数学专业英语吴炯圻

数学专业英语吴炯圻数学专业英语吴炯圻PAGE/NUMPAGES数学专业英语吴炯圻NewWords&Expressions:algebra代数学geometrical几何的algebraic代数的identity恒等式arithmetic算术,算术的measure测量，测度axiom公理numerical数值的,数字的conception概念，观点operation运算constant常数postulate公设logicaldeduction逻辑推理proposition命题division除，除法subtraction减，减法formula公式term项，术语trigonometry三角学variable变化的，变量2.1数学、方程与比例Mathematics,EquationandRatio4Mathematicscomesfromman’ssocialpractice,forexample,industrialandagriculturalproduction,commercialactivities,militaryoperationsandscientificandtechnologicalresearches.1－AWhatismathematics数学来源于人类的社会实践，比如工农业生产，商业活动，军事行动和科学技术研究。Andinturn,mathematicsservesthepracticeandplaysagreatroleinallfields.Nomodernscientificandtechnologicalbranchescouldberegularlydevelopedwithouttheapplicationofmathematics.反过来，数学服务于实践，并在各个领域中起着非常重要的作用。个现在的科技的分支都不能正常发展。没有应用数学，任何一5Fromtheearlyneedofmancametheconceptsofnumbersandforms.Then,geometrydevelopedoutofproblemsofmeasuringland,andtrigonometrycamefromproblemsofsurveying.Todealwithsomemorecomplexpracticalproblems,manestablishedandthensolvedequationwithunknownnumbers,thusalgebraoccurred.很早的时候，人类的需要产生了数和形的概念。接着，测量土地问题形成了几何学，测量问题产生了三角学。为了处理更复杂的实际问题，人类建立和解决了带未知数的方程，从而产生了代数学。Before17thcentury,manconfinedhimselftotheelementarymathematics,i.e.,geometry,trigonometryandalgebra,inwhichonlytheconstantsareconsidered.世纪前，人类局限于只考虑常数的初等数学，即几何学，三角学和代数学。6Therapiddevelopmentofindustryin17thcenturypromotedtheprogressofeconomicsandtechnologyandrequireddealingwithvariablequantities.Theleapfromconstantstovariablequantitiesbroughtabouttwonewbranchesofmathematics----analyticgeometryandcalculus,whichbelongtothehighermathematics.17世纪工业的快速发展推动了经济技术的进步，从而遇到需要处理变量的问题。从常量到变量的跳跃产生了两个新的数学分支-----解析几何和微积分，他们都属于高等数学。Nowtherearemanybranchesinhighermathematics,amongwhicharemathematicalanalysis,higheralgebra,differentialequations,functiontheoryandsoon.现在高等数学里面有很多分支，其中有数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，高等代数，微分方程，函数论等。7Mathematiciansstudyconceptionsandpropositions,Axioms,postulates,definitionsandtheoremsareallpropositions.Notationsareaspecialandpowerfultoolofmathematicsandareusedtoexpressconceptionsandpropositionsveryoften.数学家研究的是概念和命题，公理，有用的工具，常用于表达概念和命题。公设，定义和定理都是命题。符号是数学中一个特殊而Formulas,figuresandchartsarefullofdifferentsymbols.SomeofthebestknownsymbolsofmathematicsaretheArabicnumerals1,2,3,4,5,6,7,8,9,0andthesignsofaddition“+”,subtraction-”“,multiplication“×”division,“÷”andequality“=”.公式，图形和图表都是不同的符号..8Theconclusionsinmathematicsareobtainedmainlybylogicaldeductionsandcomputation.Foralongperiodofthehistoryofmathematics,thecentricplaceofmathematicsmethodswasoccupiedbythelogicaldeductions.