小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型〔等积，鸟头，蝶形，相似，共边〕目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似〔含金字塔模型和沙漏模型〕，共边〔含燕尾模型和风筝模型〕，掌握五大面积模型的各种变形 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；AB②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；CD如右图S:Sa:b12③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SS；△ACD△BCD反之，如果SS，那么可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等△ACD△BCD(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，那么S:S(ABAC):(ADAE)△ABC△ADEDAADEEDBCBCAS图⑴图⑵1SS4三、蝶形定理2OS任意四边形中的比例关系(“蝶形定理〞)：3BC①S:SS:S或者SSSS②12431324AO:OCSS:SSa1243ADS蝶形定理为我们提供了解决不规那么四边形的面1SS积问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的一个途径．通过构造模型，一方面可以使2O4S不规那么四边形的面积关系与四边形内的三角形3相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角BCb线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理〞)：①S:Sa2:b2②13；S:S:S:Sa2:b2:ab:ab1324③S的对应份数为ab2．四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型AEFDADFEBGCBGCADAEDEAF①；ABACBCAG②S：SAF2:AG2．△△所谓的相似三角形，就是形状一样，大小不同的三角形ADEABC(只要其形状不改变，不管大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理〔燕尾模型和风筝模型〕在三角形中，，，相交于同一点，那么ABCADBECFOAS:SBD:DC．ABOACO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手EF段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都O有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任BDC何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】如图，正方形的边长为6，AE1.5，CF2．长方形的面积为．_H_H_A_D_A_D_E_E_G_G_B_B_F_C_F_C【解析】连接，，那么长方形的面积是三角形面积的二倍．三角形的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S661.5622624.54216.5,所以长方形面△DEF积为33．【稳固】如下图，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？_E_E_A_B_A_B_F_F_DG__C_DG__C【解析】此题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)．1∵在正方形ABCD中，SABAB边上的高，△ABG21∴SS(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形△ABG2ABCD面积的一半)1同理，SS．△ABG2EFGB∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等．长方形的宽88106.4(厘米)．【例2】长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影局部面积是多少？AHDEGBFC【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下列图：AHDEGBFC111可得：SS、SS、SS，而EHB2AHBFHB2CHBDHG2DHCSSSS36ABCDAHBCHBCHD11即SSS(SSS)3618；EHBBHFDHG2AHBCHBCHD2而SSSSS，EHBBHFDHG阴影EBF11111SBEBF(AB)(BC)364.5．EBF22228所以阴影局部的面积是：S18S184.513.5阴影EBF解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：AD(H)EGBFC这样阴影局部的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，那么有：1111111SSSSS3636363613.5．阴影ABCDAEDBEFCFD2222222【稳固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影局部面积．ADA(P)DADPPBCBCBC【解析】〔法1〕特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，那么阴影局部变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1和1，所以46阴影局部的面积为11平方厘米．62()1546〔法2〕连接PA、PC．由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形4面积的1，所以阴影局部的面积为11平方厘米．ABCD62()15646【例3】如下图，长方形ABCD内的阴影局部的面积之和为70，AB8，AD15，四边形EFGO的面积为．