医用高等数学全册完整教学课件

医用高等数学全册完整教学课件第一章函数极限研究的主要对象研究的基础和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 函数与极限函数是变量之间相互联系、相互制约关系的抽象 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，是事物运动、变化及相互影响的复杂关系在数量方面的反映；极限刻画了变量的变化趋势，是研究函数的重要方法．本章内容主要包括函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的主要性质．二、初等函数三、分段函数一、函数的概念第一节函数四、函数的几个简单性质一、函数的概念变量：在过程中可取不同数值的量。常量：在某过程中始终保持同一数值的量。例如：人的身高，在研究少儿发育成长的过程中是变量，而在研究成人的健康状况时通常认为是常量．注意：一个量究竟是常量还是变量，不是绝对的，要根据具体过程和具体条件来确定．函数概念的历史概念的是17世纪德国数学家莱布尼茨:“函数”一词表示幂，如1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家伯努利把函数定义为“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。”伯努利所强调的是函数要用公式函数概念的历史1755年瑞士数学家欧拉把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”。在欧拉的定义中，就不强调函数需要用公式表示了。他认为“函数是随意画出的一条曲线”。1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在者一定的关系，当一经给定某一变数的值，其他变数的值可随这而确定时，则将最初的表示叫自变量，其他各表示叫做函数。”函数概念的历史1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的的定义：“的函数是这样的一个数，它对于每一个都有确定的值，并且随着一起变化。函数可以由解析式给出，也可以由几个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”，这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以来求出每一个的对应值。1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数。”，这个定义抓住了概念的本质属性，因此，这个定义曾被比较长期的使用着。自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念竞赛现在课本里用的了。按照一定的规律定义域自变量因变量记为因变量与自变量之间的对应规律称为函数关系;所有函数值的集合称为函数的值域。与自变量的值相对应的因变量的值称为函数值;定义1-1设是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量的每一个允许的取值，变量总有一个确定的值与之对应，在实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中的定义域是由实际问题的实际意义决定的。(2)定义域：(3)对应规律的表示方法:公式法、图像法、列表法。使表达式或实际问题有意义的自变量集合.(1)函数的两个要素：定义域和对应规律.注意：例1－1在出生后1～6个月期间内，正常婴儿的体重近似满足以下关系式：公式法例1－2监护仪自动记录了某患者一段时间内体温的变化曲线，如下图（图像法）所示．例1－3某地区统计了某年1～12月中当地流行性出血热的发病率，见表1-1（表格法）．t（月份）123456789101112Y（‰）16.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.0二、函数的几种简单特性1．有界性设函数在区间内有定义，如果存在一个正数，使对所有的，恒有，则称函数在内是有界的．如果不存在这样的正数，则称在内是无界的．例如：在（一∞，+∞）内是有界的；在（1，+∞）内是有界的，但在（o，1）内是无界的．2．单调性设是函数的定义区间内的任意两点，且．若，则称在内是单调递增的；若，则称在内是单调递减的．增函数减函数例如：在（一∞，＋∞）内是单调递增的；在（－∞，０）内是单调递减的，而在（0，＋∞）内是单调递增的．3．奇偶性如果对于函数定义域内的任意点，恒有，则称是偶函数；如果对于函数定义域内的任意点，恒有，则称为奇函数．偶函数的图像是关于轴对称的，而奇函数的图像是关于坐标原点对称的．偶函数奇函数例如：都是偶函数；而都是奇函数．4．周期性对于函数，如果存在正的常数，使得恒成立，则称为周期函数，满足这个等式的最小正数，称为函数的周期．例如：都是周期函数，周期为也都是周期函数，周期为周期为周期为(5).反函数（inversefunction）的反函数记成,其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,指数函数反三角函数讲解三、初等函数1．基本初等函数（1）常数函数（为任意实数），（2）幂函数（为任意实数），（3）指数函数（4）对数函数（5）三角函数（6）反三角函数等。三角函数中常用公式和差化积公式：积化和差公式注：在后面的极限及微积分计算中可能会用到。2、复合函数定义1-2设变量是变量的函数，变量又是变量的函数，即如果变量的某些值通过变量可以确定变量的值，则称是的复合函数，记为变量称为中间变量。复合函数的概念可以推广到由多个函数，通过多个中间变量传递而构成的情形。例1－4试通过，求关于的复合函数．解：自变量、中间变量依次代入得例1－5设试求：解：如果由两个函数复合而成的函数的定义域为空集，则此复合函数无意义（或称它们不能复合）．例如，由，复合而成的函数因，其定义域为空集，即函数无意义．在后面的很多计算问题中，往往需要把复合函数的中间变量找出来，把它“分解”为若干个基本初等函数或由它们通过四则运算而得到的简单函数形式，以便于利用公式进行计算．例1－6将下列复合函数“分解”为简单函数：解:练习将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数解(1)最外层是二次方，即次外层是正弦，即从外向里第三层是幂函数最里层是多项式，即所以，分解得最外层是对数，即次外层是正切，即从外向里第三层是指数函数，即最里层是简单函数，即所以，分解得3．初等函数定义1-2由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数.初等函数？四、分段函数对于其定义域内自变量不同的值，要用两个或两个以上解析式表示的函数称为分段函数。例1－8设求：解：称为符号函数.例1-9函数绝对值函数函数图像主要内容１.