2020-2021学年福建省厦门市高二上学期期末考试数学试题及答案解析

绝密★启用前2020-2021学年福建省厦门市高二上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．答案：C解：由，得．所以双曲线的渐近线方程是．选C．2．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数字6开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号），则选出来的第4个个体的编号为（）A．01B．02C．07D．08答案：C【分析】由题意可知第一个编号为65,再按顺序找到编号在01到20之间的第4个编号即可.【详解】由题第一个编号为65，不符合条件；第二个编号是72，不符合条件；以此类推，则选出的第一个编号为08，第二个为02，第三个为14，第四个为07.故选：C3．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过，两点，则的方程为（）A．B．C．D．答案：C【分析】设椭圆的方程为，代入点的坐标求解即可.【详解】设椭圆的方程为，因为椭圆过，两点，，解得，所以所求椭圆方程为，故选：C4．在空间直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于平面对称，则（）A．B．2C．4D．答案：B【分析】由对称性求出点B，C的坐标，利用空间两点间的距离公式求解.【详解】因为点与点关于轴对称，所以，因为点与点关于平面对称，所以，所以,故选：B5．为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归方程为，已知，，若该班某学生的脚长为24厘米，估计其身高为（）A．164厘米B．166厘米C．168厘米D．170厘米答案：B【分析】由已知求得，的值，结合求得，可得线性回归方程，取求得值即可．【详解】，，又，，．关于的线性回归方程为．取，得（厘米）．所以估计其身高为166厘米.故选：B6．经过点的直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．答案：D【分析】结合图形利用的斜率得到直线的斜率的取值范围，从而可得直线的倾斜角的取值范围.【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，，，由图可知，，所以或.故选：D【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用的斜率可得所要求的斜率的取值范围.7．已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与在第一象限的交点为，直线与交于另一点．若的面积为，则的离心率为（）A．2B．C．D．答案：D【分析】设直线与轴正方向的夹角为，利用双曲线的第二定义表示出,，根据的面积以及即可求解.【详解】设双曲线的右准线与轴的交点为，则，设直线与轴正方向的夹角为，由双曲线的第二定义可得，，，，即，由，①②，可得整理，③由①可得，即，④将④代入③，整理可得，即.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，双曲线的第二定义，解题的关键是利用第二定义表示出，，考查了计算能力.二、多选题8．下列说法正确的是（）A．在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率B．掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件C．连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，有理由认为这枚骰子质地不均匀D．抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于答案：AC【分析】根据频率与概率之间的关系可判断A；由对立事件的概念可判断B；由“极大似然法”可判断C；根据概率的定义可判断D.【详解】对于A，在相同条件下，试验次数越多，频率就会稳定在概率附近，故A正确；对于B，掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，故B不正确；对于C，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以结果都是出现1点，有理由认为这枚骰子质地不均匀，故C正确；对于D，由于概率是稳定的数值，抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率等于，故D不正确.故选：AC9．已知圆：和圆：相交于，两点，下列说法正确的是（）A．圆与圆有两条公切线B．圆与圆关于直线对称C．线段的长为D．，分别是圆和圆上的点，则的最大值为答案：ABD【分析】写出两圆的圆心与半径判断两圆的位置关系可知A正确，利用圆的方程求直线的方程，由圆心与直线关系可判断B，利用圆的弦的性质可判断C，根据圆上两点最大距离判断D.