PAGE\*MERGEFORMAT23.4函数的应用（一）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教学目标1.能够帮助学生了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等函数模型)的广泛应用．2.帮助学生理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．3.引导学生掌握利用常见的函数模型解决一些简单实际问题的过程与方法.二、教学重难点1.引导学生从具体实例中学会建立函数模型.2.使学生能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．三、教学过程1.创设情境，引发思考【实际情境】随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：年份201820192020销量/万辆81830结合以上三年的销量及人们生活的需要，2021年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2021年实际销售44万辆，圆满完成销售目标．问题：(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？(2)如果我们分别将2018,2019,2020,2021年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？(3)依照目前的形势分析，你能预测一下2022年，该公司预销售多少辆汽车吗？【预设的答案】(1)建立函数模型．(2)年份x1234销量y/万辆8183044通过散点图发现二次函数能更好地反映该公司中的年销量.通过计算可知，二次函数的解析式为y=x2+7x(3)2022年，该公司预销售60万辆汽车．【设计意图】通过一个实际应用问题，让学生体会函数模型在实际生活中的重要作用，它是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.深入思考，研究不同函数模型的应用【数学情境2】问题1：某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒？【预设的答案】因利润z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．【设计意图】这是一个一次函数模型的应用，让学生学会利用一次函数模型解决最值问题。问题2：A，B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．【预设的答案】[解] (1)由题意设A城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.设B城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，∴A、B两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.∵λ＝0.25，∴y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．(2)由y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(50000,3)，则当x＝eq\f(100,3)时，y最小．故当核电站建在距A城eq\f(100,3)km时，才能使供电总费用最小．【设计意图】创设数学情境，二次函数模型的实例，让学生感受在数学学习中，如何利用二次函数模型表示变量之间的关系，并且在根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值。问题3：某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【预设的答案】[解] (1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2eq\r(x)(x≥0)，结合已知得f(1)＝eq\f(1,8)＝k1，g(1)＝eq\f(1,2)＝k2，所以f(x)＝eq\f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq\f(1,2)eq\r(x)(x≥0)．(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝eq\f(x,8)＋eq\f(1,2)eq\r(20－x)(0≤x≤20)，令t＝eq\r(20－x)(0≤t≤2eq\r(5))，则x＝20－t2，所以y＝eq\f(20－t2,8)＋eq\f(t,2)＝－eq\f(1,8)(t－2)2＋3，所以当t＝2时，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．【设计意图】这是一个幂函数模型，让学生体验幂函数模型在生活中的应用。问题4：已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；(2)求汽车行驶5小时与A地的距离．【预设的答案】[解] (1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；当2.51000得，x>eq\f(700,3)，故每天至少需要卖出234张门票．
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