数学结论主要由逻辑推理和计算得到。在数学发展历史的很长时间内，逻辑推理一直占据着数学方法的中心地位。Now,sinceelectroniccomputersaredevelopedpromptlyandusedwidely,theroleofcomputationbecomesmoreandmoreimportant.Inourtimes,computationisnotonlyusedtodealwithalotofinformationanddata,butalsotocarryoutsomeworkthatmerelycouldbedoneearlierbylogicaldeductions,forexample,theproofofmostofgeometricaltheorems.现在，由于电子计算机的迅速发展和广泛使用，计算机的地位越来越重要。用于处理大量的信息和数据，还可以完成一些之前只能由逻辑推理来做的工作，大多数的几何定理。现在计算机不仅例如，证明9回顾：1.如果没有运用数学，任何一个科学技术分支都不可能正常的发展。符号在数学中起着非常重要的作用，它常用于表示概念和命题。1－AWhatismathematics10Anequationisastatementoftheequalitybetweentwoequalnumbersornumbersymbols.1－BEquation等式是关于两个数或者数的符号相等的一种描述。Equationareoftwokinds----identitiesandequationsofcondition.Anarithmeticoranalgebraicidentityisanequation.Insuchanequationeitherthetwomembersarealike,orbecomealikeontheperformanceoftheindicatedoperation.等式有两种－恒等式和条件等式。算术或者代数恒等式都是等式。这种等式的两端要么一样，要么经过执行指定的运算后变成一样。11Anidentityinvolvinglettersistrueforanysetofnumericalvaluesofthelettersinit.含有字母的恒等式对其中字母的任一组数值都成立。Anequationwhichistrueonlyforcertainvaluesofaletterinit,orforcertainsetsofrelatedvaluesoftwoormoreofitsletters,isanequationofcondition,orsimplyanequation.Thus3x-5=7istrueforx=4only;and2x-y=10istrueforx=6andy=2andformanyotherpairsofvaluesforxandy.一个等式若仅仅对其中一个字母的某些值成立，或对其中两个或者多个字母的若干组相关的值成立，则它是一个条件等式，简称方程。因此3x-5=7仅当x=4时成立，而2x-y=0，当x=6,y=2时成立，且对x,y的其他许多对值也成立。12Arootofanequationisanynumberornumbersymbolwhichsatisfiestheequation.Toobtaintherootorrootsofanequationiscalledsolvinganequation.方程的根是满足方程的任意数或者数的符号。求方程根的过程被称为解方程。Therearevariouskindsofequations.Theyarelinearequation,quadraticequation,etc.方程有很多种，例如：线性方程，二次方程等。13Tosolveanequationmeanstofindthevalueoftheunknownterm.Todothis,wemust,ofcourse,changethetermsaboutuntiltheunknowntermstandsaloneononesideoftheequation,thusmakingitequaltosomethingontheotherside.Wethenobtainthevalueoftheunknownandtheanswertothequestion.解方程意味着求未知项的值，为了求未知项的值，当然必须移项，直到未知项单独在方程的一边，令其等于方程的另一边，从而求得未知项的值，解决了问题。Tosolvetheequation,therefore,meanstomoveandchangethetermsaboutwithoutmakingtheequationuntrue,untilonlytheunknownquantityisleftononeside,nomatterwhichside.因此解方程意味着进行一系列的移项和同解变形，直到未知量被单独留在方程的一边，无论那一边。14Equationsareofverygreatuse.Wecanuseequationsinmanymathematicalproblems.Wemaynoticethatalmosteveryproblemgivesusoneormorestatementsthatsomethingisequaltosomething,thisgivesusequations,withwhichwemayworkifweneedto.方程作用很大，可以用方程解决很多数学问题。注意到几乎每一个问题都给出一个或多个关于一个事情与另一个事情相等的陈述，这就给出了方程，利用该方程，如果我们需要的话，可以解方程。