人教版数学九年级上册第24章圆难题精编（含解析）

第24章圆难题精编一．选择题（共30小题）1．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　）A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤4D．2≤x≤82．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC且∠BAC＝45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，DF与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（　　）A．BD＝CDB．四边形DHEF为矩形C．＝2D．BC＝2CE3．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为中点时，EC＝EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（　　）A．5B．4C．3D．24．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE＝BF，，OE＝1，则BC的长为（　　）A．2B．3C．4D．55．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（　　）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣2）D．（2，1）6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD+CD的值为（　　）A．3B．2C．+1D．不能确定7．如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（　　）A．B．C．D．﹣8．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（　　）A．3B．4C．5D．69．在⊙O中内接四边形ABCD，其中A，C为定点，AC＝8，B在⊙O上运动，BD⊥AC，过O作AD的垂线，若⊙O的直径为10，则OE的最大值接近于（　　）A．B．C．4D．510．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（　　）A．B．C．D．11．若四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则△DOA的内切圆半径是（　　）A．B．C．D．以上答案均不正确12．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上一点，且AB＝10，CD＝8，3DE＝4OM，过F做作圆O的切线EF，BF交CD于G．则以下说法其中正确的是（　　）A．MB＝3B．EF＝4C．FD∥ABD．EF＝EG13．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（　　）A．B．7﹣4C．D．114．如图，在⊙€O中，＝，BC＝6．AC＝3，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（　　）A．1B．﹣3C．5﹣D．15．模型结论：如图①，正△ABC内接于⊙O，点P是劣弧AB上一点，可推出结论PA+PB＝PC．应用迁移：如图②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2，F是△DEG内一点，则点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为（　　）A．B．5C．3D．16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为（　　）A．32B．36C．40D．4817．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于．则下列说法正确的是（　　）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错18．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（　　）A．①②B．①③C．②③D．①②③19．如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于点A'，再以点B为圆心，BA'为半径作圆弧交CB的延长线于B'，依次进行．得到螺旋线，再顺次连结EA'，AB'，BC'，CD'，DE'，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5﹣S2＝1，则S4﹣S3的值为（　　）A．B．C．D．20．如图，BC是⊙O的直径，AB切⊙O于点B，AB＝BC＝8，点D在⊙O上，DE⊥AD交BC于E，BE＝3CE，则AD的长是（　　）A．B．C．4D．321．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　）A．5B．6C．7D．822．如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（　　）A．1B．C．2D．23．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O的半径为（　　）A．B．2C．2D．424．如图，AB是定长线段，圆心O是AB的中点，AE、BF为切线，E、F为切点，满足AE＝BF在上取动点G，过点G作切线交AE、BF的延长线于点D、C，当点G运动时，设AD＝y，BC＝x，则y与x所满足的函数关系式为（　　）A．正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0，x＞0）B．一次函数y＝kx+b（k，b为常数，kb≠0，x＞0）C．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，x＞0）D．以上都不是25．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（　　）A．