【详解】圆：的圆心为，半径，圆：，即，其圆心为，半径,所以,两圆相交，对于A，因为圆与圆相交，所以有两条公切线，A正确；对于B，两圆方程相减得，即直线AB的方程为，因为圆心与圆心关于直线AB对称，且两圆半径相等，所以B正确；对于C，由B的结论可知，，故C错误；对于D，，分别是圆和圆上的点，则的最大值为，故D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：由圆的位置关系可知圆的公切线的条数，由两圆的方程可求公共弦所在直线方程，根据圆心关于直线对称可判断圆的对称性，利用半径，半弦长，弦心距的关系求弦长都要熟练掌握，灵活运用.10．为了增强学生体质，某校积极组织学生进行跳绳锻炼学校统计了100名学生的跳绳成绩（单位：次/分钟），锻炼之前他们的成绩的条形图如图1，经过三个月的锻炼后，他们的成绩的条形图如图2，对比锻炼前后，关于这100名学生，下面结论正确的是（）A．经过锻炼后，跳绳成绩在内的人数没有改变B．经过锻炼后，跳绳成绩在内的人数减少10人C．跳绳成绩在内所占比例没有变化，说明锻炼对跳绳成绩没有影响D．经过锻炼后，原来跳绳成绩在内的学生跳绳成绩都有提高答案：BD【分析】根据条形图求出跳绳成绩在内的人数可判断A；求出跳绳成绩在内的人数可判断B；根据条形图锻炼后整体成绩的变化可判断C；由两条形图中的数据可判断D【详解】对于A，锻炼前成绩在内的人数为，锻炼后成绩在内的人数为，故A不正确；对于B，锻炼前成绩在内的人数为，锻炼后成绩在内的人数为，所以经过锻炼后，跳绳成绩在内的人数减少10人，故B正确；对于C，跳绳成绩在内所占比例没有变化，但整体成绩提高，故C不正确；对于D，由图2，可知没有跳绳成绩在内的学生，所以原来跳绳成绩在内的学生跳绳成绩都有提高，故D正确.故选：BD11．过抛物线：（）的焦点且垂直于轴的直线交于，两点，过上一点（异于原点）作轴于点，下列结论一定正确的是（）A．是钝角三角形B．是和的等差中项C．是和的等比中项D．以为圆心且过原点的圆与只有一个交点答案：ACD【分析】根据抛物线的方程，抛物线的定义，抛物线的通径，等差、等比中项，曲线的交点分析求解.【详解】如图，由，可知,所以，所以，即，所以是钝角三角形，A正确；设A，由抛物线定义知，,，而，故B错误；因为，所以，故是和的等比中项，C正确；以为圆心且过原点的圆方程为，由可得，解得或（舍去），故圆与抛物线只有一个交点，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：根据抛物线的方程及性质，设点A后，表示出线段，，，的长，是解决本题的关键所在，对计算能力要求较高，属于中档题.三、填空题12．若直线：与直线：平行，则实数______．答案：【分析】根据两条直线平行的条件列方程，解方程求得的值，排除重合的情况后求出结果.【详解】由于两直线平行，故，解得，当时，：，与不重合，符合题意，故.故答案为：13．如图，矩形长为2，宽为1，在矩形内随机地撒1000粒豆子，数得落在阴影部分的豆子数为610粒，则可以估计阴影部分的面积为______．答案：【分析】设阴影部分区域的面积为，计算出矩形的面积，利用阴影部分区域的面积与矩形区域的面积之比等于黄豆落在阴影部分区域的频率，由此列等式求出的值.【详解】设阴影部分区域的面积为,矩形长为2，宽为1，则矩形的面积为，.由题意可得，解得，故答案为：14．已知一组数据1，2，2，，5，10的平均数是4，则该组数据的方差为______．答案：9【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 计算出这组数的方差.【详解】依题意.所以方差为.故答案为：.15．圆：上存在点满足：到原点的距离与到直线：的距离之比为，则的取值范围为______．答案：【分析】数形结合，先确定使斜率最大,最小的P点位置,再借助,得到直线：的斜率取值范围.【详解】设于点，原点为,如图，则存在点满足,即,先求直线的斜率范围，因为当与圆相切时，即运动到位置时，容易得，所以,即直线的倾斜角或时，与圆有公共点，因为，所以问题转化为的倾斜角满足或时，存在点满足条件，此时，而，，故直线：的斜率故答案为：【点睛】关键点点睛：本题根据条件推出，即直线与直线的夹角为，所以只需先确定的斜率范围，确定出的倾斜角的范围，即可确定直线倾斜角的范围，得到直线的斜率范围.四、解答题16．已知：，，：，．若______为真命题，求实数的取值范围．请在①，②，③这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．答案：选①：；选②：；选③：.【分析】首先求出为真命题以及为真命题时，实数的取值范围，然后再利用复合命题的真假表确定实数的取值范围.【详解】若为真命题，，，只需，设，所以，所以为假命题时，若为真命题，，，只需，解得或，若为假命题，则若选①，为真命题，则真且真，，若为真命题，即为假命题时，所以，为真命题，所以为真命题，实数的取值范围为；若选②，为真命题，则真且真，只需真且假，，若选③，为真命题，不妨假设为假命题，则假且假，即真且真，此时，所以为真命题时，17．某班有甲、乙、丙三位学生在志愿者活动中表现优异，现从3人中选1人去参加全校表彰大会，有同学提议用如下方法：将4个编号为1，2，3，4的小球（形状、大小、质地都相同），放在一个不透明的袋中，按甲、乙、丙的顺序依次不放回地从袋中摸取一个小球，谁摸取的小球编号最大，谁就参加表彰大会．现用有序数组表示摸球的结果，例如表示甲、乙、丙摸取的小球编号分别为1，4，3．（1）列出所有摸球的结果；（2）求甲去参加表彰大会的概率，并判断该同学提议的方法是否公平．