NewWords&Expressions:numerical数值的，数的position位置，状态cuben.立方体spheren.球cylindern.柱体cone圆锥geometrical几何的triangle三角形surface面，曲面pyramid菱形plane平面solid立体，立体的straightline直线linesegment直线段brokenline折线ray射线equidistant等距离的curve曲线，弯曲2.2几何与三角GeometryandTrigonology1NewWords&Expressions:side边radius（radii）半径endpoint端点semicircle半圆minorarc劣弧acuteangle锐角hypotenuse斜边chord弦2angle角diameter直径circle圆周，圆arc弧majorarc优弧rightangle直角adjacentside邻边circumference周长Manyleadinginstitutionsofhigherlearninghaverecognizedthatpositivebenefitscanbegainedbyallwhostudythisbranchofmathematics.2－AWhystudygeometry?许多居于领导地位的学术机构承认，所有学习这个数学分支的人都将得到确实的受益。Thisisevidentfromthefactthattheyrequirestudyofgeometryasaprerequisitetomatriculationinthoseschools.许多学校把几何的学习作为入学考试的先决条件，从这一点上可以证明。3GeometryhaditsoriginlongagointhemeasurementbytheBabyloniansandEgyptiansoftheirlandsinundatedbythefloodsoftheNileRiver.几何学起源于很久以前巴比伦人和埃及人测量他们被尼罗河洪水淹没的土地。Thegreekwordgeometryisderivedfromgeo,meaning“earth”andmetron,meaning“measure”.希腊语几何来源于geo，意思是”土地“，和metron意思是”测量“。4Asearlyas2000B.C.wefindthelandsurveyorsofthesepeoplere-establishingvanishinglandmarksandboundariesbyutilizingthetruthsofgeometry.公元前2000年之前，我们发现这些民族的土地测量者利用几何知识重新确定消失了的土地标志和边界。Oneofthemostimportantobjectivesderivedfromastudyofgeometryismakingthestudentbemorecriticalinhislistening,readingandthinking.Instudyinggeometryheisledawayfromthepracticeofblindacceptanceofstatementsandideasandistaughttothinkclearlyandcriticallybeforeformingconclusions.几何的学习使学生在思考问题时更周密、审慎，他们将不会盲目接受任何结论.5Asolidisathree-dimensionalfigure.Commonexamplesofsolidsarecube,sphere,cylinder,coneand立方体有6pyramid.2－BSomegeometricalterms立体是一个三维图形，立体常见的例子是立方体，球体，柱体，圆锥和棱锥。Acubehassixfaceswhicharesmoothandflat.Thesefacesarecalledplanesurfacesorsimplyplanes.6个面，都是光滑的和平的，这些面被称为平面曲面或者简称为平面。Aplanesurfacehastwodimensions,lengthandwidth.Thesurfaceofablackboardorofatabletopisanexampleofaplanesurface.平面曲面是二维的，有长度和宽度，黑板和桌子上面的面都是平面曲面的例子。Acircleisaclosedcurvelyinginoneplane,allpointsofwhichareequidistantfromafixedpointcalledthecenter.平面上的闭曲线当其中每点到一个固定点的距离均相当时叫做圆。固定点称为圆心。7Alinesegmentdrawnfromthecenterofthecircletoapointonthecircleisaradiusofthecircle.Thecircumferenceisthelengthofacircle.经过圆心且其两个端点在圆周上的线段称为这个园的直径，这条曲线的长度叫做周长。Oneofthemostimportantapplicationsoftrigonometryisthesolutionoftriangles.Letusnowtakeupthesolutiontorighttriangles.三角形最重要的应用之一是解三角形，现在我们来解直角三角形。8Atriangleiscomposedofsixpartsthreesidesandthreeangles.Tosolveatriangleistofindthepartsnotgiven.一个三角形由6个部分组成，三条边和三只角。解一个三角形就是要求出未知的部分。