ADOGEBFC【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD的面积为158120，所以三角形BOC的面积为1312030，所以三角形AOE和DOG的面积之和为1207020；44又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为，所以四边形EFGO的面积为302010．另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色局部的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色局部的面积等于长方形面积减去阴影局部的面积，即1207050，所以四边形的面积为605010．【稳固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE2ED，那么阴影局部的面积为．AEDAEDNMOOBCBC【解析】如图，连接OE．1根据蝶形定理，ON:NDS:SS:S1:1，所以COECDE2CAECDE1SS；OEN2OED11OM:MAS:SS:S1:4，所以SS．BOEBAE2BDEBAEOEM5OEA11又SS3，S2S6，所以阴影局部面积OED34矩形ABCDOEAOED11为：362.7．25【例4】ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)A甲乙DIJFMNH丙BEC【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有SSSSS，ABC丙ABNAMCAMHN即400S200200S，所以SS．丙AMHN丙AMHN又SSSSS，所以阴影ADF甲乙AMHN1SSSSS14340043．阴影甲乙丙ADF4【例5】如图，CD5，DE7，EF15，FG6，线段AB将图形分成两局部，左边局部面积是38，右边局部面积是65，那么三角形ADG的面积是．AACDEFCDEFGGBB【解析】连接AF，BD．根据题意可知，CF571527；DG715628；1512217所以，SS，SS，SS，SS，BEF27CBFBEC27CBFAEG28ADGAED28ADG2115712于是：SS65；SS38；28ADG27CBF28ADG27CBF可得S40．故三角形ADG的面积是40．ADG【例6】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB2:5，AE:AC4:7，S16平方厘米，求△ABC的面积．△ADEAADDEEBCBC【解析】连接BE，S:SAD:AB2:5(24):(54)，△ADE△ABES:SAE:AC4:7(45):(75)，所以S:S(24):(75)，设△ABE△ABC△ADE△ABCS8份，那么S35份，S16平方厘米，所以1份是2平△ADE△ABC△ADE方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【稳固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？AADEDEBCBC【解析】连接BE．∵EC3AE∴S3SABCABE又∵AB5AD∴SS5S15，∴S15S15．ADEABEABCABCADE【稳固】如图，三角形被分成了甲(阴影局部)、乙两局部，BDDC4，BE3，AE6，乙局部面积是甲局部面积的几倍？AAEE乙乙甲甲BCBCDD【解析】连接AD．∵BE3，AE6∴AB3BE，S3SABDBDE又∵BDDC4，∴S2S，∴S6S，S5S．ABCABDABCBDE乙甲【例7】如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD5:2，AE:EC3:2，S12平方厘米，求△ABC的面积．△ADEDDAAEEBCBC【解析】连接BE，S:SAD:AB2:5(23):(53)△ADE△ABES:SAE:AC3:(32)(35):(32)5，△ABE△ABC所以S:S(32):5(32)6:25，设S6份，那么S25△ADE△ABC△ADE△ABC份，S12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方△ADE厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例8】如图，平行四边形ABCD，BEAB，CF2CB，GD3DC，HA4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HHBBAEAEGGCDCDFF【解析】连接AC、BD．根据共角定理∵在△ABC和△BFE中，ABC与FBE互补，∴SABBC111．△ABCSBEBF133△FBE又S1，所以S3．△ABC△FBE同理可得S8，S15，S8．△GCF△DHG△AEH所以SSSSSS8815+3+236．EFGH△AEH△CFG△DHG△BEFABCD所以．【例9】如下图的四边形的面积等于多少？CO1313131312D12BA1212【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144.(也可以用勾股定理)【例10】如下图，ABC中，ABC90，AB3，BC5，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积．EEDDOOAA33B5CB5CF【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置．由于ABC90，AOC90，所以OABOCB180．而OCFOAB，所以OCFOCB180，那么B、C、F三点在一条直线上．由于OBOF，BOFAOC90，所以BOF是等腰直角三角形，1且斜边BF为538，所以它的面积为8216．45根据面积比例模型，OBC的面积为1610．8【例11】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，AEB90，AC、BD交于O．AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．CBCBOOFEEDADA【解析】如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置．