O是△AEB的外心B．O是△BEC的外心C．O是△AEC的外心D．O是△ADB的外心26．如图，⊙O的圆心在矩形ABCD的对角线AC上，且⊙O与AB，BC相切，AB＝3，BC＝4，则⊙O截AD的所得的弦EF的长是（　　）A．3B．C．D．27．如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（　　）A．15°B．18°C．20°D．22°28．扇形OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，点C在弧AB上，CD⊥AO，垂足为点D，则△OCD面积的最大值为（　　）A．B．C．1D．29．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连接PD交⊙O于点C，且PC＝OB．设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（　　）A．若β＝30°，则∠D＝120°B．若β＝60°，则∠D＝90°C．若α＝10°，则＝150°D．若α＝15°，则＝90°30．如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，E为上一点，CE＝，AB＝，则EB的长为（　　）A．B．2C．D．二．解答题（共6小题）31．如图，⊙O与△ABC的AB边相切于点B，与AC、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，BE是⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，AB＝3，求DE的长．32．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过点C作CG∥BD交AD的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AB＝3，AD＝5，求AC的长．34．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝60°，BE＝3，求图中阴影部分的面积．35．已知矩形ABCD中，点E是AD中点，连接CE，经过点A，B，E三点作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．（1）求证：直线FH是⊙O的切线；（2）若AD＝4，且点H恰好为CE中点时，判断此时CE与⊙O的位置关系？说明理由，并求出弧EF，线段EH，FH围成的图形的面积？36．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC＝6，DE＝4．（1）求证：∠FEB＝∠ECF；（2）求⊙O的半径长．（3）求线段EF的长．第24章圆难题精编参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　）A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤4D．2≤x≤8【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论．【解答】解：（1）当点O2在点O1的右侧时，当⊙O2向右移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，则O2M＝4，又∵∠AO2O1＝30°，∴O1O2＝2•O2M＝8，当⊙O2继续向右移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2＝6﹣4＝2，所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；（2）当点O2在点O1的左侧时，根据圆的对称性可知，2≤x≤8，故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键．2．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC且∠BAC＝45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，DF与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（　　）A．BD＝CDB．四边形DHEF为矩形C．＝2D．BC＝2CE【分析】根据圆的切线、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定等矩形逐一判断即可．【解答】解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，故A正确；∵DF与⊙O相切，∴OD⊥DF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD∥AC，∴∠EHD＝90°，∴四边形DHEF为矩形，故B正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°，∴AE＝BE，∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∵＝，∴＝2，故C正确；∵∠BAC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，即∠BCE＝67.5°，∴∠EBC＝22.5°，∴sin∠EBC＝sin22.5°＝≠．∴BC≠2CE，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了圆的切线、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定，解决本题的关键是掌握圆的切线．3．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为中点时，EC＝EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（　　）A．5B．4C．3D．2【分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD＝PB，得出P为的中点，与实际不符，即可判定正误．