均值不等式常用变形及解题方法总结

均值不等式常用变形及解题方法总结1/5均值不等式应用（一）均值不等式*也可是值为正的代数式1.调和平均数：2.几何平均数：3.算数平均数：4.平方平均数：·均值不等式：，当且仅当时等号成立常用：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。（二）常见变形1.2.3.4.5.6.（）7.（）8.9.（）10.（）11.12.（三）解题技巧（一定、二正、三相等、四同时）1.计算函数最值2/5·形函数例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt2254xyx2...

1/5均值不等式应用（一）均值不等式*也可是值为正的代数式1.调和平均数：2.几何平均数：3.算数平均数：4.平方平均数：·均值不等式：，当且仅当时等号成立常用：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。（二）常见变形1.2.3.4.5.6.（）7.（）8.9.（）10.（）11.12.（三）解题技巧（一定、二正、三相等、四同时）1.计算函数最值2/5·形函数例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt2254xyx22114(2)4xtttx当1tt时函数在x轴正半轴有最小值，在y轴负半轴有最大值，即1t∵1t不属于区间2,，故等号不成立，考虑单调性。∵1ytt在区间1,单调递增，∴52y∴所求函数的值域为5,2·分离法例3.：求2710(1)1xxyxx的值域。3/5解：当,即时,421)591yxx（，当且仅当x＝1时等号成立·换元法例：已知，则解：令则·拼凑（系数、常数）例：已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.解：x1＋y2＝x2·1＋y22＝2x·12＋y22x1＋y2＝2·x12＋y22≤2x2＋(12＋y22)22≤342例：已知54x，求函数14245yxx的最大值。解：∵54x∴540x∴11425432314554yxxxx当且仅当15454xx，即1x时等号成立∴当1x时，max1y。·化积为和（因式分解、平方）例：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。解一：由已知得a＝30－2bb＋1，ab＝30－2bb＋1，b＝－2b2＋30bb＋1∵a＞0∴0＜b＜15令t＝b+1，则1＜t＜164/5∴ab＝－2t2＋34t－31t＝－2（t＋16t）＋34∵t＋16t≥2t·16t＝8∴ab≤18∴y≥118当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。解二：由已知得30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab，则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴ab≤32，ab≤18∴y≥118例：已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.解一：利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b2≤a2＋b223x＋2y≤2（3x）2＋（2y）2＝23x＋2y＝25解二：条件与结论均为和的形式，通过平方化函数式为积的形式，向“和为定值”条件靠拢。∵W＞0W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤20＝25例：求函数152152()22yxxx的最大值。分析：注意到21x与52x的和为定值。解：22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx∵0y∴022y当且仅当21x=52x，即32x时取等号∴max22y。·化和为积（化简、1的代换）例：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。解：∵190,0,1xyxy∴1991061016yxxyxyxyxy5/5当且仅当9yxxy时，上式等号成立∵191xy∴4,12xy时，min16xy。·三角函数法例：设实数x,y,m,n满足，求mx+ny的最大值。解：令原式2.证明不等式、比较大小（作差法、做商法、中间值法-1,0,1、基本不等式）例：已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。解：令,0,0,xykxy191xy∴991.xyxykxky∴1091yxkkxky∴10312kk∴16k，,16m例：若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,,的大小关系是.分析：∵1ba∴0lg,0lgba∴21Q（pbabalglg)lglg∴QababbaRlg21lg)2lg(∴

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