那么EAFEABBAFEABDAE90，而AEB也是90，所以四边形AFBE是直角梯形，且AFAE3，所以梯形AFBE的面积为：1()．35312cm22又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，1，所以2()．AB2AE2BE2325234SAB17cm2ABD2那么SSSSSS17125(cm2)，BDEABDABEADEABDAFBE1所以SS2.5(cm2)．OBE2BDE【例12】如下列图，六边形ABCDEF中，ABED，AFCD，BCEF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，FD24厘米，BD18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？BGBAACCFDFDEE【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为2418432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．【例13】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC1:2，AD与BE交于点F．那么四边形DFEC的面积等于．AA33EEF3FB12BDCDCAEFBCD【解析】方法一：连接CF，根据燕尾定理，，,设S1份，那么S2份，S3份，SS3△BDF△DCF△ABF△AEF△EFC份，如图所标55所以SSDCEF12△ABC1211方法二：连接DE，由题目条件可得到SS，△ABD3△ABC31121SSS，所以，△ADE2△ADC23△ABC31111111SSSS，△DEF2△DEB23△BEC232△ABC122115而SS．所以那么四边形DFEC的面积等于．△CDE32△ABC312【稳固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中点．阴影局部的面积是多少平方厘米?ADAADD13FEFEx2FE33yxyBBGCCBGCG【解析】设S1份，那么根据燕尾定理其他面积如下图△DEF55SS平方厘米.阴影12△BCD12【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如下图)．如果三角形1ABD的面积等于三角形BCD的面积的，且AO2，DO3，那么CO3的长度是DO的长度的倍．ADADGOHOBCBC【解析】在此题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种〞不良四边形〞，无外乎两种处理方法：⑴利用条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件S:S1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的条件是面积的关系，转化为边的关系，ABDBCD可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个〞不良四边形〞，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高一样，那么面积之比等于底边之比，得出结果．请教师注意比拟两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵AO:OCS:S1:3，∴OC236，∴ABDBDCOC:OD6:32:1．解法二：作AHBD于H，CGBD于G．111∵SS，∴AHCG，∴SS，ABD3BCD3AOD3DOC1∴AOCO，∴OC236，∴OC:OD6:32:1．3【稳固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积，求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC？AD123GBC【解析】⑴根据蝶形定理，S123，那么S6；BGCBGC⑵根据蝶形定理，AG:GC12:361:3．【例15】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．ADOFGBEC【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为244616，那么△BCO和CDO的面积都是1628，所以△OCF的面积为844；⑵由于△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，所以△OCE的面积为862，根据蝶形定理，EG:FGS:S2:41:2，所以COECOFS:SEG:FG1:2，GCEGCF112那么SS2．GCE12CEF33【例16】如图，长方形ABCD中，BE:EC2:3，DF:FC1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．DDAGAGFFBECBEC【解析】连接AE，FE．因为BE:EC2:3，DF:FC1:2，所以3111S()SS．DEF532长方形ABCD10长方形ABCD111因为SS，AG:GF:5:1，所以S5S10平AED2长方形ABCD210AGDGDF1方厘米，所以S12平方厘米．因为SS，所以AFDAFD6长方形ABCD长方形ABCD的面积是72平方厘米．【例17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影局部的面积．BCGAMD【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC1:2，根据梯形蝶形定理可以知道S:S:S:S12（:12）（:12）:221:2:2:4，设S1份，那△AMG△ABG△MCG△BCG△AGM么S123份，所以正方形的面积为1224312份，△MCDS224份，所以S:S1:3，所以S1平方厘米．阴影阴影正方形阴影【稳固】在下列图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．ADFBCE【解析】连接DE，根据题意可知BE:AD1:2，根据蝶形定理得S（12）29(平方厘米)，S3(平方厘米)，那么梯形△ECDS12(平方厘米)．ABCD【例18】ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．