PAGE高中数学“反客为主”巧解题有一些数学题，题中涉及到若干个量，其中有常量、也有变量，同学们在解答时，由于思维定势，不太习惯把其中的常量暂视为变量、而把其中的变量暂视为常量的做法，结果求解过程异常复杂甚至难以解出。其实，常量与变量是相对的，是辩证统一的关系，如果根据需要，将它们的地位调换，即“反客为主”，常常使许多难题巧妙获解，下面举例说明：一.“反客为主”解高次方程【例1】解方程简析：这是一个关于x的一元三次方程，若采取因式分解法求解，一时真不知道如何分解；若利用三次方程的求根公式来求解，显然十分繁琐，况且考纲也没有要求中学生掌握三次方程的求根公式。怎么办？我们仔细观察原方程的系数，发现与2累次出现，如果把用a
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示，则原方程就是x3－2ax2＋a2x－a＋1＝0由于x不为0，此方程可整理成关于a的一元二次方程：xa2－（2x2＋1）a＋（x3＋1）＝0。利用二次方程求根公式不难解得a＝x＋1或a＝x－1＋，于是有＝x＋1或＝x－1＋，从而可求出原方程的根为：，。（解答略）注：①将一个高次方程中累次出现的系数与k分别用a与a2来表示，再转化为解关于a的一元二次方程，这种“反客为主”的求解法，体现了化归的数学思想，也说明了常量与变量的辩证统一的关系，同学们要细心领会并掌握它。②请同学们仿例，解方程。二.“反客为主”解方程组【例2】解关于x、y、z、ω的方程组简析：本题若采取常规消元法求解，无疑十分麻烦。仔细观察原方程，不难发现这四个方程形式一致，即可视a、b、c、d是关于t的一元四次方程t4－t3－zt2－yt－x＝0的四个根。由韦达定理：a＋b＋c＋d＝，ab＋ac＋ad＋bc＋bd＋cd＝－z，abc＋abd＋acd＋bcd＝y，abcd＝－x。从而可得原方程组的解为（x，y，z，）＝（－abcd,abc＋abd＋acd＋bcd，－ab－ac－ad－bc－bd－cd，a＋b＋c＋d）。（解答略）注：①本题告诉我们，未知数与已知数在一定条件下是可相互转化的，这就是辩证法。②由本题的简析可知，本题可推广到一般情形，请同学们自己完成。三.“反客为主”求值域【例3】设a∈R，f（x）＝ax2＋x－a（－1≤x≤1），若≤1，求函数f（x）的值域。简析：将f（x）视为x的二次函数来求解，难度较大，若将f（x）视为a的一次函数，即令g（a）＝（x2－1）a＋x，则问题转化为求函数g（a）在[－1，1]上的值域。这样处理也许容易一些，不妨一试。解：当x＝±1时，显然，下设－1＜x＜1。因为，关于a的一次函数g（a）＝（x2－1）a＋x在a∈[－1,1]上单调递减，所以g（1）≤g（a）≤g（－1）。又g（1）＝（x＋）2－≥，g（－1）＝－（x－）2＋，即，故所求的函数f（x）的值域为[－]。注：本题变更主元，将一个难处理的二次函数f（x）视为一次函数g（a），根据这个一次函数g（a）在[－1，1]上单调递减性，很容易地解决了问题，足见“反客为主”这一数学
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
的威力。四.“反客为主”定
参数
转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应
【例4】设a为正整数，且关于x的二次方程ax2＋2（2a－1）x＋4（a－3）＝0至少有一个整数根，试确定参数a的值。简析：若针对x的二次方程用求根公式，再对判别式讨论，异常复杂。如果变更主元，从原方程解出参数a，再由a≥1,这样处理可以一试。解：设x0是原方程的一个整数根，若视a为主元，则原方程可化为a＝。由a为正整数知，，解得：－4≤x0≤2且x0≠－2。从而x0只可能取－4、－3、－1、0、1、2，逐一代入a的表达式中，可得a的取值为1、6、10、3、、1。故满足条件的所有整数a的值共四个：1、3、6、10。注：设a为整数，且关于x的二次方程ax2＋2（a－3）x＋（a－2）＝0至少有一个整数根，试确定参数a的值。（
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：2，－4，－10）五.“反客为主”证不等式【例5】已知a∈R且0＜a＜1，求证；对任意的x≠0，都有不等式2lg恒成立。简析：若令2x＝t（t＞0，t≠1），则问题转化为证明，即证明（a2－3a）t4＋2at3＋（2a－2）t2＋2t－2＜0（*）上述（*）是关于变量t的四次不等式，再证下去，思维受阻，怎么办？我们重新审视（*），（*）中有两个变元，主元是t，参元是a,t的最高次数是4，而a的最高次数是2，何不把这个关于t的四次式视为关于a的二次式呢？即令g（a）＝t4a2－（3t4－2t3－2t2）a－2（t2－t＋1），a∈（0，1），从而转证g（a）＜0，也许能柳暗花明，不妨一试。证明：因为，关于a的二次函数g（a）＝t4a2－（3t4－2t3－2t2）a－2（t2－t＋1）是开口向上的抛物线，又g（0）＝－2（t2－t＋1）＜0，且g（1）＝－2（t－1）2（t2＋t＋1）＜0，故g（a）在（0，1）上恒为负，即g（a）＜0在（0，1）上恒成立，这就证明了（*）成立，故原不等式成立。注：本题变更（*）中主元，将一个难以求证的四次不等式转化为一个较容易讨论的二次不等式，借助二次函数g（a）的图象成功获解，再次说明“反客为主”的数学方法的重要性，希望同学们对这一数学方法引起重视。
浙公网安备 33021202002483