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数列突破训练高考中的数列问题1．公比不为1的等比数列{a}的前n项和为S，且－3a，－a，a成等差数列，若ann1231＝1，则S等于()4A．－20B．0C．7D．40答案A解析设等比数列{a}的公比为q，其中q≠1，n依题意有－2a＝－3a＋a，－2aq＝－3a＋aq2≠0.213111即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，1×[1－－34]又q≠1，因此有q＝－3，S＝＝－20，故选A.41＋32．数列{a}中，已知对任意n∈N*，a＋a＋a＋…＋a＝3n－1，则a2＋a2＋a2＋…＋a2n123n123n...

高考中的数列问题1．公比不为1的等比数列{a}的前n项和为S，且－3a，－a，a成等差数列，若ann1231＝1，则S等于()4A．－20B．0C．7D．40 答案 A解析设等比数列{a}的公比为q，其中q≠1，n依题意有－2a＝－3a＋a，－2aq＝－3a＋aq2≠0.213111即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，1×[1－－34]又q≠1，因此有q＝－3，S＝＝－20，故选A.41＋32．数列{a}中，已知对任意n∈N*，a＋a＋a＋…＋a＝3n－1，则a2＋a2＋a2＋…＋a2n123n123n等于()1A．(3n－1)2B.(9n－1)21C．9n－1D.(3n－1)4答案B解析a＝2，a＋a＋…＋a＝3n－1，①112nn≥2时，a＋a＋…＋a＝3n－1－1，②12n－1①－②得a＝3n－1·2(n≥2)，nn＝1时，a＝2适合上式，∴a＝2·3n－1.1na21－9n41－9n1∴a2＋a2＋…＋a2＝1＝＝(9n－1)．12n1－91－923．等差数列{a}的前n项和为S，且a>0，S＝0.设b＝aaa(n∈N*)，则当数列nn150nnn＋1n＋2{b}的前n项和T取得最大值时，n的值是()nnA．23B．25C．23或24D．23或25答案D50解析因为S＝(a＋a)502150＝25(a＋a)＝0，2526a>0，所以a>0，a<0，12526所以b，b，…，b>0，b＝aaa<0，122324242526b＝aaa>0，25252627b，b，…<0，2627且b＋b＝0，2425所以当数列{b}的前n项和T取得最大值时，n的值为23或25.nn214．已知数列{a}的前n项和为S，对任意n∈N*都有S＝a－，若11时，S＝a－，n－13n－1322∴a＝a－a，∴a＝－2a，n3n3n－1nn－1－2k－1又a＝－1，∴{a}为等比数列，且a＝－(－2)n－1，∴S＝，1nnk3由11，∴q＝2，∴a＝1.1221故数列{a}的通项为a＝2n－1.nn(2)由于b＝lna，n＝1,2，…，n3n＋1由(1)得a＝23n，∴b＝ln23n＝3nln2.3n＋1n又b－b＝3ln2，∴{b}是等差数列，n＋1nnnb＋b3nn＋13nn＋1∴T＝b＋b＋…＋b＝1n＝·ln2.故T＝ln2.n12n22n2思维升华(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列．(2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{b}是一个公差为d的等差数列，则n{ab}(a>0，a≠1)就是一个等比数列，其公比q＝ad；反之，若数列{b}是一个公比为q(q>0)nn的正项等比数列，则{logb}(a>0，a≠1)就是一个等差数列，其公差d＝logq.ana已知等差数列{a}的首项a＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分n1别是等比数列{b}的第2项、第3项、第4项．n(1)求数列{a}与{b}的通项公式；nnccc(2)设数列{c}对n∈N*均有1＋2＋…＋n＝a成立，求c＋c＋c＋…＋c.nbbbn＋1123201312n解(1)由已知有a＝1＋d，a＝1＋4d，a＝1＋13d，2514∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(因为d>0).∴a＝1＋(n－1)·2＝2n－1.n又b＝a＝3，b＝a＝9，∴数列{b}的公比为3，2235n∴b＝3·3n－2＝3n－1.nccc(2)由1＋2＋…＋n＝a，得bbbn＋112nccc当n≥2时，1＋2＋…＋n－1＝a.bbbn12n－1c两式相减得，n＝a－a＝2.bn＋1nn∴c＝2b＝2·3n－1(n≥2)．nnc又当n＝1时，1＝a，∴c＝3.b2113n＝1，∴c＝n2·3n－1n≥2.∴c＋c＋c＋…＋c12320136－2×32013＝3＋＝3＋(－3＋32013)＝32013.1－3题型二数列的通项与求和1n＋1例2已知数列{a}的前n项和为S，且a＝，a＝a.nn12n＋12nna(1)证明：数列{n}是等比数列；n(2)求通项a与前n项的和S.nn1n＋1(1)证明因为a＝，a＝a，12n＋12nna当n∈N*时，n≠0.na1aa1又1＝，n＋1∶n＝(n∈N*)为常数，12n＋1n2a11所以{n}是以为首项，为公比的等比数列．n22a11(2)解由{n}是以为首项，为公比的等比数列，n22a11得n＝×()n－1，n221所以a＝n×()n.n21111∴S＝1·()＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n，n222211111S＝1·()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n·()n＋1，2n2222111111∴S＝()＋()2＋()3＋…＋()n－n·()n＋12n2222211－n＋1221＝－n·()n＋1，121－211∴S＝2－()n－1－n·()nn221＝2－(n＋2)·()n.211综上，a＝n·()n，S＝2－(n＋2)·()n.n2n2思维升华(1)一般数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，本题选用的错位相减法，常用的还有分组求和，裂项求和．