(完整word版)微积分作业(应用题6题)(1)

应用题：1.设生产某种产品x个单位时的成本函数为C(x)=1000.25x26x(万元) 求:(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本;(2)当生量x为多少时,平均成本最小?解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：C（X）=1000.25X26X  c(X)=X100​0.25X6,,C′ (X)=0.5X6所以C(10)=1000.25×1026×10=185c(10)=10100​0.25×106=18.5C′(10)=0.5×106=11(2)令C′=－X2100​0.25=0,得X=20(X=－20舍去)因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小.2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q为需求量,p为价格).试求:(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?解：（1）成本函数C（q）=60q2000因为q=1000－10p,即p=100－101​q所以收入函数R（q）=p×q=(100－101​q)q=100q－101​q2（2）因为利润函数L(q)=R(q)－C(q)=(100q－101​q2－(60q2000) =40q－101​q2－2000且L′(q)=(40q－101​q2－2000)’=40－0.2q令L′(q)=0,即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点.所以,q=200是利润函数L（q）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数q=2000-4p,其中p为价格,q为产量,这种产品在市场上是畅销的试求:(1)价格为多少时利润最大? (2)最大利润是多少?1、解：（1）C（p）=50000100q=50000100(2000－4p)=250000－400pR(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2利润函数L（p）=R(p)－C(p)=2400P－4p2－250000,且令L′(p)=2400－8p=0得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。（2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)4.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=204q0.01q2(元),单位销售价格为p=14-0.01q(元/件),试求:2、解：（1）C（p）=50000100q=50000100(2000－4p)=250000－400pR(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2利润函数L（p）=R(p)－C(p)=2400P－4p2－250000,且令L′(p)=2400－8p=0得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。（2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)(1)产量为多少时可使利润达到最大? (2)最大利润是多少?5.某厂每天生产某产品q件的成本函数为C(q)=0.5q236q9800(元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?6.已知某厂生产q件产品的成本为C(q)=25020q10q2​(万元).要使平均成本最少,应生产多少件产品?答案：3、解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：C（X）=1000.25X26Xc(X)=X100​0.25X6,,C′(X)=0.5X6所以,C(10)=1000.25×1026×10=185c(10)=10100​0.25×106=18.5C′(10)=0.5×106=11(2)令C′=－X2100​0.25=0,得X=20(X=－20舍去)因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小.4、解：（1）成本函数C（q）=60q2000因为q=1000－10p,即p=100－101​q所以收入函数R（q）=p×q=(100－101​q)q=100q－101​q2（2）因为利润函数L(q)=R(q)－C(q)=(100q－101​q2－(60q2000)=40q－101​q2－2000且L′(q)=(40q－101​q2－2000)’=40－0.2q令L′(q)=0,即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点.所以,q=200是利润函数L（q）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。5、解：（1）C（p）=50000100q=50000100(2000－4p)=250000－400pR(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2利润函数L（p）=R(p)－C(p)=2400P－4p2－250000,且令L′(p)=2400－8p=0得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。（2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)4、解：（1）由已知R=qp=q(14－0.04q)=14q－0.01q2利润函数L=R－C=14q－0.01q2－20－40q－0.01q2=10q－20－0.02q2则L′=100－0.04q,令L′=10－0.04q=0，解出唯一驻点q=250因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大。（2）最大利润为L（250）=100×250－20－0.02×2502=2500－20－1250=1230（元）5、解：因为C(q)=qC(q)​=0.5q36q9800​(q>0)C′(q)=(0.5q36q9800​)’=0.5-q29800​令C′(q)=0，即0.5－q29800​=0，q1=140,q2=－140得 （舍去）。q1=140是C′(q)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值。所以q1=140是平均成本函数C(q)的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量成为140件，此时的平均成本为C(140)=0.5×140361409800​=176(元/件)6、解：（1）因为C(q)=qC(q)​=q250​20q0q​C′(q)=（q250​2010q​）’=－q2250​101​令C′(q)=0，即－q2250​101​=0，得q1=50，q2=－50（舍去）。q1=50是C(q)其定义域内的唯一驻点。所以，q1=50是C(q)最小值点，即要使平均成最小，应生产50件产品。