR,122222222，，ra，()xya，， R2111,,,,,ππGaGa1,,,,222222RaRa，，2，，21ra，,,R1 故所求引力为: 22,,,，，RaRRR2221,,,,,，FG2ln,0,,222222,,,RaRRaRa，，，，1121,,, 11,,,, πGa,,,,2222,RaRa，，21,,,25. 化三重积分为三次积分，其中积分区域Ω分别是: Ifxyzxyz,(,,)ddd,,,, (1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域; 22(2)由曲面z=x+y及平面z=1所围成的闭区域; 222(3)由曲面z=x+2y及z=2-x 所围成的闭区域; 22xy(4)由曲面cz=xy(c>0)，所围成的第I卦限内的闭区域。 ，,,1,0z22ab 解:(1)积分区域Ω如图10-38所示， 图10-38 01,,x, ,Ω可表示为: 01,,,yx, ,0,,zxy, 11,xxy故 Ixyfxyzz,dd(,,)d.,,,000 (2)积分区域Ω如图10-39所示。 230 图10-39 ,,,11x, ,22 Ω可表示为:,,,,,11xyx, ,22xyz，,,1, 2111,x故 Ixyfxyzz,dd(,,)d.222,,,,,,，11xxy 22,zxy,，2,222(3)由消去z得 xyx，,,22,2zx,,2,, 2222即，所以Ω在xOy面的投影区域为x+y?1，如图10-40所示。 xy，,1 图10-40 Ω可表示为: 22222-1?x?1, , x+2y?z?2-x ,,,,,11xyx故 22112,,xx Ixyfxyzz,dd(,,)d.222,,,,,,，112xxy (4)积分区域如图10-41所示。 Ω可表示为: bxy22 0,0,0,,,,,,,xayaxz ac 图10-41 故 bxy22,aaxac Ixyfxyzz,dd(,,)d.,,,000 26. 在直角坐标系下计算三重积分: 23(1),其中Ω是由曲面z=xy与平面y=x,x=1和z=0所围成的闭区域; xyzxyzddd,,,, 231 dddxyz(2)，其中Ω为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体; 3,,,,，，，，，1xyz 22222222，Ω是两个球:x+y+z?R和x+y+z?2Rz(R>0)的公共部分; (3)zxyzddd,,,, (4),其中Ω是由x=a(a>0),y=x,z=y,z=0所围成; xyzxyzddd,,,, y222,其中Ω是由x+z-y=1,y=0,y=2所围成; (5)edddxyz,,,, yxsinπ(6),其中Ω是由所围成。 dddxyzyxyxz,,，,,0,,,,,x2解:(1)积分区域Ω如图10-42所示。 图10-42 Ω可表示为: 01,,x, , 0,,yx, ,0,,zxy, 11xxyxxy232323xyzxyzxyxyzzxxyyzzddddddddd,,,,,,,,,,,,000000 xy411xx1，，z256,,xxyyxxyydddd ,,,,,,00004，，40 11112,,xxd.,028364(2)积分区域Ω如图10-43所示，Ω可表示为: 01,,x, , 01,,,yx, ,01,,,,zxy, 232 图10-43 故 111,,,xxyddd1xyz,dddxyz33,,,,,,,000(1)(1)，，，，，，xyzxyz 1,,xy11,x1，，,ddxy2,,,,00,，，，2(1)xyz，，0 11,x11，，, ,ddxy2,,,,002(1)8xy，，，， 1,x111，，,y,dx,,,0,，，2(1)8xy，，0 11311，，5,,,，x,,dxln2,,,,,,02(1)88，x28,,，， (3)积分区域Ω如图10-44所示。 图10-44 3,222xyR，,,R,4222222由方程x+y+z=R及x+y+z=2Rz得两球的交线为:,且平面把积分区域Ω分为两部分，且积分区域Ω在zz,,2R,z,,,2 RR，，，，轴上的投影区间为[0,R],记过上任意一点z的平行于xOy面的平面与Ω相交的平面区域为D(z),过上任意一点z的平行于,R0,1,,,,，，2，，2 xOy面的平面与Ω的相交的平面区域为D(z)，则 2 233 RR2222zxyzzzxyzzxyddddddddd,，R,,,,,,,,,DzDz0()(),122 RR222,，zzxyzzxyddddddR,,,,,,DzDz0()()122 RR222222 ,,，,πzRzzzzRzz(2)dπ()dR,,02 RR342242,,，,(2ππRzzzRzzz)d(ππ)dR,,02 RR2259ππR，，ππR，，45535,，,πRzz,zz,,,,,R48025，，35，，02(4)积分区域Ω如图10-45所示。 