Atrianglemaybesolvedifthreeparts(atleastoneoftheseisaside)aregiven.Arighttrianglehasoneangle,therightangle,alwaysgiven.Thusarighttrianglecanbesolvedwhentwosides,oronesideandanacuteangle,aregiven.如果三角形的三个部分（其中至少有一个为边）为已知，则此三角形就可以解出。直角三角形的一只角，即直角，总是已知的。因此，如果它的两边，或一边和一锐角为已知，则此直角三角形可解。NewWords&Expressions:brace大括号roster名册consequence结论，推论rosternotation枚举法designate标记，指定ruleout排除，否决diagram图形，图解subset子集distinct互不相同的theunderlyingset基础集distinguish区别，辨别universalset全集divisible可被除尽的validity有效性dummy哑的，哑变量visual可视的eveninteger偶数visualize可视化irrelevant无关紧要的voidset(emptyset)空集2.3集合论的基本概念BasicConceptsoftheTheoryofSets1Theconceptofasethasbeenutilizedsoextensivelythroughoutmodernmathematicsthatanunderstandingofitisnecessaryforallcollegestudents.Setsareameansbywhichmathematicianstalkofcollectionsofthingsinanabstractway.3－ANotationsfordenotingsets集合论的概念已经被广泛使用，遍及现代数学，因此对大学生来说，理解它的概念是必要的。集合是数学家们用抽象的方式来表述一些事物的集体的工具。Setsusuallyaredenotedbycapitalletters;elementsaredesignatedbylower-caseletters.集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示。2Weusethespecialnotationtomeanthat“xisanelementofS”or“xbelongstoS”.IfxdoesnotbelongtoS,wewrite.我们用专用记号来表示x是S的元素或者x属于S。如果x不属于S，我们记为。Whenconvenient,weshalldesignatesetsbydisplayingtheelementsinbraces;forexample,thesetofpositiveevenintegerslessthan10isdisplayedas{2,4,6,8}whereasthesetofallpositiveevenintegersisdisplayedas{2,4,6,},thethreedotstakingtheplaceof“andsoon.”如果方便，我们可以用在大括号中列出元素的方式来表示集合。例如，小于10的正偶数的集合表示为{2,4,6,8}，而所有正偶数的集合表示为{2,4,6,},三个圆点表示“等等”。3Thedotsareusedonlywhenthemeaningof“andsoon”isclear.Themethodoflistingthemembersofasetwithinbracesissometimesreferredtoastherosternotation.只有当省略的内容清楚时才能使用圆点。在大括号中列出集合元素的方法有时被归结为枚举法。Thefirstbasicconceptthatrelatesonesettoanotherisequalityofsets:联系一个集合与另一个集合的第一个基本概念是集合相等。4DEFINITIONOFSETEQUALITYTwosetsAandBaresaidtobeequal(oridentical)iftheyconsistofexactlythesameelements,inwhichcasewewriteA=B.Ifoneofthesetscontainsanelementnotintheother,wesaythesetsunequalandwewriteA≠B.集合相等的定义如果两个集合A和B确切包含同样的元素,则称二者相等，此时记为A=B。如果一个集合包含了另一个集合以外的元素，则称二者不等，记为A≠B。5EXAMPLE1.Accordingtothisdefinition,thetwosets{2,4,6,8}and{2,8,6,4}areequalsincetheybothconsistofthefourintegers2,4,6and8.Thus,whenweusetherosternotationtodescribeaset,theorderinwhichtheelementsappearisirrelevant.根据这个定义，两个集合{2,4,6,8}和{2,8,6,4}是相等的，因为他们都包含了四个整数2,4,6,8。因此，当我们用枚举法来描述集合的时候，元素出现的次序是无关紧要的。6EXAMPLE2.Thesets{2,4,6,8}and{2,2,4,4,6,8}areequaleventhough,inthesecondset,eachoftheelements2and4islistedtwice.Bothsetscontainthefourelements2,4,6,8andnoothers;therefore,thedefinitionrequiresthatwecallthesesetsequal.