◇辅助线构造相似和特殊四边形√

构造相似和特殊四边形构造相似和特殊四边形一、构造相似三角形：通过构造相似三角形，应用相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，达到求证（解）的目的。典型例题：例1.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【】A.(63)米米B.12(4C.23)米．10D米例2.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=．例3.已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．1/11构造相似和特殊四边形2例4.如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若3EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为．1例5.如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，2HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为．二、构造特殊四边形：通过构造平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形，应用它们边、角、对角线、中位线的性质，达到求证（解）的目的。典型例题：例1.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【】A．32B．26C．25D．23例2.如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如1果BDAB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为【】41313A.B.C.D.4554例3.如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S、S、S、S，给出如下结论：1234①S+S=S+S②S+S=S+S12342413③若S=2，则SS=2S④若S=S，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的314212序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）.例4.如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G。（1）求证：AF＝DF；（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的长。2/11构造相似和特殊四边形例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。求证：AE=AF。例6.如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.（1）求证：△AND≌△CBM.（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.例7.已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．3/11构造相似和特殊四边形构造相似和特殊四边形一、构造相似三角形：通过构造相似三角形，应用相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，达到求证（解）的目的。典型例题：例1.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【】A.(63)米米B.12(4C.23)米．10D米【分析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=4cos30°=23，在Rt△CED中，CE=2，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。∴BD=BF+EF+ED=12+23。∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，11∴在Rt△ABD中，AB=BD=12+236+3。故选A。22例2.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=．【分析】连接EC，AC、EF相交于点O。∵AC的垂直平分线EF，∴AE=EC。∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。AOOE∴△AOE∽△COF。∴。OCOF∵OA=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。5在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得：CE=。2∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=25，∴CO=5。55∵在Rt△CEO中，CO=5，CE=，由勾股定理得：EO=。∴EF=2EO=5。22例3.已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．4/11构造相似和特殊四边形解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t=23，t=－23（舍去）．12∴点P的坐标为（23，6）。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。OBBP又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴。PCCQ由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m．6t111∴。∴mt2t6（0＜t＜11）。11t6m66111311+13（Ⅲ）点P的坐标为（，6）或（，6）。331例5.如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC与NM的2延长线交于点P，则tan∠NPH的值为．1122【分析】∵CM＝DM，HN＝2NE，∴CM＝CD，HN＝HE＝CD，2333PCCM1又∵△PCM∽△PHN，∴，即PH＝2CH＝2CD。PHHN2HN1∴tan∠NPH＝。PH3二、构造特殊四边形：通过构造平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形，应用它们边、角、对角线、中位线的性质，达到求证（解）的目的。典型例题：例1.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【】A．32B．26C．25D．23【分析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N。∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形。∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM。∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。∴NG=NM。∵E是AD的中点，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM。111∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM。∴BN=NF。∴NM=CF=。∴NG=。22215∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣。∴BF=2BN=522∴BCBF2CF2521226。故选B。例2.如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动5/11构造相似和特殊四边形点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB1的同侧），如果BDAB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为【】41313A.B.C.D.4554【分析】过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，PE。∵APBE，∴四边形APEB是平行四边形。∴PEAB。，∵四边形BDEF是平行四边形，∴EFBD。∴EF∥AB。∴P，E，F共线。设BD=a，1∵BDAB，∴PE=AB=4a。∴PF=PE﹣EF=3a。4∵PH∥BC，∴S=S。△HBC△PBC∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形。∴BH=PF=3a。∵S：S=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S：S=3：4。故选D。△HBC△ABC△PBC△ABC例3.如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S、S、S、S，给出如下结论：1234①S+S=S+S②S+S=S+S12342413③若S=2S，则S=2S④若S=S，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的314212序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）.