那么阴影局部的面积是平方厘米．ADADOOBCEBCE【解析】连接AC．由于ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，所以CE:AD2:3，根据梯形蝶形定理，S:S:S:S22:23:23:324:6:6:9，所以S6(平方COEAOCDOEAODAOC厘米)，S9(平方厘米)，又SS6915(平方厘AODABCACD米)，阴影局部面积为61521(平方厘米)．【稳固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，三角形面积如下图(单位：平方厘米)，阴影局部的面积是平方厘米．ADAD992121O44BECBEC【分析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SS．OCDOAE根据蝶形定理，SSSS4936，故OCDOAEOCEOADS236，OCD所以S6(平方厘米)．OCD【稳固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，三角形面积如下图(单位：平方厘米)，阴影局部的面积是平方厘米．ADAD881616O22BECBEC【解析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SS．OCDOAE根据蝶形定理，SSSS2816，故OCDOAEOCEOADS216，所以S4(平方厘米)．OCDOCD11另解：在平行四边形ABED中，SS16812(平方ADE2ABED2厘米)，所以SSS1284(平方厘米)，AOEADEAOD根据蝶形定理，阴影局部的面积为8244(平方厘米)．【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米．AEFBAEFB225O?5O?88DCDC【解析】连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以SS，又根据蝶形EODFOC定理，SSSS，所以SSSS2816，所以EODFOCEOFCODEODFOCEOFCODS4(平方厘米)，S4812(平方厘米)．那么长方形ABCD的EODECD面积为12224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)．【例20】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．正方形DEFG的面积48，AK:KB1:3，那么BKD的面积是多少？DAGDAGKKBEFCBEMFC【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的．而AK:KB1:3，11所以ACK的面积是ABC面积的，那么BDK的面积也是ABC134面积的1．4由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48．1那么BDK的面积为4812．4【例21】下列图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影局部与右图中阴m影局部的面积之比是最简分数，那么，(mn)的值等n于．AHDAHDEGEGBFCBFC【解析】左、右两个图中的阴影局部都是不规那么图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白局部面积都比拟好求，所以可以先求出空白局部的面积，再求阴影局部的面积．如下列图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的1111，所以三角形AMD的面积为12．又左图中四个空白三424811角形的面积是相等的，所以左图中阴影局部的面积为14．82AHDAHDMEGEGNBFCBFC如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N．可知EF∥AC且AC2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面1111积的，所以三角形BEF的面积为12，梯形AEFC的面积4248113为．288在梯形AEFC中，由于EF:AC1:2，根据梯形蝶形定理，其四局部的面积比为：，所以三角形的面积为12:12:12:221:2:2:4EFN311111，那么四边形BENF的面积为．而右图中81224248246四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影局部的面积11为14．63那么左图中阴影局部面积与右图中阴影局部面积之比为11m3:3:2，即，23n2那么mn325．【例22】如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，那么S:S:S．△ADE四边形DEGF四边形FGCBADEFGBC【解析】设S1份，根据面积比等于相似比的平方，△ADE所以S:SAD2:AF21:4，S:SAD2:AB21:9，△ADE△AFG△ADE△ABC因此S4份，S9份，△AFG△ABC进而有S3份，S5份，所以S:S:S1:3:5四边形四边形△ADE四边形四边形DEGFFGCBDEGFFGCB【稳固】如图，DE平行BC，且AD2，AB5，AE4，求AC的长．ADEBC【解析】由金字塔模型得AD:ABAE:ACDE:BC2:5，所以AC42510【稳固】如图，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AADDFFMMPPB，那么DES:S:S:S:SFG△ADE四边形DEGF四边形FGNM四边形MNQP四边形PQCB．MNP【解析】设S1份，S:SAD2:AF21:4，因Q△ADE△ADE△AFG此S4份，进而有S3份，同理BC△AFG四边形DEGF有S5份，S7份，S9四边形FGNM四边形MNQP四边形PQCB份．所以有S:S:S:S:S1:3:5:7:9△ADE四边形DEGF四边形FGNM四边形MNQP四边形PQCB【例23】如图，正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABGABABABGGGFFFDCDMDEECEC【解析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有AB:CMBF:FC1:1，因此CM4，根据题意有CE3，再根据另一个沙漏有GB:GEAB:EM4:7，所以4432SS(442)．