例2.集合{2,4,6,8}和{2,2,4,4,6,8}也是相等的，虽然在第二个集合中，2和4都出现两次。两个集合都包含了四个元素2,4,6,8，没有其他元素，因此，依据定义这两个集合相等。Thisexampleshowsthatwedonotinsistthattheobjectslistedintherosternotationbedistinct.AsimilarexampleisthesetoflettersinthewordMississippi,whichisequaltotheset{M,i,s,p},consistingofthefourdistinctlettersM,i,s,andp.这个例子表明我们没有强调在枚举法中所列出的元素要互不相同。一个相似的例子是，在单词Mississippi中字母的集合等价于集合{M,i,s,p},其中包含了四个互不相同的字母M,i,s,和p.7FromagivensetSwemayformnewsets,calledsubsetsofS.Forexample,thesetconsistingofthosepositiveintegerslessthan10whicharedivisibleby4(theset{4,8})isasubsetofthesetofallevenintegerslessthan10.Ingeneral,wehavethefollowingdefinition.3－BSubsets一个给定的集合S可以产生新的集合，小于10的正整数所组成的集合是小于如下定义。这些集合叫做S的子集。例如，由可被4除尽的并且10的所有偶数所组成集合的子集。一般来说，我们有8Inallourapplicationsofsettheory,wehaveafixedsetSgiveninadvance,andweareconcernedonlywithsubsetsofthisgivenset.TheunderlyingsetSmayvaryfromoneapplicationtoanother;itwillbereferredtoastheuniversalsetofeachparticulardiscourse.（35页第二段）当我们应用集合论时，总是事先给定一个固定的集合S，而我们只关心这个给定集合的子集。基础集可以随意改变，可以在每一段特定的论述中表示全集。9Itispossibleforasettocontainnoelementswhatever.Thissetiscalledtheemptysetorthevoidset,andwillbedenotedbythesymbol.Wewillconsidertobeasubsetofeveryset（.35页第三段）一个集合中不包含任何元素，这种情况是有可能的。这个集合被叫做空集，用符号表示。空集是任何集合的子集。Somepeoplefindithelpfultothinkofasetasanalogoustoacontainer(suchasabagorabox)containingcertainobjects,itselements.Theemptysetisthenanalogoustoanemptycontainer.一些人认为这样的比喻是有益的，集合类似于容器（如背包和盒子）装有某些东西那样，包含它的元素。10Toavoidlogicaldifficulties,wemustdistinguishbetweentheelementsxandtheset{x}whoseonlyelementisx.Inparticular,theemptysetisnotthesameastheset.（35页第四段）为了避免遇到逻辑困难，我们必须区分元素x和集合{x}，集合{x}中的元素是x。特别要注意的是空集和集合是不同的。Infact,theemptysetcontainsnoelements,whereasthesethasoneelement.Setsconsistingofexactlyoneelementaresometimescalledone-elementsets.事实上，空集不含有任何元素，而有一个元素。由一个元素构成的集合有时被称为单元素集。11Diagramsoftenhelpusvisualizerelationsbetweensets.Forexample,wemaythinkofasetSasaregionintheplaneandeachofitselementsasapoint.SubsetsofSmaythenbethoughtofthecollectionsofpointswithinS.Forexample,inFigure2-3-1theshadedportionisasubsetofAandalsoasubsetofB.（35页第五段）图解有助于我们将集合之间的关系形象化。例如，可以把集合S看作平面内的一个区域，其中的每一个元素即是一个点。那么S的子集就是S内某些点的全体。例如，在图2-3-1中阴影部分是A的子集，同时也是B的子集。12Visualaidsofthistype,calledVenndiagrams,areusefulfortestingthevalidityoftheoremsinsettheoryorforsuggestingmethodstoprovethem.Ofcourse,theproofsthemselvesmustrelyonlyonthedefinitionsoftheconceptsandnotonthediagrams.这种图解方法，叫做文氏图，在集合论中常用于检验定理的有效性或者为证明定理提供一些潜在的方法。当然证明本身必须依赖于概念的定义而不是图解。