图10-45 0,,xa, ,Ω可表示为: 0,,yx, ,0,,zy, 故 y2axyaxyaxzddddddddddd,,,,xyzxyzxyxyzzxxyyzzxxyy,,,,,,,,,,,,0000000020 aaxa11113566,,,,ddd.xxyyxxax,,,0002848480(5)积分区域Ω如图10-46所示。 图10-46 Ω在y轴上的投影区间为[0,2]，故 234 222yyyyy22edddedddexyzyxzyyyy,,,，,，π(1)dπ(ee)d,,,,,,,,,Dy0()00 2222yyy22y2 ,，,,，,πedxyyyyπedπeππ2πed，，ye，，,,,0000 2,,3π(e1). (6) 积分区域Ω如图10-47所示。 图10-47 π,0,,x,2,Ω可表示为: 0,,yx, ,π,0,,,zx,2 故 πππxxx,yxxxsinsinsinπ,,222ddddddddxyzxyyzxyy,,,x,,,,,,,,,,,00000xxx,,2 ππππ1π1πx,,222,,,,,sindsindsind.xxxxxxx,,,,,,0004242,,42 27. 如果三重积分的被积函数f(x,y,z)是三个函数f(x), f(y), f(z)的乘积，即f(x,y,z)=f(x)?f(y)?f(z)，积分区域fxyzxyz(,,)ddd123123,,,, 为a?x?b，c?y?d,l?z?m，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积，即 bdm fxfyfzxyzfxxfyyfzz()()()ddd()d()d()d,123123,,,,,,,acl证: bdmfxfyfzxyzxyfxfyfzz()()()ddddd()()()d,123123,,,,,,,acl bdbdmm，，，，,,ddddyxyxfxfyfzzfxfyfzz()()()d()()()d,,,,123123,,,,,,acacll，，，， bbmdmd，，，，，，，，dx,,d()xfxfxfzzfyyfzzfyy()()d()d()d()d1,,,,13232,,,,,,aalclc，，，，，，，， bbdmmd，，，，,,fxxfxxfyyfzz()d()d()d()d.fzzfyy()d()d112332,,,,,,aacclc，，，， 28. 利用柱面坐标计算下列三重积分: 2222(1) ,其中Ω是由曲面zxy,,,2及所围成的闭区域; zxy,，zvd,,,, 2222(2) ,其中Ω是由曲面及平面z=2所围成的闭区域. xyz，,2()dxyv，,,,, 235 22222222解:(1) 由及消去得,因而区域Ω在xOy面上的投影区域为,如zxy,,,2zxy,，xy，,1xy，,1 图10-48所示，在柱面坐标系下:Ω可表示为: 22 01, 02,,,,,,,rrzr,π, 2 22π12,r故 zvrrzzdddd,,2,,,,,,,00r 1124,,,2πrrrr(2)d,02 1711，，246,,ππ.r,,rr图10-48 ,,1246，，0 (2) 积分区域如图10-49所示，在柱面坐标系下，Ω可表示为 2r 02,,,,,,,π, 02, 2rz2 22故 ()dxyv，,,,, 2,rrrzddd,,,,, 2π2232,dddrrz,r,,,00图10-49 2 211135462,,,,2π(2)d2rrrrrπ[]0,02212 16,π.3 29. 利用球面坐标计算下列三重积分: 222222(1) ，其中Ω是由球面所围成的闭区域; xyz，，,1()dxyzv，，,,,, 2222222(2) ，其中Ω由不等式,所确定. xyzaa，，,,()xyz，,zvd,,,, 2224解:(1) ()dsindddxyzvrr，，,,,,,,,,,,,, 2ππ14,dsindd,,,rr,,,000 14π51,,,2π[cos][]rπ.,0055(2) 积分区域Ω如图10-50所示，在球面坐标系下，Ω可表示为 π ,,,,,,,,,02π, 0, 02cosra4 2故 zvrrrdcossinddd,,,,,,,,,,,,, 236 图10-50 π2π2cosa,34,drr,,,,sincosdd,,,000 π144=2πsincos(2cos)da,,,,,04 π454 ,8πasincosd,,,,0 π414，，6,8πa,cos,,,6，，0 74,πa.6 30. 选用适当的坐标计算下列三重积分: 22(1) ，其中Ω为柱面及平面z=1,z=0,x=0,y=0所围成的第I卦限内的闭区域; xy，,1xyvd,,,, 222222(2) ,其中Ω是由球面所围成的闭区域; xyzz，，,xyzv，，d,,,, 22222(3) ,其中Ω是由曲面及平面z=5所围成的闭区域; 425()zxy,，()dxyv，,,,, 22222(4) ，其中Ω由不等式所确定。 