线性二次型最优控制

7.线性二次型最优控制Chapter7线性二次型最优控制稳定性是控制系统的一个重要指标，还要考虑诸如调节时间、超调、振荡等动态特性以及控制器所消耗的能量等因素。通过极点配置可使系统具有期望的稳定性和动态性能，然而并没有考虑控制的能量代价。用Lyapunov稳定性理论解决“ 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 优化问题”，通过选取一个适当的参数，可以在保证系统稳定的前提下，使二次型性能指标最小化，从而使系统的过渡过程具有较好的性能，有必要将这种方法推广到控制器 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 。7.1二次型最优控制在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 （如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的），具有最小能量的控制方式更具实际意义。对于xAxBuyCx（7-1）系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述：J[xTQxuTRu]dt（7-2）0Q是对称正定（半正定）加权矩阵，R是对称正定加权矩阵，他们反映了设计者对状态x和控制u中各分量重要性的关注程度。第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控制能量的限制。通常状态x衰减速度越快，控制能量越大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找Q、R，调和上述矛盾，问题归结为，对给定系统（7-1）和保证一定性能指标（7-2）的前提下，,设计一个控制器u，使J最小。若系统的状态是可以直接测量的，且考虑的控制器是状态反馈控制器，则可以证明，使性能指标（7-2）最小化的最优控制器具有以下线性状态反馈形式：uKx（7-3）将控制器（7-3）代入系统方程（7-1）可得x(ABK)x（7-4）若系统是渐近稳定的，矩阵ABK所有特征值均具有负实部，根据线性时不变系统的Lyapunov稳定性定理，（7-4）一定存在一个正定对称矩阵P的二次0/107.线性二次型最优控制型Lyapunov函数V(x)xTPx，利用系统的稳定性可得ddJxTQxuTRuV(x)dtV(x)dt0dt0dtxTQxuTRuxTP(ABK)(ABK)TPxdtV[x(t)]t0t0xTQKTRKPAATPPBKKTBTPxdtxTPx000对上式“下划线”部分“+”“-”PBR1BTP进行配平方得到KTRKPBKKTBTPPBR1BTPPBR1BTP(KR1BTP)TR(KR1BTP)PBR1BTP可得JxTQPAATPPBR1BTPxdtxTPx000xT(KR1BTP)TR(KR1BTP)xdt（7-5）0求解最优控制问题，就是选取一个适当的增益矩阵K，是性能指标J最小化。由（7-5）只有第三项依赖于矩阵K，而且是非负的，只有当第三项等于零J才能最小，当且仅当KR1BTP（7-6）K依赖于正定对称矩阵P，特别是当可以找到一个P，满足Riccati方程PAATPPBR1BTPQ0（7-7）此时JxTPx（7-8）00闭环系统方程为x(ABR1BTP)x（7-9）最优状态反馈控制器为uR1BTPx（7-10）可以证明，确实有dV(x)xTPxxTPxxT[P(ABR1BTP)(ABR1BTP)TP]xdtxT[PAPBR1BTPATPPBR1BTP]x(利用了P的对称性)Q(77)xT[QPBR1BTP]x0(利用了Q、R、P的正定对称性)这就证明了最优状态反馈控制器（7-10）uR1BTPx是稳定的。稳定化的最优控制状态反馈控制器的设计步骤 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 ：1/107.线性二次型最优控制（1）求解Riccati方程（7-7）PAATPPBR1BTPQ0，结合利用矩阵正定性、对称性要求，确定P；（2）将求得的正定对称矩阵P代入（7-10）uR1BTPx如果二次性能指标中是输出向量，即J[yTQyuTRu]dtyCx0J[xTCTQCxuTRu]dt相当于QQCTQC0x01x0例7-1（P例7.1.2）对如图控制系统11u（虚线框部分方187x00x122程，显然系统只是“临界”稳定的），设计一个最优状态反馈控制器u(t)Kx(t)，10使系统性能指标JxTxu2dt0最小（Q对称正定）。00R1Q解：写出Riccati方程PAATPPBR1BTPQ0pp0100pppp010111211121112(1)(01)0pp0010pppp10122212221222上式有三个独立方程，再结合利用P正定性要求，pp21其解为1112pp121222于是，系统的最优控制器为21x1T1uRBPx1(01)x2x12x1201x此时，相应的闭环系统为x(ABR1BTP)x1，特征值为12x21s(22)（系统是渐近稳定的）。1,222/107.线性二次型最优控制7.2应用Matlab求解二次型最优控制在Matlab中，函数[K,P,E]lqr(A,B,Q,R)（7-11）给出了相应二次型最用控制问题的解。函数输出变量中的K是最优反馈增益矩阵，P是Riccati方程（7-7）的对称正定解矩阵，E是最优闭环系统的极点。x010x011例7-2（P例7.2.2）对系统x001x0u，设计一个最优19022x35279x133状态反馈控制器u(t)Kx(t)，使系统性能指标JxTIxu2dt最小（Q为30QR13阶单位矩阵）。解：系统为能控 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型，存在状态反馈控制器，执行以下m-文件A[010;001;-35-27-9]；B[0;0;1]；Q[100;010;001]；R[1]；[K,P,E]lqr(A,B,Q,R)可得K0.01430.11070.0676P4.26252.49570.01432.49572.81500.11070.01430.11070.0676E-5.0958-1.98591.7110i-1.98591.7110i因此，系统的最优状态反馈控制器为u[0.01430.11070.0676]x检验最优闭环系统对初始状态x[100]T的响应，执行以下m-文件03/107.