圆的一般方程新知探究问题1 把圆的
标准
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方程（x－1）2＋（y－2）2＝9中的括号展开，整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？圆的标准方程（x－1）2＋（y－2）2＝9可以化为x2－2x＋y2－4y－4＝0一般的，圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可以化为x2－2ax＋y2－2by＋a2＋b2－r2＝0，这个方程中，如果令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2则这个方程可以表示成：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D，E，F为常数），称为圆的一般方程．新知探究问题2 分别判断2x2＋2y2－4x－4y＋1＝0和x2＋y2－2x－2y＋2＝0是否是圆的方程，然后
总结
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出x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是圆的方程的充要条件？同理，x2＋y2－2x－2y＋2＝0可表示成（x－1）2＋（y－1）2＝0，显然，只有x＝1，y＝1满足，因此不是圆．2x2＋2y2－4x－4y＋1＝0⇔x2＋y2－2x－2y＋＝0⇔x2－2x＋1＋y2－2y＋＝所以上述方程表示以（1，1）为圆心，半径为的圆；⇔（x－1）2＋（y－1）2＝新知探究问题2 分别判断2x2＋2y2－4x－4y＋1＝0和x2＋y2－2x－2y＋2＝0是否是圆的方程，然后总结出x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是圆的方程的充要条件？一般地，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可以表达成因此，（1）当D2＋E2－4F＞0，方程是以为圆心，为半径的圆的方程；（2）当D2＋E2－4F＝0，满足条件的只有所以原方程不是圆的方程；（3）当D2＋E2－4F＜0，方程没有实数解，因而原方程也不是圆的方程．新知探究问题3 探讨方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是圆的方程的满足的条件？x2，y2项的系数相等且不等于零，即A＝C≠0没有xy项，即B＝0D2＋E2－4F＞0初步应用例1 已知A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）都是圆P上的三点，求这个圆的方程．解答：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）都是圆上的点，所以他们的坐标都是方程的解，所以圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0．所以解方程组可得D＝6，E＝－2，F＝－15初步应用问题4 上述解法是利用圆的一般方程，你能否用上一节例2的解法来解一下本题？
方法
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一：设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）＋（y－b）2＝r2，代入A，B，C三点坐标得到关于a，b，r的三个方程，解方程组可得圆的标准方程；方法二：先求AB和AC的垂直平分线方程，则两垂直平分线交点即为所求圆圆心，再算出半径，可得圆的标准方程．初步应用例2 判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由．（1）x2＋y2＋4x－6y－12＝0；（2）4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0；（3）x2＋y2－6x＋10＝0．（1）原方程可以化为（x＋2）2＋（y－3）2＝25，所以是圆心坐标为（－2，3）半径为5的圆的方程；初步应用例2 判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由．（1）x2＋y2＋4x－6y－12＝0；（2）4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0；（3）x2＋y2－6x＋10＝0．（2）方程两边除以4，得x2＋y2－2x＋y－＝0．将左边
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，得（x－1）2＋（y＋）2＝5所以是圆心坐标为（1，），半径为的圆的方程；初步应用例2 判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由．（1）x2＋y2＋4x－6y－12＝0；（2）4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0；（3）x2＋y2－6x＋10＝0．（3）因为原方程可以化为x2＋y2－6x＋9＝－1，即（x－3）2＋y2＝－1，又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程．归纳小结问题5 （1）圆的一般方程是什么？（2）x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否一定表示圆，为什么？（1）x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D，E，F为常数），称为圆的一般方程．归纳小结问题5 （2）x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否一定表示圆，为什么？一般地，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可以表达成因此，（1）当D2＋E2－4F＞0，方程是以为圆心，为半径的圆的方程；（2）当D2＋E2－4F＝0，满足条件的只有所以原方程不是圆的方程；（3）当D2＋E2－4F＜0，方程没有实数解，因而原方程也不是圆的方程．作业布置作业：教科
书
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上的练习题1目标检测A．以（a，b）为圆心的圆B．以（－a，－b）为圆心的圆C．点（a，b）D．点（－a，－b）解析：由配方法得（x＋a）2＋（y＋b）2＝0，所以方程表示点（－a，－b）．D方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是（ ）2目标检测A．x2＋4y2＝4B．4x2＋y2＝4C．x2＋y2＝D．x2＋y2＝4解析：设中点为（x，y），则P（x，2y），代入x2＋y2＝4，得x2＋4y2＝4．A过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，则PQ中点的轨迹方程为（ ）目标检测A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0C3当a为任意实数时，直线（a－1）x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为（ ）解析：直线（a－1）x－y＋a＋1＝0可化为（－x－y＋1）＋a（1＋x）＝0，所以圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0．由 得C（－1，2）．谢谢大家敬请各位老师提出宝贵意见！再见
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