NewWords&Expressions:conversely反之correspond对应deducible可推导的difference差geometricinterpretation几何意义induction归纳法proofbyinduction归纳证明inductiveset归纳集distinguished著名的entirelycomplete完整的inequalityinteger整数不等式Euclid欧几里得Euclidean欧式的thefieldaxiom域公理interchangeably可互相交换的intuitive直观的irrational无理的2.4整数、有理数与实数Integers,RationalNumbersandRealNumbers1NewWords&Expressions:irrationalnumber无理数theorderaxiom序公理ordered有序的product积quotient商rational有理的rationalnumber有理数reasoning推理scale尺度，刻度sum和2ThereexistcertainsubsetsofRwhicharedistinguishedbecausetheyhavespecialpropertiesnotsharedbyallrealnumbers.Inthissectionweshalldiscusssuchsubsets,theintegersandtherationalnumbers.4－AIntegersandrationalnumbers有一些R的子集很著名，因为他们具有实数所不具备的特殊性质。在本节我们将讨论这样的子集，整数集和有理数集。3Tointroducethepositiveintegerswebeginwiththenumber1,whoseexistenceisguaranteedbyAxiom4.Thenumber1+1isdenotedby2,thenumber2+1by3,andsoon.Thenumbers1,2,3,,obtainedinthiswaybyrepeatedadditionof1areallpositive,andtheyarecalledthepositiveintegers.我们从数字1开始介绍正整数，公理4保证了1的存在性。1+1用2表示，2+1用3表示，以此类推，由1重复累加的方式得到的数字1,2,3，都是正的，它们被叫做正整数。4Strictlyspeaking,thisdescriptionofthepositiveintegersisnotentirelycompletebecausewehavenotexplainedindetailwhatwemeanbytheexpressions“andsoon严格地说，这种关于正整数的描述是不完整的，因为我们没有详细解释“等等”或者“重复累加”的含义。”,or1的“repeatedaddition5Althoughtheintuitivemeaningofexpressionsmayseemclear,incarefultreatmentofthereal-numbersystemitisnecessarytogiveamoreprecisedefinitionofthepositiveintegers.Therearemanywaystodothis.Oneconvenientmethodistointroducefirstthenotionofaninductiveset.虽然这些说法的直观意思似乎是清楚的，但是在认真处理实数系统时必须给出一个更准确的关于正整数的定义。有很多种方式来给出这个定义，一个简便的方法是先引进归纳集的概念。6DEFINITIONOFANINDUCTIVESET.Asetofrealnumbersiscalledaninductivesetifithasthefollowingtwoproperties:Thenumber1isintheset.Foreveryxintheset,thenumberx+1isalsointheset.Forexample,Risaninductiveset.Soistheset.Nowweshalldefinethepositiveintegerstobethoserealnumberswhichbelongtoeveryinductiveset.现在我们来定义正整数，就是属于每一个归纳集的实数。7LetPdenotethesetofallpositiveintegers.ThenPisitselfaninductivesetbecause(a)itcontains1,and(b)itcontainsx+1wheneveritcontainsx.SincethemembersofPbelongtoeveryinductiveset,werefertoPasthesmallestinductiveset.用P表示所有正整数的集合。那么P本身是一个归纳集，因为其中含x就包含x+1,满足(b)。由于P中的元素属于每一个归纳集，因此1，满足(a)；只要包含P是最小的归纳集。8ThispropertyofPformsthelogicalbasisforatypeofreasoningthatmathematicianscallproofbyinduction,adetaileddiscussionofwhichisgiveninPart4ofthisintroduction.P的这种性质形成了一种推理的逻辑基础，数学家称之为归纳证明，在介绍的第四部分将给出这种方法的详细论述。9Thenegativesofthepositiveintegersarecalledthenegativeintegers.Thepositiveintegers,togetherwiththenegativeintegersand0(zero),formasetZwhichwecallsimplythesetofintegers.