②先求出∠BOC，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误．③由∠BOC＝60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误．④证明∠EFC＝∠ECF＝45°，可判断正误；⑤由∠CBF＝∠CPB＝30°，∠DFB＝∠FBP+∠BPF，∠CBP＝∠FBP+∠CBF推出∠DFB＝∠CBP，可判断正误．【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图，∵M，C是半圆上的三等分点，∴∠BAH＝30°，∵BD与半圆O相切于点B．∴∠ABD＝90°，∴∠H＝60°，∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH，∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，∵∠PBD＝90°﹣∠ABP，若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，∴∠ABP＝15°，∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合，∴∠PDB不一定等于∠ABD，∴PB不一定等于PD，故①错误；②∵M，C是半圆上的三等分点，∴∠BOC＝×180°＝60°，∵直径AB＝8，∴OB＝OC＝4，∴的长度＝＝π，故②正确；③∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，∵BE⊥OC，∴∠OBE＝∠CBE＝30°，∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝60°，故③错误；④∵＝，∴∠ABP＝15°，∵∠ABD＝90°，∠DBE＝60°，∴∠PBF＝15°，∵∠BPC＝30°，∴∠CFE＝∠FPb+∠FBP＝45°，∵∠FEC＝90°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴EC＝EF，故④正确，⑤∵∠CBF＝∠CPB＝30°，∠DFB＝∠FBP+∠BPF，∠CBP＝∠FBP+∠CBF，∴∠DFB＝∠CBP，故⑤正确，故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是熟练掌握这些性质，并能灵活应用．4．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE＝BF，，OE＝1，则BC的长为（　　）A．2B．3C．4D．5【分析】如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．利用全等三角形的性质证明AE＝CJ＝BF＝BH，CT＝BH．EH＝BH，再利用勾股定理求出EC，BC即可．【解答】解：如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．∵AB⊥CD，∴＝，∵＝，∴＝，∴OC⊥AF，∴∠AJO＝∠CEO＝90°，∵∠AOJ＝∠COE，OA＝OC，∴△AJO≌△CEO（AAS），∴OJ＝OE，∴AE＝CJ，∵AB是直径，∴∠F＝∠CJT＝90°，∵AE＝BF，∴BF＝CJ，∵∠CTJ＝∠BTF，∴△CTJ≌△BTF（AAS），∴CT＝BT，∵TH⊥AB，CD⊥AB，∴TH∥CE，∴EH＝BH，∵＝，∴∠TBF＝∠TBH，∵∠F＝∠THB＝90°，BT＝BT，∴△BTF≌△BTH（AAS），∴BF＝BH，∵AE＝BF，∴AE＝BH，∵OA＝OB，∴OE＝OH＝1，∴EH＝BH＝2，∴AE＝BH＝2，∴AB＝6，OC＝OB＝3，∴EC＝＝＝2，∴BC＝＝＝2，故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（　　）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣2）D．（2，1）【分析】由题意旋转8次应该循环，因为2020÷8＝252…4，所以∁i的坐标与C4的坐标相同．【解答】解：由题意旋转8次应该循环，∵2020÷8＝252…4，∴∁i的坐标与C4的坐标相同，∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，∴C4（1，﹣），∴顶点∁i的坐标是（1，﹣），故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化﹣性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD+CD的值为（　　）A．3B．2C．+1D．不能确定【分析】如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．利用全等三角形的性质证明DE＝DF，AE＝CF，推出DA+DC＝2DF，求出DF即可解决问题．【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．∵AB＝BC，∴＝，∴∠BDE＝∠BDF，∵∠DEB＝∠DFB＝90°，DB＝DB，∴△BDE≌△BDF（AAS），∴BE＝BF，DE＝DF，∵∠AEB＝∠F＝90°，BA＝BC，BE＝BF，∴Rt△BEA≌Rt△BFC（HL），∴AE＝CF，∴AD+DC＝DE+AE+DF﹣CF＝2DF，∵∠BDF＝∠BAC＝30°，BD＝，∴BF＝BD＝，∴DF＝＝＝，∴DA+DC＝3，故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．7．如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（　　）A．B．C．D．﹣【分析】如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．解直角三角形求出CH，OH，根据OC≥OH﹣CH求解即可．【解答】解：如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．