A卷第PAGE1页共6页线性代数考试
题
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及
答案
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一单项选择题（每题3分，共18分）设的特征值为1，2，3，是行列式中元素的代数余子式，则＝（）a.；b.；c.；d.6。2．已知，则以下选项中正确的是（）a.；b.；c.；d.。3．n维向量线性无关的充要条件是（）a．存在不全为零的数，使；b．中任意两个向量都线性无关；c．中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；d．中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。4．设是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中为任意常数）（）a.；b.；c.；d.。5．已知矩阵，伴随矩阵，且有非零解，则（）a.；b.或；c.；d.且。6．设是非齐次线性方程组的两个不同的解，则以下选项中一定是对应特征值的特征向量为（）a.；b．；c．；d．。二填空题（每题3分，共18分）7．设行列式，是中元素的代数余子式，则＝。8．设是实对称可逆矩阵，则将化为的线性变换为____________________。9．设矩阵有特征值6，2，2，且能相似于对角阵，则＝___________。10．已知是维实列向量，矩阵，为非零常数，则为正交矩阵的充分必要条件为。11.设，，其中互不相同，，则线性方程组的解是___________。12．若实二次型为正定二次型,则的取值范围为。三计算题（每题8分，共48分）13．计算阶行列式：。14．已知线性方程组，（1）试问：常数取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。15．设，，已知线性方程组有解但不唯一。试求：（1）的值；（2）正交矩阵为对角矩阵。16．设矩阵的伴随矩阵，且。求矩阵。17．已知线性空间的基到基的过渡矩阵为，且，，；试求：(1)基；(2)在基下有相同坐标的全体向量。18．设为三阶实对称矩阵，且满足已知对应特征值的特征向量有,。试求：矩阵，。其中为自然数。四证明题（每题8分，共16分）19．设为阶矩阵，已知秩。试证：(1)线性方程组同解；(2)。20．设是维非零实向量，，为使得的任意常数。以下结论若正确，请证明；若不正确，请举出反例。(1)若与正交，且与也正交，则与正交。(2)若与线性无关，且与也线性无关，则与线性无关。参考答案（线代）一选择题bdcadb二填空题7.－11；8.；9.；10．；11.；12.。三计算题13.。14.（1）无穷多解；唯一解；无解（4分）（2）（8分）15.解：（1）方程组有解但不唯一，所以，故。（2分）（2）特征值为，，。（4分），。（8分）16．由，有，得。（2分）用，左右乘方程的两端，得（4分）（8分）17．（1）设,,则，故，，；（2分）（2）设所求向量的坐标为，则，即，因为为可逆矩阵，得，由（4分）得，（6分）故（8分）18．，特征值1、1、－2，（2分），特征向量，（4分）（6分）（8分）四证明题19．证：(1)因为，所以的解都是的解，又，故它们的解空间相同，因此它们同解。(2)，所以的解都是的解。反之，若存在，使，但。则由，知是的解；，知不是的解。与(1)的结论矛盾。故同解，。故。20．证：(1)因为，所以成立。(2)不成立。如，，，。
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