多孔介质流体动力学

多孔介质流体力学安全学院雷文杰多孔介质流体力学应用范围流体通过多孔介质的流动是多种工程及学科的分支，例如，地下水水文学、采油工程学、土坡学、土力学及化学工程学等等经常遇到的一个课题。地下水水文工作者所研究的含水层以及采油工程师所研究的储油层部用于多孔介质的范畴。下面对含水层、储油层及存在于它们之中的流体做一简要说明。岩石孔隙的几种类型地下水的分布潜水层、含水层潜水层：含有潜水面（浸润线、存在水压力为零的面）、毛细管带、中间带和土壤水带。含水层：含水层内部水压力大于零。大多数含水层由非固结或部分固结的砂砾石组成。石灰岩地层为主要含水层。火成岩可以构成含水层，玄武岩是较好的含水层。以岩脉、岩床和岩颈等形式出现的许多浅层浸入岩，不透水，可以作为地下水流的阻隔边界。含水层结晶岩和变质岩属于相对不透水层，出露地表时，由于破碎和分化，渗透性能增大。粘土及粘土与粗粒物质的混合物，孔隙率高，但由于孔隙小，为相对不透水层。含水层的类型含水层的性质导水：水力传导系数表示在水力梯度作用下含水层传导地下水的能力。导水系数T：在基本水平的渗流中，水力梯度为一个单位时，通过含水层厚度的单宽流量，计算方法为含水层的平均水力传导系数与含水层厚度之间的关系。含水层的性质贮水系数含水层的贮水系数表示存贮在含水层中的水量变化和相应的测压面(或无压含水层的潜水面)高度变化之间的关系。给水给水度是农田徘水和地下水水文学研究非饱和流动中经常使用的另一个概念。它定义为当潜水位下降一个单位时，从潜水面延至地面的单位水平面积的土拄中所排出的水量。持水潜水位下降比由于抵抗重力作用而保持在土体中的对应水量称为持水率。储油层储油层或储气层是一种在其孔隙中除含水以外至少还合有一种液相或气相碳氢化合物石油或天然气)的多孔地层。石油储层特征绝大多数可采油层是由砂岩、石灰岩和白云岩地层组成的。但实践表明，其它类型的岩石有时也能构成可采油层。在储油层内部，重力使比重较小的流体处于储泊构造的较高部位而毛细力则总是使湿润流体向含有非湿润流体的空隙中上升，其结果是抵消重力对流体分离的作用。一般说来，水相对于油和气是湿润流体，而油相对于气是湿润流体。多孔介质定义多孔介质占据一部分空间。多相中至少有一项不是固体，可以是气相或液相。固体是骨架。在多孔介质范围内没有骨架的那部分空间叫做空隙空间或孔隙空间。多孔介质所占据的范围内，固体相应遍及多孔介质。每个单元体内必须存在固体颗粒。多孔介质的一个基本特点是固体骨架的比面较大，这决定流体在多孔介质的性状；多孔介质的另一个特点是构成孔隙空间的空隙比较狭窄。构成孔隙空间的某些孔洞必须连通。有效连通的孔隙空间为有效孔隙空间，不连通的孔隙可以视为固体骨架部分。定义多孔介质另一方法就是要求有效孔隙空间内的任意两点可以用完全位于其中的曲线连接起来。而且，除特殊情形外，任意两点都可以用很多曲线连接起来，其中任何两条曲线之间都有一个最大距离。多孔介质定义多孔介质的连续介质方法分子水平与微观水平把流体处理为连续介质的基础乃是质点的概念。一个质点是包含在一个小体积中的许多分子的集合体。质点要比单个分子的平均自由程大得多，但和所考虑的流体的范围相比又足够小。这样，通过在质点中所包含的分子上取流体和流动的平均性质就能得到一些有意义的数值，即描写整体流体性质的数值；然后把这些数值与质点的某种质心联系起来。这样一来，在流体所占区域里的每一点上都存在着一个具有一定动力和运动性质的质点。孔隙率面孔隙率和线孔隙率流速与比流量总流量Vj——流速比流量流体的性质和多孔骨架的性质流体的密度p—T曲线的终点C称为体系的临界点。对于单组分体系，临界点定义为流体的两相(即液体和气体或蒸气)尚能共存的最大压力和温度。虚线围成的区域是两相共存区。实线表示等温线。始沸点及露点的定义。对于单组分体系，始沸点定义为这样一种状么：在此状态下物质完全处于液相，但在温度固定的条件下，压力的任何微小下降或体积的任何微小增加都会产生蒸气相，或者类似地，在压力和体积固定的条件下，温度的任何微小上升即产生蒸气相。