∵∠B＝30°，∴∠TOA＝60°，∵OT＝OA，∴△OTA是等边三角形，∴OT＝OA＝AT＝5，∵OH⊥AT，∴TH＝AH＝，OH＝＝＝，∵AC⊥BM，∴∠ACT＝90°，∴CH＝，∵OC≥OH﹣CH＝﹣，∴OC的最小值为＝﹣．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（　　）A．3B．4C．5D．6【分析】设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，根据正方形和矩形的性质得到OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，∴四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′是矩形，∴OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，∴EG⊥BC，∵∠C＝90°，∴EG∥AC，∴∠FGE＝∠A，∵∠GFO′＝∠C＝90°，∴△O′FG∽△BCA，∴，∴＝，∴O′G＝，∴EG＝，∵GE∥AC，∴△BGE∽△BAC，∴＝，∴＝，∴BE＝3，∴OO′＝HE＝BC﹣CH﹣BE＝8﹣1﹣3＝4，∴⊙O平移的距离为4，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．在⊙O中内接四边形ABCD，其中A，C为定点，AC＝8，B在⊙O上运动，BD⊥AC，过O作AD的垂线，若⊙O的直径为10，则OE的最大值接近于（　　）A．B．C．4D．5【分析】如图，当点B与A重合时，连接CD．证明OE＝AC，此时OE的值最大．【解答】解：如图，当点B与A重合时，连接CD．∵BD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴CD是直径，∵OE⊥AD，∴AE＝ED，∵OC＝OD，∴OE＝AC＝4，此时OE的值最大，最大值为4∴OE的最大值为4，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，属于中考常考题型．10．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（　　）A．B．C．D．【分析】过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F，求两个弓形的面积之差即可；【解答】解：过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F．当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，DF＝OD•sin60°＝10×＝5，S弓形ABD＝﹣×10×5＝π﹣25，当∠A＝60°时，过点D'作D'F⊥OA于F'，连接OD'，∠D'OF'＝60°，D'F'＝5，S弓形ABD'＝﹣×10×5＝π﹣25，∴S＝π﹣25﹣（π﹣25）＝π．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．若四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则△DOA的内切圆半径是（　　）A．B．C．D．以上答案均不正确【分析】设△DOA的内切圆半径为r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长为L，分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出四个三角形的面积，再根据四边形两对角线分割成的四个三角形中相对的两个三角形面积之积相等列出方程，即可解出r．【解答】解：设△DOA的内切圆半径为r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长为L，则S△AOB＝L•3＝L，S△BOC＝L•4＝2L，S△COD＝L•6＝3L，S△DOA＝Lr，∵S△AOB•S△COD＝S△COD•S△DOA，∴L•3L＝2L•Lr，∴r＝．故选：A．【点评】本题主要考查了三角的内切圆与内心性质、四边形面积蝴蝶定理的应用．知道三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半、熟悉四边形蝴蝶定理是解答本题的关键．12．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上一点，且AB＝10，CD＝8，3DE＝4OM，过F做作圆O的切线EF，BF交CD于G．则以下说法其中正确的是（　　）A．MB＝3B．EF＝4C．FD∥ABD．EF＝EG【分析】连接OC，根据圆周角定理和垂径定理得到∠OMC＝90°，CM＝DM，求得OM＝3，得到BM＝2，故A选项错误；连接AF，OF，求得∠AFB＝90°，根据切线的性质得到∠OFE＝90°，求得∠AFO＝∠EFG，推出∠EFG＝∠EGF，得到EF＝EG，故D选项正确；根据射影定理得到EF＝4，故B选项错误；连接AD，则∠BAD＝∠BFD，根据三角函数值推出∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD，于是得到FD与AB不平行，故C选项错误．【解答】解：连接OC，∵AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，∴∠OMC＝90°，CM＝DM，∵AB＝10，CD＝8，∴OC＝5，CM＝4，∴OM＝3，∴BM＝2，故A选项错误；连接AF，OF，∴∠AFB＝90°，∵过F作圆O的切线EF，∴∠OFE＝90°，∴∠AFO＝∠EFG，∵∠A+∠B＝∠B+∠BGM＝90°，∴∠BGM＝∠A，∵∠A＝∠AFO，∠BGM＝∠DGF，∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG，故D选项正确；∵3DE＝4OM，∴DE＝4，CE＝12，∴EF2＝DE•CE＝48，∴EF＝4，故B选项错误；连接AD，则∠BAD＝∠BFD，∵GM＝EM﹣EG＝8﹣4，∴tan∠MBG＝＝4﹣2，tan∠BAD＝＝＝≠tan∠MBG，∴∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD，∴FD与AB不平行，故C选项错误，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，射影定理，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（　　）A．