aa＋1已知数列{a}的各项均为正数，前n项和为S，且S＝nn，n∈N*.nnn2(1)求证：数列{a}是等差数列；n1(2)设b＝，T＝b＋b＋…＋b，求T.n2Sn12nnnaa＋1(1)证明∵S＝nn，n∈N*，n2aa＋1∴当n＝1时，a＝S＝11(a>0)，∴a＝1.112n12S＝a2＋a，nnn当n≥2时，由2S＝a2＋a，n－1n－1n－1得2a＝a2＋a－a2－a.nnnn－1n－1即(a＋a)(a－a－1)＝0，nn－1nn－1∵a＋a>0，∴a－a＝1(n≥2)．nn－1nn－1∴数列{a}是以1为首项，以1为公差的等差数列．nnn＋1(2)解由(1)可得a＝n，S＝，nn21111b＝＝＝－.n2S＋n＋nnn1n1∴T＝b＋b＋b＋…＋bn123n11111＝1－＋－＋…＋－223nn＋11n＝1－＝.n＋1n＋1题型三数列与不等式的综合问题2S12例3(2013·广东)设数列{a}的前n项和为S，已知a＝1，n＝a－n2－n－，n∈nn1nn＋133N*.(1)求a的值；2(2)求数列{a}的通项公式；n1117(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.aaa412n12(1)解2S＝a－－1－，又S＝a＝1，123311所以a＝4.212(2)解当n≥2时，2S＝na－n3－n2－n，nn＋133122S＝(n－1)a－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，n－1n3312两式相减得2a＝na－(n－1)a－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，nn＋1n33整理得(n＋1)a＝na－n(n＋1)，nn＋1aaaa即n＋1－n＝1，又2－1＝1，n＋1n21aa故数列n是首项为1＝1，公差为1的等差数列，n1a所以n＝1＋(n－1)×1＝n，所以a＝n2，nn所以数列{a}的通项公式为a＝n2，n∈N*.nn17(3)证明当n＝1时，＝1<；a4111157当n＝2时，＋＝1＋＝<；aa4441211111当n≥3时，＝<＝－，an2－－nnn1nn1111111111111此时＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋aaaa43242n24××－123n2334nn11111111＝1＋＋－＋－＋…＋－42334n－1n511717＝＋－＝－<，42n4n41117所以对一切正整数n，有＋＋…＋<.aaa412n思维升华(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解．(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．已知等差数列{a}中，a＝6，a＋a＝27.n236(1)求数列{a}的通项公式；nS(2)记数列{a}的前n项和为S，且T＝n，若对于一切正整数n，总有T≤m成立，nnn3·2n－1n求实数m的取值范围．解(1)设公差为d，由题意得：a＋d＝6，a＝3，11解得∴a＝3n.2a＋7d＝27，d＝3，n13(2)∵S＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，n2nn＋1∴T＝，n2nn＋1n＋2nn＋1∴T－T＝－n＋1n2n＋12nn＋12－n＝，2n＋13∴当n≥3时，T>T，且T＝10，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)a等价于5－λ>，nn2n2n－12n－3b2n＋12n－1记b＝，n≥2时，n＋1＝＝，n2nb－－n2n34n62nb3所以n≥3时n＋1<1，(b)＝b＝，bnmax38n37所以<.λ84．已知等差数列{a}的前n项和为S，等比数列{b}的前n项和为T，它们满足S＝2Snnnn4214＋8，b＝，T＝，且当n＝4或5时，S取得最小值．2929n(1)求数列{a}，{b}的通项公式；nn1(2)令c＝(S－λ)(－T)，n∈N*，如果{c}是单调数列，求实数λ的取值范围．nn2nn解(1)设{a}的公差为d，{b}的公比为q，nn因为当n＝4或5时，S取得最小值，所以a＝0，n5所以a＝－4d，所以a＝(n－5)d，1n又由a＋a＝a＋a＋8，3412得d＝2，a＝－8，1所以a＝2n－10；n141由b＝，T＝得b＝，29291311所以q＝，所以b＝.3n3n11(2)由(1)得S＝n2－9n，T＝－，nn22·3nn2－9n－λc＝，n2·3n当{c}为递增数列时，cn2－10n＋4恒成立，∴λ∈∅，当{c}为递减数列时，c>c，nnn＋1即λ2－n＋1.nan＋16．(2014·四川)设等差数列{a}的公差为d，点(a，b)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．nnn(1)若a＝－2，点(a,4b)在函数f(x)的图象上，求数列{a}的前n项和S；187nn1a(2)若a＝1，函数f(x)的图象在点(a，b)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{n}122ln2bn的前n项和T.n解(1)由已知，得b＝2a，b＝2a＝4b，77887有2a＝4×2a＝2a＋2.877解得d＝a－a＝2.87nn－1所以S＝na＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.n12xaa(2)函数f(x)＝2在(a，b)处的切线方程为y－2＝(22ln2)(x－a)，22221它在x轴上的截距为a－.2ln211由题意知，a－＝2－，2ln2ln2解得a＝2.2所以d＝a－a＝1，从而a＝n，b＝2n.21nn123n－1n所以T＝＋＋＋…＋＋，n222232n－12n123n2T＝＋＋＋…＋.n12222n－1111n因此，2T－T＝1＋＋＋…＋－nn2222n－12n1n2n＋1－n－2＝2－－＝.2n－12n2n2n＋1－n－2所以T＝.n2n

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