3、弹性地基梁理论

3、弹性地基梁理论3.1概述弹性地基梁：是指搁置在具有一定弹性的地基上、各点与地基紧密相贴的梁。例如：铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁等等。通过这种梁将作用在它上面的荷载，分不到较大面积的地基上，即使承载力较低的地基，能承受较大的荷载，又使梁的变形减小，提高刚度降低内力。地下建筑衬砌的计算，与弹性地基梁理论有密切的关系。●弹性地基梁理论：弹性地基梁是超静定结构，分布于梁上的地基反力大小及变化规律，与作用于梁上的荷载、梁的几何形状及尺寸、材料及地基的物理力学性质有关，单用静力平衡条件是不能求得的，实用上常采用一定的假定，以资简化。目前，计算弹性地基梁的理论主要有以下两种。3.1概述一、以温克尔假定为基础的局部变形理论。认为地基反力的大小仅与该点的地基沉降量成正比。按照这个假定来计算弹性地基梁，是将地基看成为无限多个各自孤立的弹簧，地基沉降只发生在梁的底面范围内（实际上，临近梁四周的地基也发生沉陷）。另外，地基反力与其沉陷量间的比例系数，是与地基类别、受压面积大小、加力的大小、加力的方向与次数有关，并不是常数，很难取得准确值。所以，一般说来，温克尔假定不能很好的符合实际情况。但当硬地层上有一层较薄的松软土层，而梁放在松软土层上时，温克尔假定比较符合实际。3.1概述二、把地基假定为半无限弹性体的共同变形理论。所谓半无限弹性体，是指地基表面为无限平面，梁搁置在上面，表面以下的地基为均质、各向同性的无线弹性体。地基的沉降量，用弹性力学方法计算。地基反力，根据梁与地基的变形协调条件求的。采用这个假定，地基某点的沉降量不仅与该点的压力有关，与其他点的压力也有关；地基沉陷不仅发生在梁的底面范围，也发生在临近四周的范围内。同时反映地基性质的是用它的弹性模量和泊松比，他们与受压面积的大小和加力的大小无关。所以这个假定比温克尔假定能更好的反映实际情况。3.1概述上述两种理论，各有优缺点，工程上都在使用，但在计算上局部变形理论更简便些。由于目前对作用在衬砌结构上的主要荷载——围岩压力还没有完全认识，取值不可能准确，因此，在衬砌结构计算中，多采用局部变形理论计算围岩弹性抗力，使计算简化。此外，某些工程问题，如圆柱水池、穹顶结构，尚可比拟于局部变形理论进行求解。3.1概述3.2弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其参数求解在弹性地基梁局部变形理论中，除了采用温克尔假外，还认为梁的变形与地基的变形是协调的，即梁底面与地基表面始终是相贴的，没有缝隙，地基的沉陷或隆起与梁的挠度是处处相等的。另外，由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可略去不计。梁的高跨比一般很小，其变形符合平面假定，因此，在 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中可直接引用材料力学有关的梁理论的若干结论。下面推导弹性地基梁局部变形理论的计算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 。设有长为l、宽为b的弹性地基等裁面宣粱，梁上作用有任意荷裁，其坐标、荷裁及内力的正方向如图5—1所示。3.2弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其参数求解在以下讨论中，取粱变形前的左端截面中心为坐标原点，x轴向右为正，y轴向下为正。分布荷载q(x)及集中荷载p向下为正，集中力偶荷载M顺时针向为正。弯矩Mx。使梁上边缘受拉为正，剪力：q(x)使微段反时针转为正。挠度(沉陷)y(x)向下为正，角变位⊙x反时针转为正。地基反力p(x)向上为正。3.2弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其参数求解为建立挠度曲线微分方程式，在有分布荷裁q(x)的区段，裁取一微段dx来研究，其受力图如图5—1所示。由微段平衡条件得：根据温克尔假定及地基与粱变形协调条件，地基反力p(x)与该点梁酌挠度成正比，即3.2弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其参数求解式中p(x)——梁单位长度上的地基反力(公斤／厘米)，b——梁的宽度(厘米)，k——比例系数，在地下建筑中称围岩弹性抗力系数(公斤／厘米3。)，其物理意义为使单位面积地基沉陷单位深度时所需要的力。各种围岩的弹性抗力系数，交附表5—3及附表5—4；y(x)——梁的挠度(厘米)。3.2弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其参数求解将公式(5—1)代入微段平衡方程式，并赂去高阶微量后得由材料力学知，梁的弯矩与其挠度间有微分关系3.2弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其参数求解将公式(5—3)代入公式(5—2)，并利用公式(5—4)后，得弹性地基梁的挠度曲线微分方程式中α——弹性地基梁的弹性特征值(1／厘米）E——梁材料的弹性模量(公斤／厘米2)I——梁截面惯性矩(厘米4)。方程式(5—5)是一个四阶常系数非齐次线性常微分式，下面将根据荷裁性质及分布范围，讨论它的解。3.2弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其参数求解当梁跨间无荷载时q(x)＝p＝M＝o，梁的变形及内力由梁的端效应引起，例如，图5—2所示情况。