△ABG47△ABE1111方法二：连接AE,EF，分别求S4224，△ABFS4441232247，根据蝶形定理△AEFS:SBG:GE4:7，所以△ABF△AEF4432SS(442)．△ABG47△ABE1111【例24】如下图，平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求BMG的面积．AFDEHMGBCIAFDHEMGBC【解析】解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF//BD，而FD:BCFH:HC1:2，EB:CDBG:GD1:2所以CH:CFGH:EF2:3，并得G、H是BD的三等分点，所以BGGH，所以21111BG:EFBM:MF2:3，所以BMBF，SSS；5BFD2ABD22ABCD41121211又因为BGBD，所以SS．3BMG35BFD35430解法二：延长CE交DA于I，如右图，可得，AI:BCAE:EB1:1，从而可以确定M的点的位置，21BM:MFBC:IF2:3，BMBF，BGBD(鸟头定理)，53212111可得SSSBMG53BDF534ABCD30【例25】如图，ABCD为正方形，AMNBDEFC1cm且MN2cm，请问四边形PQRS的面积为多少？EFEFDCDCRRSQSQPPAMNBAMNBMPPC【解析】(法1)由AB//CD，有，所以PC2PM，又，所以MNDC11111MQQCMC，所以PQMCMCMC，所以S占S的，2236SPQRAMCF612所以S1(112)(cm2)．SPQR631(法2)如图，连结AE，那么S448(cm2)，ABE2而RBER，所以RBAB，2216()．2SS8cm2ABEFEFEFABR3ABE33而11()，因为MNMP，SS343cm2MBQANS22DCPC所以1，那么114()，阴影局部面积等于MPMCS24cm23MNP2331642()．SSSS33cm2ABRANSMBQMNP333【例26】如右图，三角形ABC中，BD:DC4:9，CE:EA4:3，求AF:FB．AEFOBDC【解析】根据燕尾定理得S:SBD:CD4:912:27△AOB△AOCS:SAE:CE3:412:16△AOB△BOC〔都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数〕所以S:S27:16AF:FB△AOC△BOC【点评】此题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能到达解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【稳固】如右图，三角形ABC中，BD:DC3:4，AE:CE5:6，求AF:FB.AEFOBDC【解析】根据燕尾定理得S:SBD:CD3:415:20△AOB△AOCS:SAE:CE5:615:18△AOB△BOC〔都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数〕所以S:S20:1810:9AF:FB△AOC△BOC【稳固】如右图，三角形ABC中，BD:DC2:3，EA:CE5:4，求AF:FB.AEFOBDC【解析】根据燕尾定理得S:SBD:CD2:310:15△AOB△AOCS:SAE:CE5:410:8△AOB△BOC〔都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数〕所以S:S15:8AF:FB△AOC△BOC【点评】此题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能到达解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形ABC的面积是1，那么三角形ABE的面积为，三角形AGE的面积为，三角形GHI的面积为．AAEEFGFGHIHIBCBCDD【分析】连接AH、BI、CG．222由于CE:AE3:2，所以AEAC，故SS；5ABE5ABC5根据燕尾定理，S:SCD:BD2:3，S:SCE:EA3:2，所ACGABGBCGABG以49S:S:S4:6:9，那么S，S；ACGABGBCGACG19BCG192248那么SS；AGE5AGC519959同样分析可得S，那么EG:EHS:S4:9，ACH19ACGACHEG:EBS:S4:19，所以EG:GH:HB4:5:10，同样分析可得ACGACBAG:GI:ID10:5:4，55215511所以SS，SS．BIE10BAE1055GHI19BIE19519【稳固】如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．AAEEFHFHIIGGBDCBDC【解析】连接，S6份△AGC根据燕尾定理，S:SAF:FB3:26:4，△AGC△BGCS:SBD:DC3:29:6△ABG△AGC得S4(份)，S9(份)，那么S19(份)，因此,△BGC△ABG△ABC同理连接、得,,所以S196661△GHIS1919△ABC三角形的面积是1，所以三角形的面积是19【稳固】如图，ABC中BD2DA，CE2EB，AF2FC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍．AADDGGFFHIHIBECBEC【分析】如图，连接AI．根据燕尾定理，S:SBD:AD2:1，S:SCF:AF1:2，BCIACIBCIABI22所以，S:S:S1:2:4，那么，SSS．ACIBCIABIBCI124ABC7ABC2同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的，所以阴影721三角形的面积等于ABC面积的13，所以ABC的面积是阴77影三角形面积的7倍．DCEAFB1【稳固】如图在△ABC中，,求的值．