0,0,,，，,,axyzAz()dxyv，,,,, 解:(1)积分区闭Ω如图10-51所示.利用柱面坐标计算，Ω在柱面坐标系下表示为: 图10-51 π,0?r?1，0?z?1,故 ,,,02 ,π11112322,,,,,,,xyvrrrzrrdddsincosdsin2d2d,,,,,,,,00000,4 π211,,,(cos2).,1680 本题也可采用直角坐标计算，在直角坐标系下，Ω可表示为: 2 01,01,01,,,,,,,,xyxz 22111111,,xx112故 xyvxxyyzxxyyxxx,,,,,dddddd(1)d.,,,,,,,,,,00000028(2)积分区域Ω如图10-52所示。用球面坐标计算，在球面坐标系下Ω可表示为: 237 0cos,,r,, ,,02,,π, ,π,0,,,,,2 图10-52 故 π,2πcos222232xyzvrrrrr，，,,,dsindddddsind,,,,,,,,,,,,,,,000,, ππ21π1π452,,,,,2πsincosdcos.,,,,,0425100(3) 积分区域Ω如图10-53所示。利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下，Ω可表示为: 02,,,π, ,,02,,r ,5,rz,,5,,2 图10-53 故 2π252223()dddddddxyvrrrzrrz，,,,,,5,,,,,,,,,,,r002 22551,,，，345,,,2πrrd2π8π.5,,rrr,,,,,0,,，，2420(4) 积分区域如图10-54所示。利用球面坐标计算，在球面坐标系下，Ω可表示为: 02,,,π, ,,π 0,,,,2, ,arA,,, 238 图10-54 故 22222()dsinsindddxyvrrr，,,,,,,,,,,,,,, π2πA342,dsinddrr ,,,,,,00a 4π55,,().Aa1531. 利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积: 2222(1) z=6-x-y及; zxy,， 222222(2) x+y+z=2az(a>0)及x+y=z(含有z轴的部分); 2222(3)及z=x+y; zxy,， 2222(4) z=及x+y=4z. 5,，xy 解:(1)曲面围成的立体Ω如图10-55所示。 在柱面坐标系下，Ω可表示为: 02,,,π, ,02,,r , 2,rzr,,,6, 图10-55 用柱面坐标可求得Ω的体积 2226,,rvvrrzrrz,,,ddddddd,,,,,,,,,,,00r,, 223211，，23234,,,,,2π(6)d2rrrrπ.3rrr,,,,,,0334，，0 (2)曲面围成的立体Ω如图10-56所示。 239 在球面坐标系下Ω可表示为: 02,,,π, ,,π 0,,,,4, ,02cos,,ra,, 图10-56 利用球面坐标可求得Ω的体积: π,,a22cos224vvrrrr,,,dsinddddsindd,,,,,,,,,,,,,,,000,, ππ4881，，333342,,,,2πaaacossind2ππ.,cos,,,,,,,033，，40 (3)曲面围成的立体Ω如图10-57所示。 在柱面坐标系下，Ω可表示为: 02,,,π, ,01,,r , 2,rzr,,, 图10-57 利用柱面坐标可求得Ω的体积: 211,r23vvrrzrrr,,,,dddd2,π()d2,,,,,,,000r, 1π11，，34,,2π.rr,,,634，，0(4) 曲面围成的立体Ω如图10-58所示。在柱面坐标系下，Ω可表示为: 240 , ,,,02,,,,,02r , ,2r2,,,,zr5,4 图10-58 利用柱面坐标可求得Ω的体积: 2225,,r2vvrrzrrz,,,ddddddd,,r,,,,,,,,,00,,4 2222π,,r232,,,,2πrrrrrrrd2π5dd 5,,r,,,,,0002,,4 2232π2422,,,π.r，，,,(5)r554,,38300 *32. 选择坐标变换计算下列各题: 222222xyz,,xyz(1) 1d,(,,)vxyz ,,,,,1，，,,,,,,222222,abcabc,, 222222,,,,xyzxyz(2) expd,(,,).vxyz ,,1，，,,,,,，，,,,222,222abcabc,,,, xar,sincos,,01,,r,, ,,解:(1)令则积分区域Ω变为Ω*:且 ,0,,πybr,sinsin,,,, ,,02,,πzcr,cos,,,, aararsincoscoscossinsin,,,,,,, ,(,,)xyz2 ,,abcrsin.bbrbrsinsincossinsincos,,,,,,,,(,,)r,,ccrcossin0,,, 222xyz22故 1d1sinddd,,,,,,vrabcrr,,,*,,,,,,222,,abc 2ππ122,,dsind1d,,,abcrrr,,,000 πabcπ2,,,,,2ππabc.,,,cos,0164 241 (2) 坐标变换同(1)。 