对于单组分体系，露点定义为这样的状态：即在此状态下物质完全处于蒸气相，但当温度不变时，压力的任何微小增加或体积的任何微小减小均产生液相；或者类似地，在固定压力和体积的情况下，温度的任何微小下降即产生液相。流体的性质和多孔骨架的性质流体混合物流体的性质和多孔骨架的性质式中w为总重量，wi为混合物中第j种组分的重量，xi为第x种组分的克分子数，Mi足同一种组分的分子量。混合物中一种组分的体积(Ui)等于该组分的重量与其在常温常压下比容(vi)的乘积。所以，混合物的总体积(U)和重率分别为流体的粘滞性粘滞性：阻止流体变形的性质牛顿流体、牛顿粘滞定律牛顿粘滞定律：表示穿过y为常数的任一平面的x-动量流，即分子沿+y方向穿过该平面所携带的动量牛顿流体：服从牛顿粘滞定律的流体即为牛顿流体。所有气体及最简单的液体都是牛顿流体。非牛顿流体不服从牛顿粘滞定律的流体，即μ变化。Bingham塑性流体。切应力与切应变之间为直线关系，但是切应变为零时有屈服应力，即切应力必须超过屈服应力才发生流动。假塑性流体：切应力与切应变之间斜率逐渐减小，即μ随切应变增加而减小。涨流性流体：粘滞度随切应变增加而增加。非牛顿流体触变性流体。视钻度取决于剪切的时间和切变率。当流体自静止状态受剪时，从分子观点看它受到了破坏，但随着时间的增加，其结构格逐渐改善。倘若使其继续静止，流体就会慢慢集结起来，井最终恢复其原始稠度。流变性流体。在这种流体小，分子结构由剪切形成，其性状与触变性流体相反。压力和温度对动力粘度的影响流体的粘度随压力和温度而变化。对于绝大多数流体，温度对粘度的影响十分明显。但是在没有达到很高的压力之前，压力对粘度的影响却很小。对于温度为两倍临界温度的气体，当压力没有达到临界压力的数量级时，粘度随温度的变化十分微小。在温度不变的条什下，液体的粘度通常随压力的增大而增大。但水不遵循这条规则，当温度不变时，其粘度随压力的增大而减小。在大部分实际应用中，压力对液体粘度的影响可以忽略不计。流体的压缩系数压缩系数：当物质承受的法向应力或法向张力变化时其体积（和密度）变化的度量。等温条件下，压缩系数定义：流体的膨胀系数忽略溶质浓度的变化，流体密度依赖于压力和温度，等温条件下压缩系数的定义：多孔介质的统计方法粒径分布粒径的测量及其分布，测量方法有筛分法、重计分析法，前者适用粒径大于0.06mm，后者适用于小颗粒。有效粒径（Hazen粒径，d10）按重量计土中小于某一粒径者占土壤总量10％的那种颗粒直径。有效粒径系数（Cu）Cu=d60/d10级配系数（Cg）Cg=（d30）2/d60d10多孔介质的统计方法基本土质分类的土壤三角形孔径分布粒径不可确定，孔径分布非常重要。表示“孔隙大小”的一种方法是把多孔介质孔隙空间内一点处的孔隙直径定义为包含该点且完全位于其中的最大圆球的直径。这样，如果考虑孔隙空间每一点的孔隙直径，则孔隙分布可以通过确定因数来定义：孔隙直径δ包含该点且完全位于其中的最大圆球的直径；D（δ）为分布函数，Uv为孔隙体积，U为注入的非湿润流体的体积。多孔介质的统计方法一般说来，至少对于非固结物质，确定一给定试样的粒径分布要比确定其孔径分布容易。因此已经提出了几种根据粒径分布求孔径分布的方法。这些方法大都是基于颗粒的排列方式或对固结多孔介质的切片进行统计分析。其他分析方法：在引进多孔介质的线性随机函数的基础上。孔隙率、有效孔隙率孔隙率是多孔介质一种宏观性质。总孔隙率（绝对孔隙率）为所有孔隙的占的比例有效孔隙率ne定义为介质中相互连通的孔隙(即有效孔隙)的体积(Uv)θ与介质总体积之比，（Uv）ne为无效体积，即互不连通孔隙的体积。孔隙比（e）孔隙的体积与固体的体积之比。细小颗粒的数量对孔隙率有明显影响。固结物质的孔隙率主要取决于胶结程度，而非固结物质的孔隙率则依赖于颗粒的形状、粒径分布和颗粒的排列方式。孔隙率、结构和排列粒径分布对最终的孔隙率有明显地影响，因为小颗粒可以占据大颗粒之间的孔隙，从而使孔隙率减小。所以，当其它参数相同时，分选差的沉积物的孔隙率明显地小于分选好的沉积物的孔隙率。