常量　变量函数的概念　２.基本初等函数复合函数分段函数初等函数３.函数的性质：有界性　单调性　奇偶性　周期性作业：思考与练习1（1,3）3.4.反三角函数(1)什么样的函数有反函数?一一对应函数有反函数没有,因为他不是一一对应函数(2)互为反函数图象之间有什么关系关于直线y=x对称(4)正弦函数y=sinx在上有反函数吗？(3)正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?余弦函数y=cosx在[0，π]上有反函数吗？正切函数y=tanx在上有反函数吗？1-1正弦函数有反函数吗？没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应许多角。正弦函数有反函数吗？正弦函数有反函数吗？有,因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。一、反正弦函数1、定义：正弦函数的反函数叫反正弦函数，记作(本义反函数)习惯记作(矫正反函数)理解和掌握符号（1）、表示一个角（2）、这个角的范围是（3）、这个角的正弦值是即2、反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]的图象与性质：(1)定义域:[-1，1]。(2)值域:(3)奇偶性:是奇函数，其图象关于坐标原点对称，(4)单调性:是增函数。例1、求下列各式的值：解：1-1没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应许多角。余弦函数有反函数吗？余弦函数有反函数吗？有,因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。二、反余弦函数1、定义：余弦函数的反函数叫反余弦函数，记作(本义反函数)习惯记作(矫正反函数)理解和掌握符号（1）、表示一个角（2）、这个角的范围是（3）、这个角的余弦值是即y=arccosx,x∈[-1，1]y∈[0，π]-112、反余弦函数y=arccosx,x∈[-1，1]的图象与性质(1)定义域：[-1，1]。(2)值域:[0，π]。(3)奇偶性:非奇非偶函数(4)单调性:是减函数。证明：证明：找错题没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应许多角。正弦函数有反函数吗？正弦函数有反函数吗？有,因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。三、反正切函数1、定义：正切函数的反函数叫反正切函数，记作(本义反函数)习惯记作(矫正反函数)理解和掌握符号（1）、表示一个角（2）、这个角的范围是（3）、这个角的正切值是即2、反正切函数y=arctanx,x∈R的图象与性质(1)定义域R(2)值域:(3)奇偶性:是奇函数arctan(-x)=-arctanx(x∈R)其图象关于坐标原点对称。(4)单调性:是增函数第一章一、极限的概念第二节极限的概念第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第二节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限定义1—4　当自变量的绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就称当趋于无穷大时，函数以为极限(或收敛于A)，记为或注意：和，当若时，函数不趋于某一个常数，此时我们就称时，函数的极限不存在（或称为发散）．例如函数时，它们的极限不存在（或发散）。解:(右图)所以01yxx单侧极限当自变量的变化沿轴正方向无限增大（或沿轴负方向绝对值无限增大）时，函数无限趋近于一个常数，则称为函数的单侧极限，记为或例1-10求当时的单侧极限.解：练习、当时，讨论函数的极限解：(右图)当时，当时，所以练习、当时，讨论函数的极限。解:(右图)当时，当时，所以x0yy前面的极限定义是用描述性语言,比较粗糙;(Ⅰ)考察函数y=x2，当x无限趋近于2时，函数的变化趋势(1)图象当x→x0时,函数f(x)的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限(2)列表从任何一方面看，当x→2时，函数y＝x2的极限是4．记作：强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2．邻域在极限定义的过程中，邻域是常用的一个概念．设是某一定点，是大于零的某实数，开区间（）称为点的邻域，点称为邻域的中心，称为邻域的半径．定义1—5　设函数在点的某邻域内有定义（点可以除外），当自变量以任意方式无限趋近于定点时，若函数无限趋近于一个常数，就称当趋近于时，函数以为极限(或收敛于A)，记为或如果当时，不趋近一个常数，则称当时，的极限不存在（或称为发散）．例如注:推论:左右极限不存在或左右极限存在不相等练习给定函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理.因为显然所以存在.3．数列的极限数列是按自然数顺序依次排列的一串数：数列中每一个数称为数列的项，其中称为第n项，也称为数列的通项．数列可简记为．以下给出几个数列的例子：数列实际上就是定义在正整数集上的函数：因此，考察当无限增大时数列的变化趋势，即数列的极限时，可类比函数当自变量时的情形．由此当无限增大时，若无限趋近于一个常数，则称当趋于无穷大时，以为极限(或收敛于A)，记为或当无限增大时，若不存在上述常数，则称当趋于无穷大时，数列极限不存在(或发散)。例如，对于上面4个数列，（1）、（2）的极限存在，和而（3）、（4）的极限不存在．对于（3）可记为4．判别极限存在的法则法则1（夹逼法则）若在同一极限过程中，三个函数及之间有如下关系：且则法则2：（单调有界原理）：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。第一章一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第二节极限运算法则一、极限的四则运算法则分别为A和B,即定理1.1.若注意:在自变量的同一变化过程中极限一、极限的四则运算法则分别为A和B,即定理1.1.若说明:可推广到有限个函数相乘,相加的情形.特别地(k为常数)推论1.(n为正整数)在自变量的同一变化过程中极限解2、求极限方法举例小结:解(消去零因子法)例3求解:原式解：原式又例:求解(无穷小因子分出法)结论（a0≠0，b0≠0，m,n>0).解：1）m=n,原式2）m>n,原式3）m 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.问复习回顾1.