正整数的相反数被叫做负整数。正整数，负整数和零构成了一个集合10Z，简称为整数集。Inathoroughtreatmentofthereal-numbersystem,itwouldbenecessaryatthisstagetoprovecertaintheoremsaboutintegers.Forexample,thesum,difference,orproductoftwointegersisaninteger,butthequotientoftwointegersneednottoneaninteger.However,weshallnotenterintothedetailsofsuchproofs.在实数系统中，为了周密性，此时有必要证明一些整数的定理。例如，两个整数的和、差和积仍是整数，但是商不一定是整数。然而还不能给出证明的细节。11Quotientsofintegersa/b(whereb≠0)arecalledrationalnumbers.Thesetofrationalnumbers,denotedbyQ,containsZasasubset.ThereadershouldrealizethatallthefieldaxiomsandtheorderaxiomsaresatisfiedbyQ.Forthisreason,wesaythatthesetofrationalnumbersisanorderedfield.RealnumbersthatarenotinQarecalledirrational.整数a与b的商被叫做有理数，有理数集用Q表示，Z是足所有的域公理和序公理。因此说有理数集是一个有序的域。Q的子集。读者应该认识到Q不是有理数的实数被称为无理满数。12Thereaderisundoubtedlyfamiliarwiththegeometricinterpretationofrealnumbersbymeansofpointsonastraightline.Apointisselectedtorepresent0andanother,totherightof0,torepresent1,asillustratedinFigure2-4-1.Thischoicedeterminesthescale.4－BGeometricinterpretationofrealnumbersaspointsonaline毫无疑问，读者都熟悉通过在直线上描点的方式表示实数的几何意义。如图2-4-1所示，选择一个点表示0，在0右边的另一个点表示1。这种做法决定了刻度。13IfoneadoptsanappropriatesetofaxiomsforEuclideangeometry,theneachrealnumbercorrespondstoexactlyonepointonthislineand,conversely,eachpointonthelinecorrespondstooneandonlyonerealnumber.如果采用欧式几何公理中一个恰当的集合，那么每一个实数刚好对应直线上的一个点，反之，直线上的每一个点也对应且只对应一个实数。14Forthisreasonthelineisoftencalledthereallineortherealaxis,anditiscustomarytousethewordsrealnumberandpointinterchangeably.Thusweoftenspeakofthepointxratherthanthepointcorrespondingtotherealnumber.为此直线通常被叫做实直线或者实轴，习惯上使用“实数”这个单词，而不是“点”。因此我们经常说点x不是指与实数对应的那个点。15Thisdeviceforrepresentingrealnumbersgeometricallyisaveryworthwhileaidthathelpsustodiscoverandunderstandbettercertainpropertiesofrealnumbers.However,thereadershouldrealizethatallpropertiesofrealnumbersthataretobeacceptedastheoremsmustbededuciblefromtheaxiomswithoutanyreferencestogeometry.这种几何化的表示实数的方法是非常值得推崇的，它有助于帮助我们发现和理解实数的某些性质。然而，读者应该认识到，拟被采用作为定理的所有关于实数的性质都必须不借助于几何就能从公理推出。16Thisdoesnotmeanthatoneshouldnotmakeuseofgeometryinstudyingpropertiesofrealnumbers.Onthecontrary,thegeometryoftensuggeststhemethodofproofofaparticulartheorem,andsometimesageometricargumentismoreilluminatingthanapurelyanalyticproof(onedependingentirelyontheaxiomsfortherealnumbers).这并不意味着研究实数的性质时不会应用到几何。相反，几何经常会为证明一些定理提供思路，有时几何讨论比纯分析式的证明更清楚。17Inthisbook,geometricargumentsareusedtoalargeextenttohelpmotivateorclarityaparticulardiscuss.Nevertheless,theproofsofalltheimportanttheoremsarepresentedinanalyticform.