初三数学求项式最值问题十法

初三数学求多项式最值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 十法高俊元多元多项式的最大（小）值是近几年数学竞赛的热点内容。这种题型涉及变量多，条件多，且形式新颖，解法灵活。同学们对这类问题常感到无从下手，本文将解决这类问题常用方法加以汇总，供大家参考。一、配方法例1.已知x，y，z都是实数，且x2y2z21，则mxyyzxz（）A.只有最大值B.只有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值解：(xyz)2x2y2z22xy2yz2xzm(xyz)2(x2y2z2)(xyz)211即m有最小值1而x2y22xy，y2z22yz，x2z22xz三式相加2(x2y2z2)2(xyyzxz)mx2y2z21即m有最大值1故应选C二、参数法y1z2例2.若x1，则x2y2z2可取的最小值为（）23599A.3B.C.D.6142y1z2解：设x1k23则xk1，y2k1，z3k2所以x2y2z2(k1)2(2k1)2(3k2)214k210k455914(k)27145∴当k时759x2y2z2的值最大为，应选B14三、消元法例3.已知x，y，z为3个非负实数且满足：3x2yz5，xyz2，设s2xyz，s的最大值与最小值的和为_________。xs203x2yz54解：由xyz2得y5s032xyzs1z1s03则2s3，所以s的最大值为3，最小值为2，其和为5。四、分类讨论法例4.设x，x，x，，x均为正整数，且xxx，xxx220，1239129129则当xxxxx的值最大时，xx的最小值是（）1234591A.8B.9C.10D.11解：由xxx220，知129xxxxx110112345或xxxxx110212345由<1>得x25，从而x26，x27，x28，x2956789得(xxxxx)(xxxx)110110220，与题设矛盾123456789由<2>可取x20，x21，x22，x23，x2412345使xxxxx110取到最大值，且x也可取到最大值，此时取123451x26，x27，x28，x29可全部满足条件，因而xx的最小值为67899129209。五、枚举法例5.设整数a、b、c满足1abc5，a3、b3、c3的个位数依次为x、y、z，当(xy)(yz)(zx)为最小时，求乘积abc的最大值。解：依已知需把x、y、z、a、b、c求出131，238，3327，4364，53125∴（x、y、z）有10种可能：（1，8，7），（1，8，4），（1，8，5），（1，7，4），（1，7，5），（1，4，5），（8，7，4），（8，7，5），（8，4，5），（7，4，5）那么(xy)(yz)(zx)的值依次为：42，84，84，54，48，12，12，6，12，6故(xy)(yz)(zx)的最小值是84此时（x，y，z）＝（1，8，4）或（1，8，5）相应的abc1248或abc12510故abc的最大值是10六、等值代换法例6.若a，c，d是整数，b是正整数，且满足abc，bcd，cda，那么abcd的最大值是（）A.1B.5C.0D.1解：abc，cdaabcdcd，即bd0bd代入bcd得c2d，acd3dabcd5d5b5(b1)等号成立当且仅当b1时，此时a3，c2，d10abcd的最大值是5，应选B。七、放缩法例7.设x，x，，x为自然数，且xxxx，又xxx159，1271267127则xxx的最大值为__________。123解：由题设有xx1x2x3x4x5x67654321同理xx5，xx4，xx3，xx2，xx16151413121159xxx7x(126)7x2112711138x2017x的最大值为19，取x19，x20112则120xx6x(12345)，从而x203722取x19，则1140xxx5x(1234)2373从而x22，依次可得符合条件的7个数为19，20，22，23，24，25，263故知所求最大值为61八、和差代换法例8.实数x、y、z满足xyz5，xyyzzx3，则z的最大值是________。解：设xab，yab，代入已知式可得2az51a2b22az325z由<1>得a代入<2>得：25z()2z(z5)3b202化简得3z210z130即(3z13)(z1)013解得1z313故z的最大值为3九、分析判断法例9.已知a、b、c都是整数，且abc1990，则abbcca的最小值是_________。解：由abc1990知a、b、c中必有两负一正不妨设a0，b0，c0此时bc0，bc0abbccabca(bc)∵a、b、c为整数∴当bc1时，a取最大值1990abbcca的最小值是：1199023979十、逐步调整法例10.已知x，x，，x都是正整数，且xxx58，若x2x2x2124012401240的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于________。解：因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故x2x2x2的最小1240值和最大值是存在的。不妨设xxx，若x112401则xx(x1)(x1)，且1212(x1)2(x1)212x2x22(xx)2x2x2122112所以，当x1时，可以把x逐步调整到1，这时x2x2x2将增大；111240同样地，可以把x，x，，x逐步调整到1，这时x2x2x2将增大。于是，23391240当x，x，，x均为1，x19时，x2x2x2取得最大值1239401240即A12121219240039个若存在两个数x，x，使得xx2ijji(1ij40)，则(x1)2(x1)2ijx2x22(xx1)x2x2ijjiij这说明在x，x，，x，x中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大123940的数减1，这时x2x2x2将减小。1240所以，当x2x2x2取到最小时，x，x，，x中任意两个数的差都不大于1。12401240于是当xxx11222xxx2时232440x2x2x2取得最小值1240即B1212122222229422个18个故A＋B＝494