极限运算法则(1)极限四则运算法则(2)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量定理设函数y=f(u)及u=(x)构成复合函数y=f[(x)],在x0某个去心邻域,若且(x)l,则复合函数y=f[(x)]在xx0时的极限为二、复合函数的极限运算法则第二节两个重要极限第一章一、两个重要极限极限的直观理解(1)方法:(图像观察法)作函数图像(右图).从图像中可见:在x=0的附近(左右两侧),曲线几乎重合,即当时,sinx和x等价,其比值为1,故x0y1-10yx说明利用复合函数求极限的运算法则此结论可推广到说明利用复合函数求极限的运算法则此结论可推广到例2.求解:例3.求解:解:原式=说明（1）分子、分母含有三角函数且在自变量指定的变化趋势下是“”型。（3）注意三角函数有关公式的应用。一、两个重要极限极限的直观解释通过数值计算的方法来理解.通过取一系列|x|趋于无穷大的数值,观察值的变化情况（取）.从上表中可见:即当,即有函数的图像如下.利用变量替换和复合函数的极限运算法则说明:此极限也可写为例1.求解:令则说明：若利用则原式例2求解:则例3.求解一:解二说明2.两个重要极限或作业p29:12练习求解：原式其他几个重要极限:第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小无穷小与无穷大为一、无穷小（极限为0的量）定义1.若时,函数则称函数例如:函数为时的无穷小;函数时的无穷小;为时的无穷小量(dimensionless)，简称无穷小.一、无穷小（极限为0的量）定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量(dimensionless)，简称无穷小.2：无穷小必须指明x的趋向；当时就不是无穷小;为函数时的无穷小;一、无穷小（极限为0的量）定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量(dimensionless)，简称无穷小.注意:3:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为显然C只能是0!3:无穷小不是很小的数,除0外,所有的无穷小都是变量;根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证明无穷小量有如下性质：性质1有限个（相同类型的）无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。利用极限的四则运算得到两个无穷小的商仍为无穷小量吗？？根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证明无穷小量有如下性质：性质1有限个（相同类型的）无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。利用极限的四则运算得到无限个无穷小的和,积仍为无穷小量吗？？根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证明无穷小量有如下性质：性质1有限个无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。性质2有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。性质2：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。略证：其中(x)为时的无穷小量.定理1.2(无穷小与函数极限的关系)证:即为无穷小量对自变量的其它变化过程类似可证.附注：具有极限的函数可表示为极限与无穷小量的和反之,如果一个函数可表示为常数和无穷小量之和,则这个常数就是这个函数的极限;两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的.为了比较两个无穷小量趋于零的速度的快慢.我们引入了阶的概念；2．无穷小量的阶两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍定义.若则称是比高阶的无穷小,如：故有记作定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若或记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作若例如,～若或则称是的等价无穷小,记作时利用等价无穷小量来计算极限二、无穷大定义1.8.时为无穷大,记作无穷大量是一类没有极限的变量；三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:解商的法则不能用内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系第五节几点注意:（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.P28练习题1.2：4作业来了！两个重要极限极限的直观理解(1)方法一:(图像观察法)作函数图像(右图).从图像中可见:在x=0的附近(左右两侧),曲线几乎重合,即当时,sinx和x等价,其比值为1,故主页下页x0y1-1两个重要极限极限的直观理解(2)方法二:(数值计算法)通过取一系列x趋于0的数值,观察值的变化情况.从上表中可见:即当,即有上页下页两个重要极限极限的理论解释证明:因,所以考虑即可.如下图所示:根据面积的大小有:即:,又所以此函数的图像如下图.上页下页x0yABCxy0y=1两个重要极限极限的直观解释通过数值计算的方法来理解.通过取一系列|x|趋于无穷大的数值,观察值的变化情况（取）.从上表中可见:即当,即有上页下页两个重要极限极限理论解释证明:考虑数列的极限,可以证明此数列是单调有界数列,故极限存在,且同样可以证明:此函数的图像如下.上页主页xy0y=e1一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节导数的概念第二章一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为自由落体运动2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT割线MN的斜率切线MT的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比，当自变量增量趋于零时的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限变化率问题二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,运动质点的位置函数曲线在M点处的切线斜率不存在,若极限求导步骤注：记作:若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:在以上两式的极限过程中，x当成常量，Δx,h是变量就称函数在I内可导.