PAGE/NUMPAGES第七章弯曲变形一、教学目标和教学内容教学目标掌握求梁变形的两种方法：积分法和叠加法，明确叠加原理的使用条件，掌握用变形比较法求解静不定梁。教学内容有关弯曲变形的基本概念积分法和叠加法明确叠加原理力法求解静不定梁。重点难点梁的变形分析。挠曲轴近似微分方程。积分法求变形。叠加法求梁的变形。静不定梁。三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。四、建议学时7学时五、讲课提纲1、概述图7.1关于梁的弯曲变形，可以从梁的轴线和横截面两个方面来研究。图示一根任意梁，以变形前直梁的轴线为SKIPIF1<0轴，垂直向下的轴为SKIPIF1<0轴，建立SKIPIF1<0直角坐标系。当梁在SKIPIF1<0面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为SKIPIF1<0面内的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线，或弹性曲线。第六章中曾经指出，梁弯曲后横截面仍然垂直于梁的挠曲线，因此，当梁发生弯曲时梁的各个截面不仅发生了线位移，而且还产生了角位移，如图7.1所示。横截面的形心在垂直于梁轴（SKIPIF1<0轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并用符号SKIPIF1<0
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示。关于挠度的正负符号，在图示坐标系下，规定挠度向下（与SKIPIF1<0轴同向）为正；向上（与SKIPIF1<0轴反向）为负。应该指出，由于梁在弯曲时长度不变，横截面的形心在沿梁轴方向也存在线位移。但在小变形条件下，这种位移极小，可以忽略不计。梁弯曲时，各个截面的挠度是截面形心坐标SKIPIF1<0的函数，即有SKIPIF1<0上式是挠曲线的函数表达式，亦称为挠曲线方程。横截面的角位移，称为截面的转角，用符号SKIPIF1<0表示。关于转角的正负符号，规定在图示坐标系中从SKIPIF1<0轴順时针转到挠曲线的切线形成的转角SKIPIF1<0为正的；反之，为负的。显然，转角也是随截面位置不同而变化的，它也是截面位置SKIPIF1<0的函数，即SKIPIF1<0此式称为转角方程。
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实际中，小变形时转角SKIPIF1<0是一个很小的量，因此可表示为SKIPIF1<0综上所述，求梁的任一截面的挠度和转角，关键在于确定梁的挠曲线方程SKIPIF1<0挠曲线近似微分方程对细长梁，梁上的弯矩SKIPIF1<0和相应截面处梁轴的曲率半径SKIPIF1<0均为截面位置SKIPIF1<0的函数，因此，梁的挠曲线的曲率可表为SKIPIF1<0即梁的任一截面处挠曲线的曲率与该截面上的弯矩成正比，与截面的抗弯刚度EI成反比。另外，由高等
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知，曲线SKIPIF1<0任一点的曲率为SKIPIF1<0显然，上述关系同样适用于挠曲线。比较上两式，可得SKIPIF1<0上式称为挠曲线微分方程。这是一个二阶非线性常微分方程，求解是很困难的。而在工程实际中，梁的挠度SKIPIF1<0和转角SKIPIF1<0数值都很小，因此，SKIPIF1<0之值和1相比很小，可以略去不计，于是，该式可简化为SKIPIF1<0式中左端的正负号的选择，与弯矩SKIPIF1<0的正负符号规定及SKIPIF1<0坐标系的选择有关。根据弯矩SKIPIF1<0的正负符号规定，当梁的弯矩SKIPIF1<0时，梁的挠曲线为凹曲线，按图示坐标系，挠曲线的二阶导函数值SKIPIF1<0；反之，当梁的弯矩SKIPIF1<0时，挠曲线为凸曲线，在图示坐标系中挠曲线的SKIPIF1<0。可见，在图示右手坐标系中，梁上的弯矩M与挠曲线的二阶导数SKIPIF1<0符号相反。所以，上式的左端应取负号，即SKIPIF1<0上式称为挠曲线近似微分方程。实践表明，由此方程求得的挠度和转角，对工程计算来说，已足够精确。积分法求弯曲变形积分法计算梁的变形积分一次：SKIPIF1<0´=θ再积分一次：C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定边界条件：（1）固定端约束：限制线位移和角位移AB(2)铰支座：只限制线位移ABC连续条件：4、叠加法求梁的变形在第五章介绍用叠加法作弯矩图时，曾介绍了材料力学的一个普遍原理——叠加原理。在线弹性小变形前提下，构件的支反力、内力、应力和变形都可以用叠加法的方法计算。弯曲变形时，梁的挠度与转角都与载荷成线性关系。因此，可以用叠加法计算梁的弯曲变形。当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。应用叠加法求梁的变形时，若已知梁在简单载荷作用时的变形，是很方便的。5、梁的刚度校核5.1刚度条件SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0[]——构件的许用转角[SKIPIF1<0]、SKIPIF1<0——分别为构件的许用挠度、单位长度许用挠度5.2刚度校核刚度校核是检查梁在荷载作用下产生的变形是否超过容许值，在机械工程中，一般对SKIPIF1<0都进行校核；在建筑工程中，大多数只校核挠度SKIPIF1<0。5.3提高梁刚度的
措施
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从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件，梁截面的惯性矩SKIPIF1<0、材料的弹性模量SKIPIF1<0有关。故提高梁刚度的措施为：（1）改善结构形式，减小弯矩SKIPIF1<0；（2）增加支承，减小跨度SKIPIF1<0；（3）选用合适的材料，增加弹性模量SKIPIF1<0。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著；（4）选择合理的截面形状，提高惯性矩SKIPIF1<0，如工字形截面、空心截面等。6、简单超静定梁的解法超静定梁：约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不定次数。友情提示：
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