【公开课】三角函数的概念+课件高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

【公开课】三角函数的概念+课件高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.2.1三角函数的概念问题引入问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么模型函数刻画呢？APO 任务：建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况新课学习如图，以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系xOy，点A的坐标（1，0），点P的坐标是（x,y）点P从点A（1，0）开始在单位圆上运动A（1，0）P（x,y）O xy问题1：这个运动过程中有哪些变量？判断它们之间是否具有函数关系，如...

5.2.1三角函数的概念问题引入问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么模型函数刻画呢？APO 任务：建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况新课学习如图，以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系xOy，点A的坐标（1，0），点P的坐标是（x,y）点P从点A（1，0）开始在单位圆上运动A（1，0）P（x,y）O xy问题1：这个运动过程中有哪些变量？判断它们之间是否具有函数关系，如果有，能否写出函数解析式？点P的横坐标x、纵坐标y，弧长，旋转角 A（1，0）P（x,y）O xy判断变量：间的哪些变量能否构成函数关系呢？根据勾股定理可知+=1即=1所以的对应关系不符合函数定义研究：变量和的关系 A（1，0）P（x,y）O xyM 问题2：若角终边与单位圆交于点P，如何求点P的坐标呢？追问1：如何研究一般性问题？不妨设=，此时点P在第一象限，过点P作PM⊥x轴于M在Rt△OMP，可得OM=，PM=即x=，y=所以点P的坐标为（） A（1，0）P（x,y）O xy 追问2：当=时，点P的坐标是什么？ A（1，0）P（x,y）O xy 当=，此时点P在第二象限，过点P作PM⊥x轴于M在Rt△OMP，可得OM=，PM=即x=-，y=所以点P的坐标为（-）追问3：任意给定一个角，点P的坐标唯一确定吗？ A（1，0）P（x,y）O xy因为单位圆的半径不变，点P的坐标只与角的大小有关当角时，点P的坐标也唯一确定追问4：任意给定一个角，观察角的终边于单位圆的交点P的坐标，有什么发现呢？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？ A（1，0）P（x,y）O xy对于任意角，它的终边于单位圆的交点P的横、纵坐标x,y都是唯一确定的。这里有两个对应关系：：实数（弧度）对应于点P的纵坐标y①：实数（弧度）对应于点P的横坐标x②任意给定一个角R，它的终边OP于单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x，还是纵坐标y，都是唯一确定的。所以，点P的横坐标x，纵坐标y都是角函数 xyA（1，0）P（x,y）O 三角函数的概念如图，设一个任意角，它的终边OP于单位圆相交于点P（x,y），那么：把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作即y=；把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作即x=；把点P的纵坐标与横坐标的比值的正切函数，记作，即=（x≠0） xyA（1，0）P（x,y）O 问题3：正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？实数（弧度）对应于点P的纵坐标y——正弦函数实数（弧度）对应于点P的横坐标x——余弦函数 xyA（1，0）P（x,y）O 当点P的横坐标为0时，角的终边在y轴上，这是=，所以=无意义，初次之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的实数（弧度）对应于点P的纵坐标y于横坐标x（x≠0）之比——正切函数 xyA（1，0）P（x,y）O 追问1：任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义呢？正弦函数、余弦函数、正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。由于角的集合于实数集之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数。xyA（1，0）P（x,y）O 按照函数的定义与常用的符号，通常它们记作为：正弦函数：余弦函数：正切函数：将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 xyA（1，0）P（x,y）O 追问2：任意角三角函数的定义域分别是什么呢？正弦函数的定义域是实数集,即;余弦函数的定义域是实数集,即正切函数的定义域为{} xyA（1，0）P（x,y）O 追问3：这个定义与锐角三角函数的定义有什么不同呢？任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可以用角的终边与单位圆交点的坐标定义。此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值也可以是负数追问4：“任意角三角函数”与“锐角三角函数”这两个概念有什么异同？对锐角三角函数的理解：，，， xyA（1，0）P（x,y）O 典例剖析例1：求的正弦、余弦和正切值解：在直角坐标系中，作∠AOB=，此时∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为（）所以=，=，=- xyA（1，0）BO 例2：如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标（x,y），点P与原点的距离为r求证：=，=，= xOy P 分析：①你能根据三角函数的定义作图表示吗？②在你所作的图形中，，，什么，你能找到它们与任意角的三角函数的关系吗？ xOy PxyA（1，0）PO PM解：设角的终边与单位圆交于点（,）,分别过点P，作x轴的垂线PM，，垂足分别为M，，则PM=|y|,=||,OM=|x|,O=||O所以得到=,即||=因为y与同号，所以=，即=同理可证：=，= xyA（1，0）PO PM例2实际上给出了任意角的三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的，能否用严格的数学语言叙述这个定义吗？一般地，对于任意角，角终边上的任意一点P的坐标为（x,y），它到原点O的距离为r=OP==那么：=，=，= xOy PM探究活动根据任意角的三角函数的定义，将这三个函数的值在各象限的符号填入下图中的括号里。xOy（+）（-）（+）（-） xOy（-）（-）（+）（+）xOy（-）（+）（+）（-）当堂检测 1.利用三角函数的定义，求的三个三角函数值.2.已知角θ的终边多点P（-12，5），求角θ的三角函数值. 课堂小结三角函数是如何定义的？我们除了学习单位圆定义，还有什么定义方法？课后作业教科书练习第1，3，4题习题5.2第2题

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