导函数定义为：简称为导数例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数解:说明：对一般幂函数例如，例3.求函数的导数.解:则即类似可证得例4解:例5.求函数的导数.解:即三、导数的几何意义若切线与x轴垂直.切线方程:法线方程:几何意义：例7.问曲线，哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程，和法线方程解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即平行的法线方程分别为四、函数的可导性与连续性的关系定理1.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.右导数:左导数:五、单侧导数定理.函数在点且可导的充分必要条件是例8.分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.解内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?与导函数作业P341,3,4,5(2,3),6第二节*复习导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,*此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:在以上两式的极限过程中，x当成常量，Δx,h是变量导函数定义为：简称为导数*复习1.导数的实质:2.导数的几何意义:3可导必连续,但连续不一定可导;4.已学求导公式:5.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;增量比的极限;切线的斜率;*第二节二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题一、四则运算求导法则函数的求导法则*解决求导问题的思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容*一、四则运算求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且*推论:(C为常数)*例1.解:*推论:(C为常数)(3)最常用*例2.求证证:类似可证:*解函数的求导法则的练习*解法一法二在进行求导运算中且也能提高结果的准这样使求导过程简单,尽量先化简再求导,确性.*二、反函数的求导法则定理2.y的某邻域内单调可导,*例3.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得利用,则*在点x可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x可导,*例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.*解设y=sinuu=x2解设例4.**例6：*练习.设求解:练习设解:*作业P401，3第三节*四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数（36）*2.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数*内容小结求导公式及求导法则注意:1)2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.1.思考与练习对吗?*练习练习：解一、函数连续性的定义第二节函数的连续性第一章重点是:初等函数的连续性;可见,函数在点一、函数连续性的定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;对应函数的左右极限的定义，我们定义函数的左连续和右连续(单侧连续)可见,函数在点二、间断点(1)在点(2)极限(3)不连续不存在;无定义,不连续，而点则称函数f(x)在点称为f(x)的间断点.间断点类型：第一类间断点（左右极限存在，但是不连续）可去间断点，跳跃间断点第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）无穷间断点，振动间断点。自习解在其定义域内连续二、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,定理2.连续函数的复合函数是连续的.三、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)一元初等函数在其定义区间内连续，其图形是一条连续不断的曲线；四、用连续性求极限由对数函数的连续性；一、最值定理二、介值定理闭区间上连续函数的性质注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理1-3.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点,例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,二、介值定理定理1-4.(零点定理)至少有一点且使(证明略)推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界.推论.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值.例.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有内容小结内容小结左连续右连续函数的间断点，即为不连续点；作业：p18:5,8,9,10，11,13,15,17一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节导数的概念第二章一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为自由落体运动2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT割线MN的斜率切线MT的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比，当自变量增量趋于零时的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限变化率问题二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,运动质点的位置函数曲线在M点处的切线斜率不存在,若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就称函数在I内可导.的导数为无穷大.若极限不存在,若极限求导步骤若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:在以上两式的极限过程中，x当成常量，Δx,h是变量就称函数在I内可导.