DBECFA2AAEEHHFFIGIGBDCBDC【解析】连接,设S1份，根据燕尾定理△BGCS:SAF:FB2:1,S:SBD:DC2:1,得S2(份)，△AGC△BGC△ABG△AGC△AGCS4(份),那么S7(份)，因此,同理连接、得,,所以【点评】△ABG如果任意一个三角形各边被分成的比是一样的，△ABC那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到〞的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例28】如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9局部，请写出这9局部的面积各是多少?AAGGQPFFMNBDECBDEC【解析】设与交于点P，与交于点Q，与交于点M，与交于点N．连接，，，．根据燕尾定理，S:SAG:GC1:2，S:SBD:CD1:2，△ABP△CBP△ABP△ACP1设S1(份)，那么S1225(份)，所以S△ABP△ABC△ABP5211213同理可得，S,S,而S，所以S，△ABQ7△ABN2△ABG3△APQ7535121S．△AQG3721311239同理，SS,所以S，△BPM35△BDM21四边形PQMN273570139511511115S,S,S四边形MNED3357042四边形NFCE321426四边形GFNQ321642【稳固】如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？CCFDFDJJGEGEKHKHIIABAB【解析】连接CK、CI、CJ．根据燕尾定理，S:SCD:BD1:2，S:SAG:CG1:2，ACKABKABKCBK1111所以S:S:S1:2:4，那么S，SS．ACKABKCBKACK1247AGK3ACK212类似分析可得S．AGI151又S:SAF:CF2:1，S:SBD:CD2:1，可得S．ABJCBJABJACJACJ41117那么，S．CGKJ4218417根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为，那么四边形JKIH84172161周围的图形的面积之和为S2SS2，所CGKJAGIABE8415370619以四边形JKIH的面积为1．7070【例29】右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，那么△ABC的面积是多少平方厘米？AANGNGMMBDEFCBDEFC【解析】连接CM、CN．根据燕尾定理，S:SAG:GC1:1，S:SBD:CD1:3，△ABM△CBM△ABM△ACM1所以SS；△ABM5△ABC再根据燕尾定理，S:SAG:GC1:1，所以△ABN△CBNS:SS:S4:3，所以AN:NF4:3，那么，所以△ABN△FBN△CBN△FBN2515．S1SSSFCGN7△AFC74△ABC28△ABC15根据题意，有SS7.2，可得S336(平方厘米)5△ABC28△ABC△ABC【例30】如图，面积为l的三角形中，D、E、F、G、H、I分别是、、的三等分点,求阴影局部面积.AADIDINEHEPMHQBCBCFGFG【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令与的交点为M，与的交点为N，与的交点为与的交点为Q,连接、、⑴求S：在△ABC中，根据燕尾定理，四边形ADMIS:SAI:CI1:2S:SAD:BD1:2△ABM△CBM△ACM△CBM设S1(份)，那么S2(份),S1(份),S4(份),△ABM△CBM△ACM△ABC1111所以SSS，所以SSS,SS,△ABM△ACM4△ABC△ADM3△ABM12△ABC△AIM12△ABC111所以S()SS,四边形ADMI1212△ABC6△ABC1同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的6⑵求S：在△ABC中，根据燕尾定理五边形DNPQES:SBF:CF1:2S:SAD:BD1:2,△ABN△ACN△ACN△BCN11111所以SSSS,同理SS△ADN3△ABN37△ABC21△ABC△BEQ21△ABC在△ABC中，根据燕尾定理S:SBF:CF1:2,S:SAI:CI1:2△ABP△ACP△ABP△CBP1所以SS，所以△ABP5△ABC11111SSSSSS五边形DNPQE△ABP△ADN△BEP52121△ABC105△ABC11同理另外两个五边形面积是△ABC面积的，所以10511113S133阴影610570【例31】如图，面积为l的三角形中，D、E、F、G、H、I分别是、、的三等分点,求中心六边形面积.AADIDINREHEHPQMSBCBCFGFG【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接在△ABC中根据燕尾定理，S:SBG:CG.2:1,△ABR△ACRS:SAI:CI1:2△ABR△CBR222所以SS,同理SS,SS△ABR7△ABC△ACS7△ABC△CQB7△ABC22211所以S1，同理S△RQS7777△MNP711131根据容斥原理，和上题结果S六边形777010课后练习：练习1.△DEF的面积为7平方厘米，BECE,AD2BD,CF3AF，求△ABC的面积．AFDBEC【解析】S:S(BDBE):(BABC)(11):(23)1:6，△BDE△ABCS:S(CECF):(CBCA)(13):(24)3:8△CEF△ABCS:S(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6△ADF△ABC设S24份，那么S4份，S4份，S9份，△ABC△BDE△ADF△CEFS244497份，恰好是7平方厘米，所以S24平方厘△DEF△ABC米练习2.如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积．HHCGCGDDABABFFEE【解析】连接BD．由共角定理得S:S(CDCB):(CGCF)1:2，即△BCD△CGFS2S△CGF△CDB同理S:S1:2，即S2S△ABD△AHE△AHE△ABD所以SS2(SS)2S△AHE△CGF△CBD△ADB四边形ABCD连接AC，同理可以得到SS2S△DHG△BEF四边形ABCDSSSSSS5S四边形EFGH△AHE△CGF△HDG△BEF四边形ABCD四边形ABCD所以S66513.2平方米四边形ABCD练习3.正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米．