B．7﹣4C．D．1【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．【解答】解：如图，连接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．∵∠BE'C＝120°∴所对圆周角为60°，∴∠BOC＝2×60°＝120°，∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，∴O′B＝O′C＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO'＝90°∴O'A＝＝5，∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．故选：D．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．14．如图，在⊙€O中，＝，BC＝6．AC＝3，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（　　）A．1B．﹣3C．5﹣D．【分析】如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．想办法求出OH，IH即可解决问题．【解答】解：如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．∵＝，∴AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∴AH＝＝＝9，设OA＝OB＝x，在Rt△BOH中，∵OB2＝OH2+BH2，∴x2＝（9﹣x）2+32，∴x＝5，∴OH＝AH﹣AO＝9﹣5＝4，∵S△ABC＝•BC•AH＝•（AB+AC+BC）•IH，∴IH＝＝﹣1，∴OI＝OH﹣IH＝4﹣（﹣1）＝5﹣，故选：C．【点评】本题主要考查的是三角形的内心和外心、勾股定理等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．15．模型结论：如图①，正△ABC内接于⊙O，点P是劣弧AB上一点，可推出结论PA+PB＝PC．应用迁移：如图②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2，F是△DEG内一点，则点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为（　　）A．B．5C．3D．【分析】模型结论：根据旋转的性质得到∠PCD＝60°，PC＝CD，AD＝PB，∠CAD＝∠CBP，推出P，A，D在一条直线上，得到△PCD是等边三角形，于是得到结论；应用迁移：如图2：以DG为边作等边三角形△MGD，以DF为边作等边△DFP．连接EM，作MN⊥ED，交ED的延长线于N．根据全等三角形的性质得到FG＝PM，推出当E、F、P、M四点共线时，EF+PF+PM值最小，且EF+PF+PM＝EM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：模型结论：∵将△PBC绕C点顺时针旋转60°，∴∠PCD＝60°，PC＝CD，AD＝PB，∠CAD＝∠CBP，∵∠PBC+∠PAC＝180°，∠DAC+∠PAC＝180°，∴P，A，D在一条直线上，∴△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝DC，∴PB+PA＝PA+AD＝PD＝PC；应用迁移：如图2：以DG为边作等边三角形△MGD，以DF为边作等边△DFP．连接EM，作MN⊥ED，交ED的延长线于N．∵△MGD和△DFP是等边三角形∴PF＝DF＝PD，∠FDP＝∠GDM＝60°，DG＝MD，∴∠FDG＝∠MDP，∴△DFG≌△DPM（SAS），∴FG＝PM，∴EF+DF+FG＝EF+PF+PM，∴当E、F、P、M四点共线时，EF+PF+PM值最小，且EF+PF+PM＝EM，∵∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2，∴∠EDM＝150°，∴∠NDM＝30°，∵MD＝DG＝2．∴MN＝DM＝，DN＝3，∴NE＝DE+DN＝3+3＝6，∴EM＝＝＝，∴点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为（　　）A．32B．36C．40D．48【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，QT．首先证明A，Q，T共线时，△ABC的面积最大，设QT＝TB＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT．∵PB是⊙O的直径，∴∠PQB＝∠CQB＝90°，∴QT＝BC＝定值，AT是定值，∵AQ≥AT﹣TQ，∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，在Rt△ABT中，则有（4+x）2＝x2+82，解得x＝6，∴BC＝2x＝12，∴S△ABC＝•AB•BC＝×8×12＝48，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有中考选择题中的压轴题．17．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于．则下列说法正确的是（　　）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错【分析】如图，作CM⊥AP于M，连接AD．首先证明△AOD是等边三角形，推出∠D＝60°，即可证明①正确．利用全等三角形的性质证明AM＝BF，PM＝PF，CF＝PF即可判断②正确．【解答】解：如图，作CM⊥AP于M，连接AD．