【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，∴此时两三角形的高的和为AB，1∴S+S=S；132矩形ABCD1同理可得出S+S=S。242矩形ABCD∴②S+S=S+S正确，则①S+S=S+S错误。24131234若S=2S，只能得出△APD与△PBC高度之比，S不一定等于2S；故结论③错误。314211如图，若S=S，则×PF×AD=×PE×AB，1222∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE=AB：AD。∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。∴PF：CD=PE：BC=AP：AC，即PF：CD=AF：AD=AP：AC。∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。故结论④正确。综上所述，结论②和④正确。例4.如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G。（1）求证：AF＝DF；（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的长。解：（1）证明：如图1，连接BD、AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD。6/11构造相似和特殊四边形∵DE＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE。∴四边形ABDE是平行四边形。∴AF＝DF。（2）如图2，在BC上截取BN＝AB＝1，连接AN，∵∠ABC＝60°，∴△ANB是等边三角形。∴AN＝1＝BN，∠ANB＝∠BAN＝60°。∵BC＝2AB＝2，∴CN＝1＝AN。1∴∠ACN＝∠CAN＝×60°＝30°。2∴∠BAC＝90°。由勾股定理得：AC＝22－12＝3。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。BGABAG1AG3∴△AGB∽△CGE。∴＝＝。∴＝，解得AG＝。GECECG1＋13－AG3323在△BGA中，由勾股定理得：BG＝12＋2＝。33BG1434323∵＝，∴GE＝，BE＝＋＝23。GE23331233∵四边形ABDE是平行四边形，∴BF＝BE＝3。∴FG＝3－＝。233例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。求证：AE=AF。证明：连接CE。∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。∴AE=AF。例6.如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.（1）求证：△AND≌△CBM.（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。∴∠DAC=∠BCA。又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。∴△AND≌△CBM（ASA）。（2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，∴FN=EM。又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。四边形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900，∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。（3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。设DN=x，则由S=S＋S得△ADC△AND△NAC7/11构造相似和特殊四边形333＋x5x=12，解得x=，即DN=BM=。22过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。在△NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=10。∵PQ∥MN，DC∥AB，∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ=NM=10。又∵PQ=CQ，∴CQ=10。在△CBQ中，CQ=10，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。131∴NP=MQ=。∴PC=4－－=2。222例7.已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．1解：（1）证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD。2又∵AD∥DC，∴四边形AECD为平行四边形。∴AE∥DC。∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。∴△AOE∽△COF。（2）证明：连接DE，∵AD平行且等于BE，∴四边形ABED是平行四边形，又∠ABE=90°，∴四边形ABED是矩形。11∴GE=GA=GB=GD=BD=AE。22∵E、F分别是BC、CD的中点，∴EF、GE是△CBD的两条中线。11∴EF=BD=GD，GE=CD=DF。22又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF。∴四边形EFDG是菱形。8/11构造相似和特殊四边形配套练习练习题1：1.如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB．CD相交于点O，B．D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．（1）求证：AC∥BD；（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）2.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点B作BG⊥AE，垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF=．3.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为【】A.3:12:1B.C.5:3不确定D.4.如图，△ABC的面积为63，D是BC上的一点，且BD∶CD＝2∶1，DE∥AC交AB于点E，延长DE到F，使FE∶ED＝2∶1，则△CDF的面积为．5.有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图。将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为.6.如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，则AE的长是。7.一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的9/11构造相似和特殊四边形测量对象，测量 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 如下：①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米．根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米）8.如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长1线上，且∠CBF=∠CAB．2（1）求证：直线BF是⊙O的切线；5（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．5练习题2：1.如图，Rt△ABC中，C=90o，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．10/11构造相似和特殊四边形2.已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【】302A．25B．50C．252D．43.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90º，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，则CD＝cm．4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC的长为.5.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．（1）证明：EF=CF；1（2）当tanADE时，求EF的长．36.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于点O，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F为垂足．设DC=m，AB=n．(1)求证：△ACB≌△BDA；(2)求四边形DEFC的周长．11/11