【精选五套高考模拟卷】北大附中河南分校2019年高考数学理科冲刺试题及答案

一、选择题：本大题共12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集，且，则满足条件的集合的个数是（）A．3B．4C．7D．82已知i是虚数单位，R，且是纯虚数，则等于()A．1B．-1C．iD．-i3已知函数在上是减函数，则的取值范围是（）ABCD4如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是（）A．B．C．D．5．如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是()A．2500,2500B．2550,2550C．2500,2550D．2550,25006若数列满足，则称数列为调和数列。已知数列为调和数列，且，则（）A10B20C30D407设二元一次不等式组所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（）A．B．C．D．8.9的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在方向上的投影为（）ABCD）10已知曲线与函数及函数的图像分别交于，则的值为A．16B．8C．4D．211．数列满足，，记数列前n项的和为Sn，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（）A．10B．9C．8D．712设函数,若,则点所形成的区域的面积为()A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13、已知集,,则集合所表示图形的面积是14．“无字证明”(proofswithoutwords)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：．15.过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A,B,两点，交准线于点CSKIPIF1<0若，则直线AB的斜率为________________16设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是、、．（Ⅰ）若、、依次成等差数列，且公差为2．求的值；（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．18．（本小题满分12分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数； 分组（单位：岁） 频数 频率 [20，25] 5 0.05 [25，30] ① 0.20 [30，35] 35 ② [35，40] 30 0.30 [40，45] 10 0.10 合计 100 1.00（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望19已知梯形中，∥，，，、分别是、上的点，∥，，是的中点.沿将梯形翻折，使平面⊥平面(如图).(Ⅰ)当时，求证：⊥；(Ⅱ)若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；(Ⅲ)当取得最大值时，求二面角的余弦值.20已知直线相交于A、B两点.（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；（2）（2）若向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.21.设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值；(Ⅱ)当a=1时,设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1>0,x2>0),且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；(Ⅲ):若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22如图，已知是⊙O的切线，为切点，是⊙O的割线，与⊙O交于两点，圆心在的内部，点是的中点．（Ⅰ）证明四点共圆；（Ⅱ）求的大小．23在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线相交于点M，在OM上取一点P，使．（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为上任意一点，试求RP的最小值．24已知|x-4|+|3-x|<a（1）若不等式的解集为空集，求a的范围（2）若不等式有解，求a的范围北大附中河南分校高三五月冲刺训练（十二）数学试题（理科）参考答案1---6DAACDB7---12CBACAD1314.151617．解（Ⅰ）SKIPIF1<0、、成等差，且公差为2，SKIPIF1<0、.又SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，恒等变形得，解得或.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（Ⅱ）在中，，SKIPIF1<0，，.SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,当即时，取得最大值． ：181 解：（I）0.2×100=20，，∴①处是20，②处是0.35，∵由频率分步直方图中，[30，35）的人数是0.35×500=175在频率分步直方图知，在[25，30）这段数据上对应的频率是0.2，∵组距是5，∴小正方形的高是，在频率分步直方图中补出高是0.04的一个小正方形．（II）用分层抽样方法抽20人，则年龄低于30岁的有5人，年龄不低于30岁的有15人，故X的可能取值是0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=∴X的分布列是∴X的期望值是EX=19解:（Ⅰ）作于，连，　　由平面平面知平面而平面，故又四边形为正方形∴　又，故平面　　而平面∴　.（Ⅱ）∵　，面面∴面又由（Ⅰ）平面∴所以＝即时有最大值为．（Ⅲ）设平面的法向量为∵,，，∴则即取则∴面的一个法向量为则<>由于所求二面角的平面角为钝角所以，此二面角的余弦值为－.20（1），，联立则，（2）设，由，，，由此得故长轴长的最大值为21解：(Ⅰ)F(x)=ex+sinx－ax,.因为x=0是F(x)的极值点,所以.又当a=2时,若x<0,;若x>0,.∴x=0是F(x)的极小值点,∴a=2符合题意.所以函数S(x)在上单调递增,∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞时恒成立;因此函数在上单调递增,当x∈[0,+∞时恒成立.当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即.故a≤2时F(x)≥F(－x)恒成立.23解：（1）设，，因为在直线OM上,,所以（2）:设y=|x-4|+|x-3|，（|x-3|=|3-x|）等价于:其图象为:由图象知:当a≤1时,|x-4|+|3-x|<a无解当1＜a时,|x-4|+|3-x|<a有解数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则为（）A．B．C．D．2.已知，满足不等式组则目标函数的最小值为（）A．B．C．D．3.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A．B．C．D．4.已知为实数，直线，，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A．B．C.D．6.已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（）A．B．C.D．7.