必修五 数列
★知识梳理
1.数列的前
项和与通项的公式
①
; ②
.
例1. ①已知下列数列
的前
项和
,分别求它们的通项公式
.
⑴
; ⑵
.
②设数列
满足
,则
③数列
中,
,求
的值.
④已知数列
的首项
,其前
项和
.求数列
的通项公式.
⑤设
、
分别是等差数列
、
的前
项和,
,则
.
2. 数列的单调性
①递增数列:对于任何
,均有
.
②递减数列:对于任何
,均有
.
2010-2011海淀区高三年级期中
已知数列
满足:
(I)求
的值;
(Ⅱ)求证:数列
是等比数列;
(Ⅲ)令
(
),如果对任意
,都有
,求实数
的取值范围.
2.等差数列知识点
通项公式与前
项和公式
⑴通项公式
,
为首项,
为公差.
⑵前
项和公式
或
.
等差中项:如果
成等差数列,那么
叫做
与
的等差中项.
即:
是
与
的等差中项
,
,
成等差数列.
等差数列的判定方法
⑴定义法:
(
,
是常数)
是等差数列;
⑵中项法:
(
)
是等差数列.
⑶
)
是等差数列
⑷
是等差数列
等差数列的常用性质
⑴数列
是等差数列,则数列
、
(
是常数)都是等差数列;
⑵等差数列
中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即
为等差数列,公差为
.
⑶
;
⑷若
,则
;
⑸若等差数列
的前
项和
,则
是等差数列;
例2.已知
为等差数列
的前
项和,
.求证:数列
是等差数列.
等差数列的前
项和
的最值问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
⑴若
有最大值,可由不等式组
来确定
;
⑵若
有最小值,可由不等式组
来确定
.
例2.已知
为数列
的前
项和,
,
.
⑴求数列
的通项公式;
⑵数列
中是否存在正整数
,使得不等式
对任意不小于
的正整数都成立?若存在,求最小的正整数
,若不存在,说明理由.
3.等比数列知识点
通项公式与前
项和公式
⑴通项公式:
,
为首项,
为公比 .
⑵前
项和公式: ①当
时,
②当
时,
.
等比中项
如果
成等比数列,那么
叫做
与
的等比中项.即:
是
与
的等,,,,中项
,
,
成等差数列
.
等比数列的判定方法
⑴定义法:
(
,
是常数)
是等比数列;
⑵中项法:
(
)且
是等比数列.
等比数列的常用性质
⑴数列
是等比数列,则数列
、
(
是常数)都是等比数列;
⑵在等比数列
中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即
为等比数列,公比为
.
⑶
⑷若
,则
;
⑸若等比数列
的前
项和
,则
、
、
、
是等比数列.
例3.已知
为等比数列
前
项和,
,
,则
.
4.数列的通项的求法
⑴利用观察法求数列的通项.
⑵利用公式法求数列的通项:①
;
⑶应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:①
;②
⑷构造等差、等比数列求通项:
①
; ②
;
③
例4.设数列
的前
项和为
,已知
,设
,
求数列
的通项公式.
(宣武二模理18)设
是正数组成的数列,其前
项和为
,且对于所有的正整数
,有
.
(
) 求
,
的值;
(
) 求数列
的通项公式;
(
)令
,
,
(
),
求数列
的前
项和
.
例5.⑴已知数列
中,
,求数列
的通项公式;
⑵设
是首项为1的正项数列,且
,
则数列
的通项
.
例6.⑴已知数列
中,
,求数列
的通项公式;
⑵已知数列
中,
,求数列
的通项公式.
例7.⑴数列
中,
,则
的通项
.
⑵数列
中,
,则
的通项
.
例8.已知数列
中,
,求数列
的通项公式.
5.数列求和
基本数列的前
项和
⑴ 等差数列
的前
项和:
⑵ 等比数列
的前
项和
:
①当
时,
;②当
时,
;
数列求和的常用方法:拆项分组法;裂项相消法;错位相减法;倒序相加法.
例.等差数列
,公差
,且
,则
.
拆项分组法求和
求数列
的前
项和
.
裂项相消法求和
⑴数列
的前
项和
⑵求和:
;
⑶ 求和:
.
倒序相加法求和
北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测
已知函数
,
为正整数.
(Ⅰ)求
和
的值;
(Ⅱ)若数列
的通项公式为
(
),求数列
的前
项和
;
(Ⅲ)设数列
满足:
,
,设
,若(Ⅱ)中的
满足对任意不小于3的正整数n,
恒成立,试求
的最大值.
例9.设
是数列
的前
项和,
,
.
⑴求
的通项;
⑵设
,求数列
的前
项和
.
错位相减法求和
若数列
的通项
,求此数列的前
项和
.
【解析】
, ①
②
①-②,得
.
.
例10.已知
为数列
的前
项和,
,Sn+1=4an+2.
⑴设数列
中,
,求证:
是等比数列;
⑵设数列
中,
,求证:
是等差数列;
⑶求数列
的通项公式及前
项和.
例11.设函数
的定义域为
,当
时,
,且对任意的实数
,有
.
⑴求
,判断并证明函数
的单调性;
⑵数列
满足
,且
求
通项公式;
北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测
解:(Ⅰ)
=1;
=
=
=1;………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
,即
由
, ……………①
得
…………②
由①+②, 得
∴
,…10分
(Ⅲ) ∵
,∴对任意的
.
∴
即
.
∴
.
∵
∴数列
是单调递增数列.
∴
关于n递增. 当
, 且
时,
.
∵
∴
∴
∴
.而
为正整数,
∴
的最大值为650. ………………………………