这时梁的挠度曲线由微分方程式(5—5)对应的齐次方程式求得3.2弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其参数求解设方程式(5—5a)的解为yx＝er(ay)(其中r为常数)，代人方程式(5—5。)后，得特征方程式它的四个根是两对共轭复数因此，齐次方程式(5—5a)的四个线性无关的解为，3.2弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其参数求解当利用欧拉公式及双曲线函数定义时，即这四个解可写为3.2弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其参数求解梁跨间无荷载时的解这样齐次方程式(5—5a)的通解为式中C1~C4为积分常数由梁两端的四个边界条件确定。将通解yx代入公式(5—3)及(5—4)，并利用公式(5—6)及下列微分关系后得梁跨间无荷载时的解梁跨间无荷载时的解不难求得路问无荷载时，梁的变位及内力为为了使用方便，用梁的起始端的初参数(物理量)替换式中的积分常数C1l—C4,如图5—2所示，取梁左端：X＝o处的挠度y。、角变位Θ。弯矩M。及剪力Q。为初参数。那么，根据这些条化并注意到：x=0时、Ф1＝1，Ф2=Ф3=Ф4=0，从公式(5—10)求得梁跨间无荷载时的解梁跨间无荷载时的解将C1l—C4代入公式(5—10)，得梁跨间无荷哉时，变位及内力的初参数解为：3.3梁跨间有荷载时的解3.3梁跨间有荷载时的解首先讨论集中力P的影响:梁段上荷载挠度曲线方程:显然C点以右的挠度除初参数y。、Θ。、M。及Q。的影响按上式考虑外，还应加上因P的影响产生的附加项△yx。集中力P对其作用点c以右部分的挠度影响，正如在C点增加一个初参致p时(对C点以右部分而言)所产生的挠度。考虑到这时的坐标原点应为x=ap，则P对其作用点C以右部分挠度影响的附加项为：或简写为3.3梁跨间有荷载时的解同理，对于集中力偶M作用点D以右的部分，应考虑以D点为坐标原点增加初参数－M后的挠度影响附加项．即3.3梁跨间有荷载时的解分布荷载q(x)对其以右部分的挠度影响附加项应分为两种情况讨论。一是在荷载分布范围EF内，二是在荷载分布范围以外，分别在两区段]上积分，求得分布荷载q(x)在该二范围内引起的挠度附加项为：3.3梁跨间有荷载时的解因此,梁跨间有荷载的挠曲线方程应为:3.3梁跨间有荷载时的解运用相同的方法可导得各段角变位、弯矩及剪力的附加项。将它们汇总，最后得弹性地基等截面直梁的变位及内力一般公式为：3.3梁跨间有荷载时的解式中y。Q。——由边界条件确定的初参数，意义同前，am,ap——集中力偶M及集中力P的作用点坐标；3.3梁跨间有荷载时的解例:局部梯形荷载，有3.3梁跨间有荷载时的解当利用分部积分3.3梁跨间有荷载时的解3.3梁跨间有荷载时的解3.3梁跨间有荷载时的解（F）3.3梁跨间有荷载时的解（F）3.3梁跨间有荷载时的解对于全跨梯形荷载弹性地基等截面直梁3.3梁跨间有荷载时的解3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁在概述中我们提到，当地基梁的刚度很大，地基抗力近似为直线分布，地基梁的计算可退化为静定问题计算。为了计算方便，我们将地基梁分为刚性梁、柔性梁（长梁）和弹性梁（短梁）三种。定义换算长度：λ=αl3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁短梁(又称有限长梁、弹性梁)：l＜λ＜2.75一般弹性地基梁，按上述方法计算刚性梁：λ＜1可认为梁是绝对刚性的，即EI→∞，刚性梁的地基反力呈直线分布，其变位及内力可由静力平衡条件求得。也可以把刚性梁视为短梁的特例，直接由短粱导得计算公式。此时取α→0，作极限运算。因为3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁则3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁式{……}内为正时才值取，为负时舍去3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁长梁：λ>=2．75无限长梁：若荷载作用点距梁两端的换算长度均>=2．75，可忽略该荷载对梁端的影响，这类梁称为无限长梁。无限长梁：若荷载作用点仅距梁一端的换算长度>=2．75时，可忽略该荷载对这一端的影响，而对另一端的影响不能忽略，这类梁称为半无限长梁。无限长梁可化为两个半无限长粱，因此，我们只讨论半无限长梁。3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁由于作用在梁上的荷载，组合方式甚多，计算上应分别对待，在此不作详细讨论，仅讨论与衬砌计算有关的全跨梯形荷载情形。3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁式中因此：3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁式中3.4弹性地基短梁、长梁及刚性梁3.5弹性地基梁解的应用例13.5弹性地基梁解的应用3.5弹性地基梁解的应用解得3.5弹性地基梁解的应用解得3.5弹性地基梁解的应用3.5弹性地基梁解的应用例2无限长弹性地基梁，在O点作用集中力P，求梁的变位及内力公式3.5弹性地基梁解的应用3.5弹性地基梁解的应用3.5弹性地基梁解的应用