∵AE⊥OD，OE＝DE，∴AO＝AD，∵OA＝OD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠D＝∠ABC＝60°，∵CD⊥AB，∴AE＝EB，∴CA＝CB，∴△ABC是等边三角形，故①正确，∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，∴CF＝CM，∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），∴PF＝PM，∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），∴AM＝BF，∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，∴＝，在Rt△CPF中，∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，∴CF＝PF•tan60°＝PF，∴PF＝CF，∴＝，故②正确，故选：A．【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（　　）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据圆的性质得到AO⊥BE，故①正确；由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，得到的度数＝＝72°求得∠COD＝72°根据圆周角定理得到∠CAD＝36°；连接CD求得∠CGD＝108°，于是得到∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝，∴AO⊥BE，故①正确；∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°∴∠COD＝72°∵∠COD＝2∠CAD∴∠CAD＝36°；连接CD∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝＝＝，∴∠BDC＝∠DCE＝∠CAD＝36°，∴∠CGD＝108°，∴∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，则∠BAM＝∠ABM＝∠EAN＝∠AEN＝36°，∵AB＝AE，∴△ABM≌△AEN（ASA），∴BM＝EN＝AM＝AN，∵∠MAN＝36°，∴AM≠MN，③错误．故选：A．【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．19．如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于点A'，再以点B为圆心，BA'为半径作圆弧交CB的延长线于B'，依次进行．得到螺旋线，再顺次连结EA'，AB'，BC'，CD'，DE'，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5﹣S2＝1，则S4﹣S3的值为（　　）A．B．C．D．【分析】设五边形的边长为a．求出各个阴影部分的面积，根据S5﹣S2＝1，寻找关系式，即可解决问题．【解答】解：设五边形的边长为a．则S1＝﹣•a2•sin72°，S2＝﹣•a•2a•sin72°，S3＝﹣•a•3a•sin72°，S4＝﹣•a•4a•sin72°，S5＝﹣•a•5a•sin72°，∵S5﹣S2＝1，∴5πa2﹣πa2﹣a2•sin72°＝1，∴•π•a2﹣a2•sin72°＝1，∴S4﹣S3＝πa2﹣πa2﹣a2sin72°＝π•a2﹣a2sin72°＝，故选：D．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形面积的计算等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用整体代入的解题思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．20．如图，BC是⊙O的直径，AB切⊙O于点B，AB＝BC＝8，点D在⊙O上，DE⊥AD交BC于E，BE＝3CE，则AD的长是（　　）A．B．C．4D．3【分析】连接AE、BD、DC，根据题意求得BE＝6，CE＝2，AE＝10，根据圆周角定理求得∠BDC＝90°，进而求得∠ABD＝∠DCE，∠DAB＝∠DEC，然后证得△DCE∽△DBA，得出比例式，得出AD＝4DE，然后根据勾股定理即可求得．【解答】解：连接AE、BD、DC，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABC＝90°，∵BC＝8，BE＝3CE，∴CE＝2，BE＝6，∵AB＝8，∴由勾股定理得：AE＝＝＝10，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠DCE+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠DCE，∵∠ADE＝∠ABE＝90°，∴∠DAB+∠DEB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠DEC+∠DEB＝180°，∴∠DEC＝∠DAB，∴△DCE∽△DBA，∴＝＝＝，∴AD＝4DE，在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴102＝（4DE）2+DE2，∴DE＝，∴AD＝，故选：A．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得三角形相似是解此题的关键．21．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　）A．5B．6C．7D．8【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线＝圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．22．如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（　　）A．1B．C．2D．【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．利用三角形的中位线定理可得EH＝1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．