高等数学第二十讲第一页，共34页。第十一章积分(jīfēn)学定积分(jīfēn)二重积分(jīfēn)三重积分(jīfēn)积分(jīfēn)域区间域平面域空间域曲线(qūxiàn)积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第二页，共34页。第一节一、对弧长的曲线积分的概念(gàiniàn)与性质二、对弧长的曲线(qūxiàn)积分的计算法对弧长的曲线(qūxiàn)积分第十一章二、对弧长的曲线积分的应用第三页，共34页。一、对弧长的曲线积分(jīfēn)的概念与性质假设曲线形细长(xìchánɡ)构件在空间所占弧段为AB,其线密度(mìdù)为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,1.引例:曲线形构件的质量采用第四页，共34页。设是空间中一条有限长的光滑(guānghuá)曲线,义在上的一个(yīɡè)有界函数,都存在(cúnzài),上对弧长的曲线积分,记作若通过对的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对第五页，共34页。如果L是xoy面上(miànshànɡ)的曲线弧,如果(rúguǒ)L是闭曲线,则记为则定义(dìngyì)对弧长的曲线积分为思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.此为一种新的和式极限。定积分：线积分：不是定积分。第六页，共34页。3.性质(xìngzhì)（k为常数(chángshù))(由组成)(l为曲线(qūxiàn)弧的长度)由定义可知：此曲线积分不论积分弧段的方向如何，总取正值，定义中右端的和式极限不变，则有：换向不变号第七页，共34页。二、对弧长的曲线积分(jīfēn)的计算法基本思路:计算(jìsuàn)定积分转化定理(dìnglǐ):上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分且求曲线积分说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述
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相当于“换元法”.第八页，共34页。小弧段的求法：曲线(qūxiàn)：第九页，共34页。则则如果(rúguǒ)方程为极坐标形式:第十页，共34页。极坐标：第十一页，共34页。则推广:设空间曲线弧的参数(cānshù)方程为第十二页，共34页。例1.计算(jìsuàn)其中(qízhōng)L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)第十三页，共34页。解例2.第十四页，共34页。例3.计算(jìsuàn)其中(qízhōng)L为双纽线解:在极坐标系下它在第一(dìyī)象限部分为利用对称性,得第十五页，共34页。例4.计算(jìsuàn)曲线积分其中(qízhōng)为螺旋的一段弧.解:线第十六页，共34页。例5.计算(jìsuàn)其中(qízhōng)为球面解:化为参数(cānshù)方程则第十七页，共34页。例6：计算(jìsuàn)：L为图示三角形周界(zhōujiè)。解：第十八页，共34页。例7：计算(jìsuàn)其中曲线(qūxiàn)L为单位圆从点A(0,1)沿顺时针方向(fāngxiàng)到点解法1第十九页，共34页。解法(jiěfǎ)2例7：计算(jìsuàn)其中(qízhōng)曲线L为单位圆从点A(0,1)沿顺时针方向到点第二十页，共34页。例7：计算(jìsuàn)其中曲线(qūxiàn)L为单位圆从点A(0,1)沿顺时针方向(fāngxiàng)到点解法3第二十一页，共34页。例8：计算(jìsuàn)L由解：第二十二页，共34页。例8：计算(jìsuàn)L由第二十三页，共34页。例9.计算(jìsuàn)其中(qízhōng)为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知(kězhī)第二十四页，共34页。例10已知椭圆(tuǒyuán)周长(zhōuchánɡ)为a,求提示(tíshì):原式=利用对称性分析:第二十五页，共34页。例11计算(jìsuàn)其中(qízhōng)L为上半圆周解:第二十六页，共34页。三、几何(jǐhé)与物理意义第二十七页，共34页。第二十八页，共34页。例1.计算(jìsuàn)半径为R,中心角为的圆弧L对于(duìyú)它的对称轴的转动惯量I(设线密度(mìdù)=1).解:建立坐标系如图,有对称性则第二十九页，共34页。截下部分(bùfen)的面积A。解：如图所示，先作柱面例2：求由抛物柱面第三十页，共34页。例3：已知曲杆方程(fāngchéng)为其上各点的密度(mìdù)求1、曲杆的长S.2、质量(zhìliàng)M.3、质心4、曲杆的转动惯量解：第三十一页，共34页。例4设均匀螺旋形弹簧(tánhuáng)L的方程为(1)求它关于(guānyú)z轴的转动惯量(2)求它的形心.解:设其密度(mìdù)为ρ(常数).(2)L的长度由对称性(1)故形心坐标为第三十二页，共34页。内容(nèiróng)小结1.定义(dìngyì)2.性质(xìngzhì)(l曲线弧的长度)第三十三页，共34页。3.计算(jìsuàn)•对光滑(guānghuá)曲线弧•对光滑(guānghuá)曲线弧•对光滑曲线弧第三十四页，共34页。
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