线性二次型最优控制A[010;001;-35-27-9]；B[0;0;1]；K[0.01430.11070.0676]sysss(A-B*K,eye(3),eye(3),eye(3))；t0:0.01:8xinitial(sys，[1;0;0]，t)x1[100]*x；x2[010]*x；x3[001]*x；subplot(2，2，1)；plot(t，x1)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x1')subplot(2，2，2)；plot(t，x2)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x2')subplot(2，2，3)；plot(t，x3)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x3')得到如图响应曲线x010x011例7-3（P例7.2.3）系统x001x0u，y(100)x，其19222x023x1334/107.线性二次型最优控制中x(xxx)T(yyy)T，设r为参考输入，控制信号123uk(rx)(kxkx)krKx（如图所示）。为了获得快速响应，加权系数112233110000qR，性能指标为JxT010x0.01u2dtii0R001Q求r0条件下系统的最优状态反馈控制器u(t)Kx(t)，使系统性能指标最小，并检验最优闭环系统在r1(t)的输出相应。解：系统为能控标准型，存在状态反馈控制器，当r0，执行以下m-文件A[010;001;0-2-3]；B[0;0;1]；Q[10000;010;001]；R[0.01]；[K,P,E]lqr(A,B,Q,R)可得K100.000053.120011.6711u[10053.1211.6711]x最优闭环系统的状态方程为xAxBuAxB(Kxkr)(ABK)xBkr11输出方程为yCx[100]x执行以下m-文件检验r1(t)的输出响应A[010;001;0-2-3]；B[0;0;1]；5/107.线性二次型最优控制C[100]；D[0]；K[100.000053.120011.6711]；k1K(1)；k2K(2)；k3K(3)；%闭环系统状态空间模型参数AAA-B*K；BBB*k1；CCC；DDD；t0:0.01:5[y，x，t]step(AA,BB,CC,DD,1,t)；plot(t,y)gridxlabel('t(sec)')；ylabel('outputyx1')7.3离散时间系统的线性二次型最优控制考虑离散自治系统x(k1)Ax(k)（7-12）1系统的性能指标为JxT(k)Qx(k)（7-13）2k0类似于连续系统参数优化，根据Lyapunov稳定性理论，对给定的对称正定矩阵Q,由（7-12）的稳定性，可得离散时间Lyapunov方程6/107.线性二次型最优控制ATPAPQ0（7-14）存在一个正定对称解矩阵P，因此V(x(k))xT(k)Px(k)（7-15）是系统（7-12）的一个Lyapunov函数。它沿系统（7-12）任意轨迹的差分V(x(k))V(x(k1))V(x(k))xT(k1)Px(k1)xT(k)Px(k)xT(k)ATPAx(k)xT(k)Px(k)xT(k)[ATPAP]x(k)利用（7-14）可得V(x(k1))V(x(k))xT(k)Qx(k)（7-16）（7-16）两边并利用系统的渐近稳定性可得k011JxT(k)Qx(k)[V(x(k))V(x(k1))]22k0k01(715)[xT(k)Px(k)xT(k1)Px(k1)]（中间相抵消）2k01JxT(0)Px(0)（7-17）2这表明，只要能从（7-14）求得正定对称矩阵P，代入（7-17）就可以求得性能指标J，而无须求无穷级数（7-13）。111例7-4（P例7.3.1）系统x(k1)x(k)，x(0)，0.25a0，确195a101定参数a，使JxT(k)Qx(k)，QI最小。2k0解：系统极点是s1a，因为0.25a0，系统的两个极点在单位圆内，1,21系统是渐近稳定的，系统性能指标为JxT(0)Px(0)2由离散时间的Lyapunov方程解出对称正定的P1app11pp1011121112011ppa1pp0112221222可得2apa2p1012227/107.线性二次型最优控制p(a2)pap0111222p2p101112三个方程解三个未知数2a2a1Pa(2a)a(2a)a13a(2a)a(2a)对0.25a0范围内的参数值，P0，因此系统的性能指标为11pp112a2JxT(0)Px(0)(10)1112p22pp02112a(2a)1222dJ3(a1)2dta2(2a)2dJ对于0.25a0，0，表明J单调上升，于是J在a0.25时达到最小值。dt20.252J2.3571min0.5(20.25)以下进一步讨论离散系统的线性二次型最优控制问题。x(k1)Ax(k)Bu(k)（7-18）1二次型性能指标为J[xT(k)Qx(k)uT(k)Ru(k)]（7-19）2k0Q、R均为对称正定矩阵。希望设计一个线性状态反馈控制器使（7-19）最小。u(k)Kx(k)（7-20）类似可以得到，若（7-18）能控，则线性二次型最优控制问题有解，且最优控制器为：u(k)(RBTPB)1BTPAx(k)（7-21）其中P满足离散时间的Riccati方程：ATPAATPB(RBTPB)1BTPA-PQ0（7-22）例7-5（P例7.3.2）系统x(k1)x(k)u(k)，求最优状态反馈控制器，使性1961能指标J[x2(k)u2(k)]最小。2k0解：系统A1，B1，且Q1，R1Riccati方程为：p(1p)1p10→p2p108/107.线性二次型最优控制11该方程的解为：p(15)，由于P是正定的，故取p(15)22最优状态反馈控制器为：1111u(k)(1p)1px(k)1(15)(15)x(k)(51)x(k)22211最优闭环系统为：x(k1)x(k)u(k)x(k)(51)x(k)(35)x(k)22显然，该系统是渐近稳定的，闭环系统最小性能指标为11Jpx2(0)(15)x2(0)24Matlab给出了函数dare来求解离散时间的Riccati方程（7-22），函数dlqr则给出了离散系统线性二次型最优控制问题的解（7-21）。9/10