导函数定义为：简称为导数例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数解:说明：对一般幂函数例如，例3.求函数的导数.解:则即类似可证得例4解:例5.求函数的导数.解:即三、导数的几何意义若切线与x轴垂直.切线方程:法线方程:几何意义：例7.问曲线，哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程，和法线方程解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即平行的法线方程分别为四、函数的可导性与连续性的关系定理1.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.右导数:左导数:五、单侧导数定理.函数在点且可导的充分必要条件是例8.分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.解内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?与导函数作业P57:2,5(1),8,9,第二节*复习导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,*此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:在以上两式的极限过程中，x当成常量，Δx,h是变量导函数定义为：简称为导数*复习1.导数的实质:2.导数的几何意义:3可导必连续,但连续不一定可导;4.已学求导公式:5.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;增量比的极限;切线的斜率;*第二节二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题一、四则运算求导法则函数的求导法则*解决求导问题的思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容*一、四则运算求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且*推论:(C为常数)*例1.解:*推论:(C为常数)(3)最常用*例2.求证证:类似可证:*解函数的求导法则的练习*解法一法二在进行求导运算中且也能提高结果的准这样使求导过程简单,尽量先化简再求导,确性.*二、反函数的求导法则定理2.y的某邻域内单调可导,*例3.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得利用,则*在点x可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x可导,*例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.*解设y=sinuu=x2解设例4.**例6：*练习.设求解:练习设解:*作业P5811,12,13第三节*四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数（36）*2.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数*内容小结求导公式及求导法则注意:1)2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.1.思考与练习对吗?*练习练习：解*第二节一、高阶导数的概念七：高阶导数第二章*一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动*定义一、高阶导数的定义记作*三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,*例1解例2设求解:*例2.设求解:一般地,*类似可证:*二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼茨(Leibniz)公式*常用高阶导数公式*内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼茨公式高阶导数的求法如下列公式*作业：P5816,17,*初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数（36）*2.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数注意:1)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.*第四节四、隐函数的导数五、取对数求导法六、由参数方程确定的函数的导数隐函数和参数方程求导*显函数:因变量是由其自变量的某个算式来表示.比如：一、隐函数的导数例如,可确定y是x的函数,有些函数，它们自变量与因变量的对应法则是由一个方程所确定，若由方程可确定y是x的函数,函数为隐函数（implicitfunction）.则称此y是x的隐函数,**一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,例如,解得可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数（implicitfunction）.则称此y是x的隐函数。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化*一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则；直接对方程两边求导..函数为隐函数（implicitfunction）.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(注意y=y(x))*例1.解一:（显函数）求由方程的导数确定的函数*.求由方程的导数确定的函数例1解二:对上述恒等式两边关于x求导*例2.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数在隐函数求导时，最后结果中容许出现y*例3.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即*练习：*例4.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导*1)对幂指函数可用对数五、取对数求导法注意:求导法求导:*例5.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导*例如,两边取对数两边对x求导2.由若干个函数的积、商及方根组成的函数，也可以用取对数求导法求导。