222,,xyzr2expdesindddvabcrr,,,,,,,，，*,,,,,,222,,abc,, 2ππ12r,dsindedabcrr ,,,,,,000 π2π(e2)4π(e2).,,,,,,,abcabc,cos,,,033. 球心在原点，半径为R的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球的距离成正比，求这球体的质量。 解:利用球面坐标计算: Ω:则 0,02,,,,,,,rRkr ,,,π,0π,, ,π,R2Mvkrrr,,,,,,ddsindd,,,,,,,000, Rkπ，，44,,,,2ππkR.,,,cosr,0,,，，4034. 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的重心(设密度ρ=1); 222(1) z=x+y,z=1; 222222(2) zAxyzaxzAaz,,,,,,,,,,(0),0; 22(3)z= x+y,x+y=a,x=0,y=0,z=0. 1解:(1)两曲面所围立体Ω为一高和底面半径均为1的圆锥体(如图10-59所示)，其体积v=.在柱面坐标系下，Ω可表示为:r?z?1,0?rπ3?1,0?θ?2π. 图10-59 又由对称性可知，重心在z轴上，故, xy,,0 2π111112π13zzvrrzzrrr,,,,,,dddd()d,,,,,,,,r000Mvv2 12412π3，，rr,,,.,,,v24，，240 3,,所以，所围立体的重心为. 0,0,,,,,4 233(2)所围立体Ω如图10-60所示。其体积. v,π.，，Aa,3 242 图10-60 在球面坐标系下，Ω可表示为: π, ,,,,,,,, 02π,0,arA2又由对称性知，重点在z轴上，故, xy,,0 πA2π11,332zzvrrrr,,,,,,,,,,,dsincosddddsincosdd,,,,,,,,,,,,,a0Mvv Aπ44Aa,2π13()1，，42,,,,.,,,cos2r,330,,vAa,48()，，4a 44,,3()Aa,故所围立体的重心为 .0,0,,,338()Aa,,, (3) 所围立体Ω如图10-61所示，在直角坐标系下，Ω可以表示为 图10-61 220?x?a, 0?y?a-x, 0?z?x+y. 先求Ω的体积V. 22aaxxy,，Vxyzxyz,,dddddd,,,,,,,000 ax,aaxa,1，，2223,，,d()ddxxyyxxyy，,,,,,0003，，0 a1，，23dx,xaxax()(),，,,,,03，， a1a11，，4344,,a.xxax,,,(),,63412，，0故 243 22aaxxy,，11xxvxxyz,,,dddd,,,,,,000,MV a11，，23,xxdxaxax()(),，,,,,0V3，， 3a1,,4a4322,dx,，,，xaxaxx2,,,0V33,, 624111,,5,,,aa.,，,，,,4a515236,, 由Ω关于平面y=x的对称性可知。 2. yxa,,5又 22aaxxy,，11zzvxyzz,,,dddd,,,,,,,000MV aax,14224,，，d(2)dxxxyyy ,,002V a3721，，24235,,d.xaxaxxaxax,，,，,()()()4,,,0a3035，， 227,,2故所围立体的重心为. aaa,,,,5530,, 22235. 球体x+y+z?2Rz内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的重心。 π2解:用球面坐标计算，在球面坐标系下球体可以表示为:0?r?2Rcosφ，0?φ?,0?θ?2π，球体密度ρ=r,由对称性可知重心在z轴上，故2 π2π2cosR,222Mvrrr,,,,,,,ddsindd,,,,,,000, π32552,2πRsincosd，又球体的质量 xy,,0,,,,05 π5264πR321，，56,,,,πR.cos,,,5156，，0从而 244 113zzvrv,,,,dcosd,,,,,,,,MM πR2π2cos,152,rrdsincosdd,,,,,,,000M π2π64672 ,Rsincosd,,,,0M6 π21641，，68,,Rπ,cos,,,M38，，0 6R158π5,,,R.532πR34 5,,故球体的重心为. 