∵CE＝EP，CH＝AH，∴EH＝PA＝1，∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，∵C（0，4），A（3，0），∴H（1.5，2），∴OH＝＝2.5，∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5，故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．23．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O的半径为（　　）A．B．2C．2D．4【分析】作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，通过三角形全等得到ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN，由勾股定理即可求出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°又∵OC＝OD，∴∠ODP＝∠OCP，∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODN＝45°+∠ODC，∴∠NDO＝∠COM，在Rt△ODN与Rt△COM中，，∴Rt△ODN≌Rt△COM，∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝8∴OC2＝4，∴OC＝2，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理正确的作出辅助线是解题的关键．24．如图，AB是定长线段，圆心O是AB的中点，AE、BF为切线，E、F为切点，满足AE＝BF在上取动点G，过点G作切线交AE、BF的延长线于点D、C，当点G运动时，设AD＝y，BC＝x，则y与x所满足的函数关系式为（　　）A．正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0，x＞0）B．一次函数y＝kx+b（k，b为常数，kb≠0，x＞0）C．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，x＞0）D．以上都不是【分析】延长AD，BC交于点Q，连接OE，OF，OD，OC，OQ，由AE与BF为圆的切线，利用切线的性质得到AE与EO垂直，BF与OF垂直，由AE＝BF，OE＝OF，利用HL得到直角三角形AOE与直角BOF全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠A＝∠B，利用等角对等边可得出三角形QAB为等腰三角形，由O为底边AB的中点，利用三线合一得到QO垂直于AB，得到一对直角相等，再由∠FQO与∠OQB为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形FQO与三角形OQB相似，同理得到三角形EQO与三角形OAQ相似，由相似三角形的对应角相等得到∠QOE＝∠QOF＝∠A＝∠B，再由切线长定理得到OD与OC分别为∠EOG与∠FOG的平分线，得到∠DOC为∠EOF的一半，即∠DOC＝∠A＝∠B，又∠GCO＝∠FCO，得到三角形DOC与三角形OBC相似，同理三角形DOC与三角形DAO相似，进而确定出三角形OBC与三角形DAO相似，由相似得比例，将AD＝x，BC＝y代入，并将AO与OB换为AB的一半，可得出x与y的乘积为定值，即y与x成反比例函数，即可得到正确的选项．【解答】解：延长AD，BC交于点Q，连接OE，OF，OD，OC，OQ，∵AE，BF为圆O的切线，∴OE⊥AE，OF⊥FB，∴∠AEO＝∠BFO＝90°，在Rt△AEO和Rt△BFO中，，∴Rt△AEO≌Rt△BFO（HL），∴∠A＝∠B，∴△QAB为等腰三角形，又∵O为AB的中点，即AO＝BO，∴QO⊥AB，∴∠QOB＝∠QFO＝90°，又∵∠OQF＝∠BQO，∴△QOF∽△QBO，∴∠B＝∠QOF，同理可以得到∠A＝∠QOE，∴∠QOF＝∠QOE，根据切线长定理得：OD平分∠EOG，OC平分∠GOF，∴∠DOC＝∠EOF＝∠A＝∠B，又∵∠GCO＝∠FCO，∴△DOC∽△OBC，同理可以得到△DOC∽△DAO，∴△DAO∽△OBC，∴＝，∴AD•BC＝AO•OB＝AB2，即xy＝AB2为定值，设k＝AB2，得到y＝，则y与x满足的函数关系式为反比例函数y＝（k为常数，k≠0，x＞0）．故选：D．【点评】本题属于圆的综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，切线长定理，直角三角形全等的判定与性质，反比例函数的性质，以及等腰三角形的性质，做此题是注意灵活运用所学知识．25．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（　　）A．O是△AEB的外心B．O是△BEC的外心C．O是△AEC的外心D．O是△ADB的外心【分析】根据三角形的外心得出OA＝OC＝OB，根据正方形的性质得出OA＝OC＜OD，求出OA＝OB＝OC＝OE≠OD，再逐个判断即可．【解答】解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，∴OA＝OE≠OD，即O不是△AED的外心，OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，OA＝OC＝OE，即O是△ACE的外心，OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．26．如图，⊙O的圆心在矩形ABCD的对角线AC上，且⊙O与AB，BC相切，AB＝3，BC＝4，则⊙O截AD的所得的弦EF的长是（　　）A．3B．C．D．【分析】设切点为G，H，连接OG，HO并延长交AD于K，连接OF，则四边形OGBH为正方形，设正方形边长为x，根据相似三角形的性质得到，求得，由根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，∵⊙O与AB，BC相切，∴设切点为G，H，连接OG，HO并延长交AD于K，连接OF，则四边形OGBH为正方形，设正方形边长为x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∵OG⊥AB，∴OG∥BC，∴△ABC∽△AGO，∴，∴，解得：，∴，由垂径定理，OK⊥EF，EK⊥KF，∴在Rt△OKF中，，，∴，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．