在本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 中，几何在很大程度上被用于激发或者阐明一些特殊的讨论。证明必须以分析的形式给出。不过，所有重要定理的3NewWords&Expressions:polygonal多边形的parabolic抛物线的theunitdistance单位长度circularregionscoordinateaxistheorigin坐标原点圆域坐标轴horizontal水平的perpendicular互相垂直的，垂线anorderedpair一个有序对coordinatesystemvertical竖直的abscissa横坐标坐标系quadrantintersect象限相交ordinate纵坐标thetheoremofPythagoras勾股定理2.5basicconceptsofCartesiangeometry4Asmentionedearlier,oneoftheapplicationsoftheintegralisthecalculationofarea.Ordinarily,wedonottalkaboutareabyitself,instead,wetalkabouttheareaofsomething.Thismeansthatwehavecertainobjects(polygonalregions,circularregions,parabolicsegmentsetc.)whoseareaswewishtomeasure.Ifwehopetoarriveatatreatmentofareathatwillenableustodealwithmanydifferentkindsofobjects,wemustfirstfindaneffectivewaytodescribetheseobjects.就像前面提到的，积分的一个应用就是面积的计算，通常我们不讨论面积本身，相反，是讨论某事物的面积。这意味着我们有些想测量的面积的对象（多边形区域，圆域，抛物线弓形等），如果我们希望获得面积的计算方法以便能够用它来处理各种不同类型的图形，我们就必须首先找出表述这些对象的有效方法。5-AthecoordinatesystemofCartesiangeometry5Themostprimitivewayofdoingthisisbydrawingfigures,aswasdonebytheancientGreeks.AmuchbetterwaywassuggestedbyReneDescartes,whointroducedthesubjectofanalyticgeometry(alsoknownasCartesiangeometry).Descartes’ideawastorepresentgeometricpointsbynumbers.Theprocedureforpointsinaplaneisthis：描述对象最基本的方法是画图，就像古希腊人做的那样。R笛卡儿提出了一种比较好的方法，并建立了解析几何（也称为笛卡儿几何）这门学科。笛卡儿的思想就是用数来表示几何点，在平面上找点的过程如下：5-AthecoordinatesystemofCartesiangeometry6Twoperpendicularreferencelines(calledcoordinateaxes)arechosen,onehorizontal(calledthe“x-axis”),theothervertical(the-axis”).Their“ypointofintersectiondenotedbyO,iscalledtheorigin.Onthex-axisaconvenientpointischosentotherightofOanditsdistancefromOiscalledtheunitdistance.VerticaldistancesalongtheY-axisareusuallymeasuredwiththesameunitdistance,althoughsometimesitisconvenienttouseadifferentscaleonthey-axis.Noweachpointintheplane(sometimescalledthexy-plane)isassignedapairofnumbers,calleditscoordinates.Thesenumberstellushowtolocatethepoints.选两条互相垂直的参考线（称为坐标轴），一条水平（称为x轴），另一条竖直（称为y轴）。他们的交点记为O,称为原点。在x轴上，原点的右侧选择一个合适的点，该点与原点之间的距离称为单位长度，沿着y轴的垂直距离通常用同样的单位长度来测量，虽然有时候采用不同的尺度比较方便。现在平面上的每一个点都分配了一对数，称为坐标。这些数告诉我们如何定义一个点。5-AthecoordinatesystemofCartesiangeometry7Ageometricfigure,suchasacurveintheplane,isacollectionofpointssatisfyingoneormorespecialconditions.Bytranslatingtheseconditionsintoexpressions,,involvingthecoordinatesxandy,weobtainoneormoreequationswhichcharacterizethefigureinquestion,forexample,consideracircleofradiusrwithits