0,0,R,,,,4 2236. 一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域Ω由曲面z=x+y和平面z=0,|x|=a,|y|=a所围成。(1)求物体的体积;(2)求物体的重心;(3)求, 物体关于z轴的转动惯量。 解:(1)Ω如图10-62所示。由对称性可知。 图10-62 22aaxyaa，22Vxyzxxyy,,，4ddd4d()d,,,,,00000 a81,,423,,4d.xaaxa，,,,033,, (2)由对称性知，而 xy,,0 22aaxy，14zzvxyzz,,,dddd,,,,,,,000MV aa24224,，，d(2)dxxxyyy,,00V a221,,4325,dxaxaxa，，,,,0V35,, 27121,,62,,aa.，，,,V15595,, 7,,2故物体重心为. 0,0,a,,15,, 245 22aaxy，2222(3)d4dddIvxyz,,,,，，，，xyxy，，z,,,,,,,000 aa4224,，，4d(2)dxxxyyy,,,00 a21,,4325,4dxaxaxa，，,,,,035,, 2811266,,,4.aa,,4545 37. 求半径为a,高为h的均匀圆柱体对于过中心，而平行于母线的轴的转动惯量(设密度=1). ,解:建立坐标系如图10-63所示，用柱面坐标计算。 图10-63 322Ivrrz,,,,dddd，，xy，z,,,,,,,, a2xah1，，34,,,,ddd2rrzhπ r,,,,,,000，，40 14,πha.2 22238. 求均匀柱体:对于位于点M(0，0，a)(a>h)处的单位质量的质点的引力。 xyRzh，,,,,00 解:由柱体的对称性可知，沿x轴与y轴方向的分力互相抵消，故F=F=0,而 xy ,()az,FGv,,dz3,,,,2222，，xyaz，，,()，， ddxy，，h3,,,,,Gazz()d,,,,22,02222xyR，,，，,,xyaz，，,()，，，， Rrrd，，h2π3,,,,,Gazz()dd,,0,,,,00222，，,,raz，,()，，，， 11,,h,,,,2πGazz()d ,,,22az,0,Raz,,(),, az,，，h1,,,2πGdz,,22,0Raz，,(),，， h22，，2πG,,,zRaz，，,()，，0 2222，，,,2πG.,hRazRa()，，,,，，， 39. 在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心 246 上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少, 解:如图10-64所示，因为闭区域D对称于y轴，所以重心必位于y轴上，即，要使重心恰好落在圆心上，必须使,Cxy(,)y,0x,0于是必须,而 yd0,,,,D 图10-64 0RRπ2yyyyyxrrdddddsindd,,,,,,，,，,,,,,,,,,,,,hR00DDD12 0212y332,,，,,,22.RRRRh332,h 6232由得. hR,RRh,,033 6即均匀矩形薄片另一边长度应是. R3 240.求由抛物线y=x及直线y=1所围成的均匀薄片(面密度为常数)c对于直线y=-1的转动惯量。 , 图10-65 11111，，223解: Iyxyyx,,,,,，,，,(1)dd(1)ddy(1)，2,,,,,,,Dx,,1123，，x 1,36823 ,,d.x,，，,，8(1)x，，,,13105*41. 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性: ddxy(1) ;22m,,，()xy22，,xy1 ddxy(2),D为全平面; q,,pD(1)(1)，，yx 247 ,(,)xy(3) (),,,dd0.xymM(,)xy,22p,,，，(1)xy,,01y π,2π，,当 时 m, 1xyrdd,解:(1) ,r,,ddm,1,mm222,,,,01xyr()，22xy，,1,当 时 m，,, 1,故当m>1时，原积分收敛，当m?1时发散。 (2)由于被积函数是正的，并且关于x轴和y轴都对称，故 ，,，,，,，,ddddddxyxyxy ,,44qqpq,,,,,,pp0000D，，11xy，，，，(1)(1)(1)(1)yyxx ，,，,1dxdx,,p由于,故积分当p>1时收敛，p<1时发散，p=1时显然也发散，因此x,lim1,，,,,pp,,0,，,0x，，x1x1，1x,, ，,,p1,有限数dx,. ,p,0，,p,11，x, ，,有限q,1,dy同理有:. ,,q,0，,,q11，y, ddxy由此可知仅当p>1且q>1时收敛，其他情形均发散。 q,,pD(1)(1)，，yx ,(,)xyddxy(3)由0