27．如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（　　）A．15°B．18°C．20°D．22°【分析】如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，求得∠OEF＝∠OFE＝（180°﹣80°）＝50°，连接OB，推出△OFD为等边三角形，得到OD＝OF＝OE，于是得到结论．【解答】解：如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝（180°﹣80°）＝50°，连接OB，∵D为BC中点，∴BD＝CD，OD⊥BC，∴∠DOC＝，∵∠BAC＝BOC，∴∠DOC＝∠BAC，∴∠DOC＝∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵F为OC中点，∴OF＝FD，∴△OFD为等边三角形，∴OD＝OF＝OE，∴O、E、F、D四点共圆，∴，∴∠OED＝50°﹣30°＝20°．故选：C．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．28．扇形OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，点C在弧AB上，CD⊥AO，垂足为点D，则△OCD面积的最大值为（　　）A．B．C．1D．【分析】利用勾股定理以及三角形的面积公式根据二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：∵OC＝2，点C在上，CD⊥OA，∴DC＝＝，∴S△OCD＝OD•∴S△OCD2＝OD2•（4﹣OD2）＝﹣OD4+OD2＝﹣（OD2﹣2）2+1∴当OD2＝2，即OD＝时，△OCD的面积最大，最大值为1，故选：C．【点评】本题考查三角形的面积公式，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题．29．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连接PD交⊙O于点C，且PC＝OB．设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（　　）A．若β＝30°，则∠D＝120°B．若β＝60°，则∠D＝90°C．若α＝10°，则＝150°D．若α＝15°，则＝90°【分析】如图，连接OC，OD．首先证明3α+2β＝180°，再一一判断即可．【解答】解：如图，连接OC，OD．∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB＝β，∴∠POD＝∠B+∠ODB＝2β，∵CP＝CO＝OD，∴∠P＝∠COP＝α，∠OCD＝∠ODC，∵∠OCD＝∠P+∠COP，∴∠ODC＝2α，∵∠P+∠POD+∠ODP＝180°，∴3α+2β＝180°①，不妨设选项A正确，则α＝30°，β＝30°，显然不满足①，故假设错误．不妨设B正确，则α＝30°，β＝60°，显然不满足①，故假设错误．不妨设C正确，则α＝10°，β＝75°，满足条件①，故选项C正确．不妨设B正确，则α＝15°，β＝45°，显然不满足①，故假设错误．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．30．如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，E为上一点，CE＝，AB＝，则EB的长为（　　）A．B．2C．D．【分析】连接AC、BC，延长BE，过C作CH⊥BE的延长线于H，先证明∠1＝45°，然后在直角三角形ABC和Rt△CHE中利用勾股定理计算出BC和CH、HE的长，再在Rt△CBH中计算出BH的长，进而可得BE的长．【解答】解：连接AC、BC，延长BE，过C作CH⊥BE的延长线于H，∵AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∴∠2＝135°，∴∠1＝45°，∵CH⊥BE，∴∠CHE＝90°，∴∠HCE＝45°，∴CH＝HE，∵CE＝，∴CH＝HE＝1，∵AB＝，∴BC＝，∴BH＝＝3，∴EB＝3﹣1＝2，故选：B．【点评】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理，关键是正确作出辅助线．二．解答题（共6小题）31．如图，⊙O与△ABC的AB边相切于点B，与AC、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，BE是⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，AB＝3，求DE的长．【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥AC即可，由AB是⊙O的切线，可得出∠ABO＝90°，通过证明三角形全等，得出结论即可；（2）可得出△ODE是正三角形，在直角三角形ABO中，求出半径OB即可．【解答】证明：（1）连接OD，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵DE∥OA，∴∠OED＝∠BOA，∠EDO＝∠AOD，又∵OD＝OE＝OB，∴∠OED＝∠ODE，∴∠BOA＝∠DOA，在△ABO和△ADO中，∵OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SAS），∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）∵∠C＝30°，∠ODC＝90°，∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，又∵OD＝OE，∴△ODE是正三角形，∴OD＝OE＝DE＝OB，在Rt△ABO中，∠AOB＝60°，AB＝3，∴O