*又如,对x求导两边取对数*六、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,**作业P5813,14,22(1),(2)*内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法*4.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①*解5*备用题*1.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导,得故*解所求切线方程为*解**第三节函数的单调性与极值一、单调性的判别法二、函数的极值及其求法三、函数的最值*一、单调性的的充分条件定理*问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:二、单调区间求法*确定某个函数单调性的一般步骤是：（1）确定函数的定义域。这些点为分界点，将定义域分为若干个区间。（3）确定在各个子区间内的符号，从而判断*例2解**注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,*1、函数极值的定义三、函数的极值及其求法*定义:在其中当时,(1)(2)函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.三、函数的极值及其求法1、函数极值的定义*注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现1)函数的极值是函数的局部性质.极大值不一定大于极小值，反之也是在导数为0（驻点）或导数不存在的点.*定理1(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,*求极值的步骤:(不是极值点情形)*定理4(第二充分条件)证同理可证(2).*例2解*注意:*定理1(必要条件)定义注意:例如,*极值是一个局部概念，它一定出现在区间的内部，不可能在端点的位置；函数的极值不是唯一的极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值.极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小*四、函数的最值最值出现在：极值点，端点*步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个最大，就是最大值；那个最小就是最小值;极值点出现的地方*特别:最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)***(一)极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)四、小结*(三)注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.*二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用第三节一、微分的概念及几何意义函数的微分第二章*导数与微分一、导数的概念1.自变量的增量：2.函数的增量：3.导数的定义：描述函数变化快慢描述函数变化程度*一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部故当x在取变到边长由其*再如,既容易计算又是较好的近似值问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数(改变量的线性主要部分)？如果有，它是什么？如何求？*的微分,定义2.7:若函数(A为不依赖于△x的常数)则称函数记作即微分两个特性:2：微分与函数的改变量在点可微,*现在需解决的问题是：什么样的函数可微，微分怎样求，下面的定理解决这两个问题.*定理:函数证:“必要性”已知则故且在点处可导,且即*定理:函数在点处可导,且即“充分性”已知即则*定理:函数在点处可导,且即就是计算函数在该点的导数,并乘以自变量的改变量.上述定理也说明了一元函数可导与可微是等价的；计算函数在某点微分，*解*二：常用的结论与概念*导数也叫作微商按照微分的记法有按照微分的定义有*解　因为所以　　练习　求函数y=2lnx在x处的微分，并求当x=1时的微分(记作dy|x=1).*三、微分的几何意义MN）C:y=f(x)在M(x0,f(x0))的切线T：y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=f(x0)x=dy*p5923,24*三、微分公式与运算法则微分求法（1）:计算函数的导数,乘以自变量的微分.*1.基本初等函数的微分公式dc=三、微分的基本公式及其运算法则0.dx=x-1dx.dex=exdx.dax=axlnadx.dsinx=cosxdx.dcosx=-sinxdx.dtanx=sec2xdx.dcotx=-csc2xdx.dsecx=secxtanxdx.dcscx=-cscxcotxdx.**2.微分的四则运算定理2　设函数u、v可微，则d(uv)=dudvd(uv)=udv+vdu推论1　当v为常数c时，则d(cu)=cdu.*例3　设y=3ex–tanx，求dy.解dy=d(3ex)–dtanx=3dex–sec2xdx=3exdx–sec2xdx=(3ex–sec2x)dx.例4　设y=excosx，求dy.解dy=d(excosx)=exdcosx+cosxdex=ex(cosx-sinx)dx.*3.复合函数的微分　　定理3　设函数y=f(u)，u=(x)均可微，dy=f(u)(x)dx.则y=f((x))也可微，且*一阶微分形式不变性我们将微分的这一性质称为一阶微分形式不变性;利用一阶微分形式不变性可以方便的求出复合函数和隐函数的微分和导数。*例6*例求下列隐函数的微分和导数*内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可微可导2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)*作业：p5924*思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.*2.*5.设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求**四、导数和微分的应用第三节函数的微分第二章*四、导数与微分的应用1近似计算和误差估计2洛必塔法则3函数极值与最值.*1近似计算当很小时,使用原则:得近似等式:*的近似值.解:设取则例2.求***特别当很小时,常用近似公式:证明:令得*内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可微可导2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差*作业：P59,25