双曲线的左、右焦点分别为，，点，在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是（）A．B．C.D．8.已知定义在上的函数则下列说法中正确的个数有（）①关于的方程有个不同的零点；②对于实数，不等式恒成立；③在上，方程有个零点；④当时，函数的图象与轴围成的面积为.A．B．C.D．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.为虚数单位，设复数满足，则的虚部是．10.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点、，则．11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12.若（其中），则的展开式中的系数为．13.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为．14.已知直角梯形中，，，，，，是腰上的动点，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知，的面积为，求边长的值.16.某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于，，三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目.（Ⅰ）求个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望.17.如图，四边形与均为菱形，，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若为线段上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.18.已知数列的前项和满足：，（为常数，，）.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，.若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围.19.已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆交于轴上方的，两点，且.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）（ⅰ）求直线的斜率；（ⅱ）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值.20.已知函数，的最大值为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，令，是否存在区间.使得函数在区间上的值域为若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ABDAD6-8:CDB二、填空题9.10.11.12.13.14.三、解答题15.解：（1）由已知得，由正弦定理得，∴，又在中，，∴∴.（２）由已知及正弦定理又SΔABC=，∴eq\f(1,2)，得由余弦定理得.16.（1）令A表示事件“3个人来自于两个不同专业”，表示事件“3个人来自于同一个专业”，表示事件“3个人来自于三个不同专业”，则由古典概型的概率公式有；（2）随机变量X的取值为：0，1，2，3则，，,, X 0 1 2 3 P ．17.解析：（1）设与相交于点，连接，∵四边形为菱形，∴，且为中点，∵，∴,又，∴平面.（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，∵为中点，∴，又，∴平面.∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，设，∵四边形为菱形，，∴.∵为等边三角形，∴.∴，∴，设平面的法向量为，则令，得设平面的法向量为，则，令，得所以又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为（3）设SKIPIF1<0所以化简得解得：所以.18.解：（1）且数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由得，因为数列为等比数列，所以，解得.(3)由（2）知所以，所以，解得.19.解：(1)由得，从而整理，得，故离心率(2)解法一：(i)由（I）得，所以椭圆的方程可写设直线AB的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而①②w由题设知，点B为线段AE的中点，所以③联立①③解得SKIPIF1<0，将代入②中，解得.解法二：利用中点坐标公式求出，带入椭圆方程消去，解得解出(依照解法一酌情给分)(ii)由(i)可知当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由解得故20.(1)由题意得，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得极大值，也是最大值，所以，解得.（2）的定义域为.①即,则，故在单调增②若,而,故,则当时，;当及时，故在单调递减，在单调递增。③若,即,同理在单调递减，在单调递增（3）由（1）知，所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增，所以恒成立，所以函数在区间内单调递增.假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，设，，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增，故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是.数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A．B．C．D．3.已知命题：，：，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的部分图像可能是（）5.已知双曲线（，）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．B．C．D．7.已知为正方形，其内切圆与各边分别切于，，，，连接，，，．现向正方形内随机抛掷一枚豆子，记事件：豆子落在圆内，事件：豆子落在四边形外，则（）A．B．C．D．8.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．9.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10.若函数，分别是定义在上的偶函数，奇函数，且满足，则（）A．B．C．D．11.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12.为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖），但没有得到牟合方盖的体积．200年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异．意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等．现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体的棱长为1，如图所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的展开式各项系数之和为256，则展开式中含项的系数为．14.设等差数列的前项和为，若，，则公差．15.在中，，其面积为3，设点在内，且满足SKIPIF1<0，则．16.对，，使得不等式成立，则实数的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的值．