答案：（1）答案见解析（2），公平【分析】（1）一一列举出所有的摸球结果（基本事件）即可，（2）找到甲摸取的小球编号最大的结果（基本事件），根据概率公式计算即可，并作出判断.【详解】（1）基本事件为（1，2，3），（1，2，4），（1，3，2），（1，3，4），（1，4，2），（1，4，3），（2，1，3），（2，1，4），（2，3，1），（2，3，4），（2，4，1），（2，4，3），（3，1，2），（3，1，4），（3，2，1），（3，2，4），（3，4，1），（3，4，2），（4，1，2），（4，1，3），（4，2，1），（4，2，3），（4，3，1），（4，3，2），基本事件的总数为24.(2)甲去参加表彰大会包含的基本事件为（3，1，2），（3，2，1），（4，1，2），（4，1，3），（4，2，1），（4，2，3），（4，3，1），（4，3，2），共8个基本事件，所以甲去参加表彰大会的概率，甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是无关，该方法是公平的.18．抛物线：（）上一点与焦点的距离为3．（1）求的方程；（2）是的准线与轴的交点，过点的直线与相交于，两点，是线段的中点若直线的斜率为，求的方程答案：（1）；（2）【分析】（1）根据焦半径公式得，进而得抛物线的方程为：.（2）根据题意设直线的方程为：，，进而联立方程得，或，由韦达定理得，进而得线段的中点，再结合直线的斜率为列式得或，进而得直线方程为.【详解】解：（1）因为抛物线：（）上一点与焦点的距离为3所以由焦半径公式得，解得.所以抛物线的方程为：.（2）由（1）得抛物线的准线为，所以，设过点的直线的方程为：，则直线与抛物线的方程联立得：，，所以，解得：或，，所以，所以线段的中点所以，即：，解得或.由于或，故此时直线的方程为：.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意设直线方程，再与抛物线联立，结合韦达定理求得线段的中点，进而列式求解得答案.值得注意的是，本题一定要注意的讨论求解.19．在平面直角坐标系中，，动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）设为圆：上的动点，求的最小值．答案：（1）（2）8【分析】（1）设，由题意建立方程化简即可求出；（2）根据条件可转化为，由数形结合可知三点共线时有最小值，求解即可.【详解】（1）设，则，，整理得，所以点的轨迹方程为（2）由圆：可知圆心为，,如图，由图可知，当三点共线时，有最小值，，，【点睛】关键点点睛：由题意，可得，根据图形，发现当三点共线时，有最小值，是解决本题的关键所在.20．2020年是脱贫攻坚的决胜之年，某棉花种植基地在技术人员的帮扶下，棉花产量和质量均有大幅度的提升，已知该棉花种植基地今年产量为2000吨，技术人员随机抽取了1吨棉花，测量其马克隆值（棉花的马克隆值是反映福花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切），得到如下分布表：马克隆值重量（吨）0.040.060.120.160.320.060.030.01（1）求的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；（3）根据马克隆值可将棉花分为A，B，C三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示：马克隆值或3.4以下级别ABC价格（万元/吨）1.61.521.44用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值答案：（1）0.2，补全频率分布直方图见解析（2），（3）万元【分析】（1）根据分布表重量之和为1吨求，计算频率/组距即可补全直方图；（2）由频率分布直方图求众数及中位数即可；（3）计算所抽一吨样本的产值，预测总的2000吨的产值即可.【详解】（1）由分布表知，，解得在直方图中对应的频率/组据值为，补全频率分布图如下，（2）由频率分布直方图知，马克隆值落在区间内的频率最大，故众数为，因为，，所以中位数在区间内，中位数为.（3）一吨样本的产值为，估算棉花种植基地今年的总产值为：（万元）21．已知椭圆：（）经过点，，为的左、右顶点，且直线，的斜率之积为．（1）求的方程；（2）直线：与交于，两点，当为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．答案：（1）（2），面积最大值为1【分析】（1）根据斜率之积为定值可求出，直接写出椭圆方程即可；（2）设，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理求出，，表示出，再由其为定值求出，求出面积，利用不等式求最值.【详解】（1）因为椭圆经过点，故，且，所以，解得，所以椭圆的方程为（2）设,联立，消元得，当，即时，，，，当为定值时，与无关，故，得，，点到直线的距离，，当且仅当，即时，等号成立.经检验，此时成立，所以面积的最大值为1.【点睛】关键点点睛：利用直线与椭圆联立后得到的一元二次方程，由韦达定理求出，，以此为基础数据，求，分析当时，为定值，再利用弦长公式，点到直线距离表示出面积，根据重要不等式求解，运算量大，能力要求高，属于难题.试卷第2页，总4页第1页共6页