ADEGADHFBCEGHFBCM【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和CHF的面积．1由题意可得到：EG:GCEB:CD1:2，所以可得：SSEBG3BCE将AB、DF延长交于M点，可得：BM:DCMF:FDBF:FC1:1，12而EH:HCEM:CD(ABAB):CD3:2，得CHCE，251121而CFBC，所以SSS2CHF25BCE5BCE111SABBC12030BCE2241177SSSSS3014．四边形BGHFEBC3EBC5EBC15EBC15此题也可以用蝶形定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是FH:HD)，同样也能解出．练习4.如图，ABAE4cm，BCDC，BAEBCD90，AC10cm，那么SSScm2．ABCACECDECBCABEA'DAEDC'【解析】将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形AEC'和A'DC，再连接A'C'，显然ACAC'，ACA'C，ACA'CAC'，所以ACA'C'是正方形．三角形AEC'和三角形A'DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系：SS；SS；SS．AECA'DC'AEC'A'DCCEDC'DE所以11．SSSSSSS101050cm2ABCACECDEAEC'ACECDE2ACA'C'2练习5.如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米．AADDEEGGHHFFBCBC【解析】连接BH,根据沙漏模型得BG:GD1:2,设S1份，根据燕尾定理△BHC127S2份，S2份，因此S（122)210份，S，△CHD△BHD正方形BFHG2367所以S1201014(平方厘米).BFHG6练习6.如图，ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，假设ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是．AADDMMNNBBEFCEFC【解析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积．连接CM、CN．根据燕尾定理，S:SBF:CF2:1，而S2S，所以ABMACMACMADM4S2S4S，那么BM4DM，即BMBD．ABMACMADM5BMBF4214147那么SS，S．BMFBDBCBCD53215四边形CDMF215301111另解：得出S2S4S后，可得SS，ABMACMADMADM5ABD5210117那么SSS．四边形CDMFACFADM31030练习7.如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE4:3，且三角形ABC的面积是74，求角形GHI的面积．AAEEFHFHIIGGBDCBDC【解析】连接，S12份△AGC根据燕尾定理，S:SAF:FB4:312:9，△AGC△BGCS:SBD:DC4:316:12△ABG△AGC得S9(份)，S16(份)，那么S9121637(份)，因此,△BGC△ABG△ABC同理连接、得,,所以S371212121△GHIS3737△ABC1三角形的面积是74,所以三角形的面积是74237月测备选【备选1】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．甲三角形两条直角边分别为2cm和4cm，乙三角形两条直角边分别为3cm和6cm，求图中阴影局部的面积．甲2甲2334乙4乙66【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进展平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影局部面积为：3462（362422）11（cm2）【备选2】如下图，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，那么阴影局部的面积是平方厘米．DPCMNOAB【解析】因为三角形ABP面积为矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，1三角形ABO面积为矩形ABCD的面积的，即9平方厘米，又四边4形PMON的面积为3平方厘米，所以三角形AMO与三角形BNO的面积之和是18936平方厘米．又三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影局部面积为18612(平方厘米)．【备选3】如图，BD3DC，EC2AE，BE与CD相交于点O,那么△ABC被分成的4局部面积各占△ABC面积的几分之几？AA11E9EOO2213.54.5BDCB3D1C【解析】连接CO,设S1份，那么其他局部的面积如下图，所以△AEOS1291830份，所以四局部按从小到大各占△ABC面积的△ABC124.5139313.59,,,30306030103020【备选4】如图，在△ABC中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使1CEBC，F是AC的中点，假设△ABC的面积是2，那么△DEF的面2积是多少？AFCBED【解析】∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，∴SACBC224．△ABCSFCCE111△FCE又S2，所以S0.5．ABCFCE同理可得S2，S3．△ADF△BDE所以SSSSS20.5323.5△DEF△ABC△CEF△DEB△ADF【备选5】如图，BD:DC2:3,AE:CE5:3,那么AF:BFAEFGBDC【解析】根据燕尾定理有S:S2:310:15,S:S5:310:6,所以△ABG△ACG△ABG△BCGS:S15:65:2AF:BF△ACG△BCGDCEAFB1【备选6】如图在△ABC中，,求的值．DBECFA3AAEEHHFFIGIGBDCBDC【解析】连接,设S1份，根据燕尾定理△BGCS:SAF:FB3:1,S:SBD:DC3:1,得S3(份)，△AGC△BGC△ABG△AGC△AGCS9(份),那么S13(份)，因此,同理连接、得,,△ABG△ABC所以S133334△GHIS1313△ABC