18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计 （2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．附表： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．　（1）证明：平面平面；（2）若，为棱的中点，，，求二面角的余弦值．20.已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线与轨迹交于，两点，为直线上一点，且满足，若的面积为，求直线的方程．21.设函数．（1）求证：当时，；（2）求证：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程（为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．（1）写出曲线的参数方程；（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，为不等式的解集.（1）求集合；（2）若，，求证：.一、选择题1-5:6-10:11、12：二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：(1)由已知及正弦定理得：，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)又所以，．18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100根据列联表中的数据，得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是，由题意知，从而X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 ，.19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）设BC中点为,连接，，又面SKIPIF1<0面，且面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以面。以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，设，可得所以由题得，解得.所以设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.则，[来科KS5U]所以二面角的余弦值为.20.解：（1）设，则，，，，，即轨迹的方程为.（II）法一：显然直线的斜率存在，设的方程为，由，消去可得：，设，，，SKIPIF1<0，，即SKIPIF1<0，，即SKIPIF1<0，，即，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线的距离，，解得，直线的方程为或．法2：（Ⅱ）设,AB的中点为则直线的方程为，过点A,B分别作，因为为AB的中点，所以在中，故是直角梯形的中位线，可得，从而点到直线的距离为：因为E点在直线上，所以有，从而由解得所以直线的方程为或．21.解析：(1)当时，等价于，构造函数,.则，记，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.于是，，即当时，，为上的增函数，所以，，即.于是，当时，.(2)由(1)可知，当时，.于是，.所以，.解不等式，可得，取.则对任意给定的正数，，当时，有，即.22解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为，整理得，曲线的参数方程（为参数）．（2）将直线的参数方程化为标准形式为（为参数），将参数方程带入得整理得.，，．23.解:（1）当时，，由解得，；当时，，恒成立，；当时，由解得，综上，的解集（2）SKIPIF1<0由得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则A.B.C.D.2.设,则“”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为A.4B.5C.6D.74.若展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为A.80B.-80C.160D.-1605.已知均为锐角，则角等于A.B.C.D.6.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为A.B.C.D.7.设等差数列的前项和为，若,则取最大值时的值为A.6B.7C.8D.138.设函数满足，且是上的增函数，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0的大小关系是A．B．C．D．9.函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若的图像关于直线对称，则在上的最小值是A.B.C.D.10.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当堑堵的侧面积最大时，阳马的体积为A.B.C.4D.11.已知分别是双曲线：SKIPIF1<0的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是A.B.C.D.12.已知函数是定义在上的偶函数，且满足若函数有六个零点，则实数的取值范围是A.SKIPIF1<0B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量，若，则=.14.设变量满足约束条件则的取值范围是.15.抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值为.16.在平面四边形中，,则的最大值为.三、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题60分。17.（12分）已知正项数列的前n项和为，且,等比数列的首项为1，公比为，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.18.（12分）如图，三棱柱的侧面是菱形，平面⊥平面，直线与平面所成角为SKIPIF1<0,为的中点.(1)求证：;(2)求二面角的余弦值．19.（12分）某企业有A，B两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品.分别从A，B两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，分别求出A分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为这两个分厂的产品质量有差异?（3)(i)从B分厂所抽取的100件产品中，依据产品是否为优质品，采用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；(ii)将频率视为概率，从B分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为X，求X的数学期望.附：20.（12分）在平面直角坐标系中，圆为平面内一动点，若以线段为直径的圆与圆相切.(1)证明为定值,并写出点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线,直线过交于两点,过且与垂直的直线与交于两点,求四边形面积的取值范围.21.（12分）已知函数,.(1)讨论函数的单调性；(2)是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.（二）选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中,曲线过点，其参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)若曲线与相交于两点,求的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数,不等式的解集为.(1)求的值；(2)若,求的取值范围.理科数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分60分。（1）A（2）B（3）C（4）B（5）C（6）C（7）B（8）A（9）D（10）A（11）C（12）D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。（13）（14）（15）1（16）9三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.本小题主要考查利用与的递推关系求数列的通项公式以及错位相减法求和,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、转化与化归思想等.满分12分.解：（1）当时，，即,因为，所以=3，………………………………………………1分当时，，……………………2分即，…………………………………3分因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，…………………4分所以,……………………………5分(2)因为数列首项为1，公比为的等比数列，成等差数列所以，即,所以,又因为，所以,……………………………………………6分所以,…………………………………………………7分则,…………………………………………………8分,……①则,……②由①-②得,………………9分,…………………………11分所以.…………………………………………………………12分18.本小题主要考查直线与平面的位置关系、线面角、二面角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解:(1)如图所示，连接，,在矩形中，,为的中点,所以,……………………………1分又因为平面⊥平面，所以直线在平面上的射影是直线,所以直线与平面所成角为，因为直线与平面所成角为即,………………………………………2分所以为正三角形，又为的中点，则,…………………………………………3分又平面⊥平面，平面平面,，所以⊥平面,……4分又平面，所以，且,所以平面,………………………………5分又因为,所以.………………………………………6分(2)设为中点，则，所以两两互相垂直,以为原点，分别以为的正方向,建立空间直角坐标系，如图,………………………………………………………………7分则，…………8分设平面的一个法向量为，则即令，得,………………………………………………9分同理可求平面的一个法向量为,…………………10分,………………………………11分由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.……………………………12分19.本小题主要考查频率分布直方图、统计量、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、或然与必然思想等．满分12分．解:(1)A分厂的质量指标值的众数的估计值为………1分设A分厂的质量指标值的中位数的估计值为，则解得…………………………2分(2)2×2列联表：…………………………………………3分由列联表可知K2的观测值为:……………………………5分所以有99%的把握认为两个分厂的产品质量有差异.……………………6分(3)(i)依题意，B厂的100个样本产品利用分层抽样的方法抽出10件产品中，优质品有2件，非优质品有8件，…………………………7分设“从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品”为事件，“从这10件产品中随机抽取2件，抽取的两件产品都是优质品”为事件,则,所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的概率是；………………9分(ii)用频率估计概率，从B分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量X服从二项分布，即X～B(10,0.20)，……10分则E(x)=10×0.20=2.…………………………………12分20.本小题主要考查曲线与方程、椭圆标准方程及其性质、直线与圆锥曲线及圆与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分解(1)设的中点为，连接，在中，分别为的中点，所以,又圆与动圆相切，则，所以,……1分即为定值，………………………………………………2分,所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，……………………………3分设椭圆方程为,则,所以点的轨迹方程为.……………4分（2）(法一)①当直线的斜率不存在时，不妨设，则，四边形AMBN面积;②当直线的斜率为0时,同理可得四边形AMBN面积;…………5分③当直线的斜率存在且不为0时,可设直线的方程为设,联立得，……………6分………………………………………7分，同理……………………………………8分四边形AMBN面积，………………9分设，则，…………10分所以；…………………………………………………………11分综上所述,四边形面积的取值范围是.…………………12分(法二)①当轴时，不妨设，则，四边形AMBN面积，②当轴时,同理可得四边形AMBN面积.………………………5分③当直线不垂直坐标轴时,设方程为，,联立得，………………………6分……………………………………………7分，同理，…………………………………8分四边形AMBN面积，………………9分设，则，……………10分所以；……………………………………………………………11分综上所述,四边形面积的取值范围是.………………………12分21.本小题主要考查函数的性质及导数的应用等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分．解:（1）由已知得,的定义域为,…………………………………………1分则,………………………2分①当时，所以,所以函数在上单调递减;…………………………3分②当时，令得或,(i)当，所以所以函数在上单调递增;………………………4分(ii)当，即时，在和上函数，在上函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；……………………………5分(iii)当，即时，在和上函数，在上函数，所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.……………………………………………6分(2)若对任意恒成立，则，记，只需.又，记，则，所以在上单调递减.………………………………………7分又，,所以存在唯一使得，即，……9分当时，的变化情况如下： ＋ 0 － ＋ 0 － ↗ 极大值 ↘所以，又因为，所以，所以，………………10分因为所以，所以，又，所以，……………………………11分因为，即，且k∈Z，故k的最小整数值为3.所以存在最小整数，使得对任意恒成立.……12分22.本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分10分.解：(1)由，可得的普通方程为，…………………………2分又的极坐标方程为，即,……………………………………3分所以的直角坐标方程为.………………………………5分(2)的参数方程可化为，……………6分代入得：，……………………………7分设对应的直线的参数分别为，，，，所以，，…………………8分所以SKIPIF1<0.………………10分23.本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分.解：(1)依题意得，……………………2分作出函数的草图（如右图）……………3分又不等式的解集为，故………………………………4分所以…………&he