影响孔隙率的其它因素是压缩、固结和胶结。孔隙率孔隙率的测试方法测量固体骨架的体积并由求孔隙体积水银注入法观测比重瓶装满水银时以及装满水银和试验样品置换的水银的体积观测样品浸入流体时的失重压缩室测量孔隙体积的Washburn—Bunting孔隙计法气体膨胀法统计方法第三章压力与测压水头在本章中，我们主要讨论压力、应力和测压水头等概念。讨论首先要涉及到流体连续介质。多孔介质表征体元上的宏观平均值是通过平均其孔隙空间由流体的点值得到的，而这种平均值又被赋予了表征体元的质心。在流体连续介质的研究中，我们应当区分体力和面力。一点处的应力体力能在没有任何直接接触的条件下达到介质并作用于介质的整个体积，例如重力和离心力。面力包括周围的物体通过直接接触而作用于介质边界面的各种力。作用在流体任一体积上的外力是产生内应力（单位面积上的力）的条件。一点处的应力为了研究面力，考察物体界面上围绕P点的一个微小有限部分。如图示：把P点的法向应力和切应力定义如下：一点处的应力在下文中，将采用Z轴铅直向上的笛卡尔右手坐标系。为了区别各种应力，采用双下表格式。双下标的第一个下标代表应力所在平面的法线方向，第二个下标代表应力本身的方向。例如，表示作用方向与方向平行而作用面的外法线方向与方向平行的切应力的值。一点处的应力如图示，是法向应力，是切应力。一点处的应力考虑静止流体或流体作均匀运动时的情况。因为流体不能承受切应力，故静止流体一定完全不存在切应力。在均匀流体中，速度处处相等，因此根据牛顿粘滞定律，所有的切应力都必须等于零。如果假设体力仅为重力，则可以对一个微小的棱柱形的流体单元按三个方向实行力的平衡，然后逐步使该单元的尺寸缩小到零，得到此公式说明，对于静止的流体或均匀运动的流体，一点处的应力与方向无关，因而它是一个标量。一点处的应力在运动的粘滞流体中，要确定以给定点的应力，常采用图3.1.3所示的微小流体四面体。一点处的应力因为在图3.1.3中，平面ABC的倾角是任意的，所以可以利用正交参照平面上的九个分量求出所有平面上的应力。这意味着上式可以看成是把坐标系中一点的九个应力分量变换为其他任一个坐标系中的应力分量的一个表达式。能够以此种方式变换的物理量叫做二秩张量。因此，一点上的应力是二秩张量。一点处的应力习惯上把应力张量的九个分量写成如下形式：这些应力分量中具有相同下标的分量代表法向应力，而下标不相同的分量代表切向应力。一点处的应力在一般流体中，应力张量是对称的，即：二秩张量的一个特点是，对角线上分量的和与坐标轴定向无关。就这里所考虑的应力张量而言，张量的三分之一通常称为体应力：一点处的应力对于非粘滞性流体，一点上的所有法向应力都是相等的。因而，其中每一个法向应力都等于体应力。而且，对于此种流体，体应力的负值就等于热动力压力：应力张量总能写成一个和式：式中是Kronrcker符号，叫粘滞应力张量。因此，三个法向应力的平均值可表示为：一点处的应力上述所做的讨论仅适用于流体连续介质。在流体充满多孔介质的孔隙空间的情况下，上述各个量（如压力和应力）都必须在多孔介质的表征体元上进行平均，因为只有这种平均量才是可测量的。因此，平均压力定义为：流体静压力的分布对于静止的流体连续介质或重力场中的均匀流动，压力的变化满足:在均质流体中，对于高度为和的两点，如果，则流体静压力分布方程为：流体静压力的分布图3.2.1表示潜水位（其上压力为零）以下均质流体的静压力分布。流体静压力的分布在单组分可压缩流体中，密度（）随压力和温度变化。对于等温条件下的理想气体来说，，为一常数，则有，测压水头商叫做压力水头。它代表单位重量流体的压力能，或单位重量不可压缩流体克服其流动方向的压力差所做的净功，又称为流动功。对于等温条件下的可压缩流体，压力水头定义为：测压水头压力水头和高程水头之和成为测压水头：流体内每一点的或作为饱和多孔介质区域里每一点的平均都是用管子里流体的高程来表示的。测量时，为避免管中的毛细作用，管子的直径应当足够大，但又不能扰动流体的流动。这样的管子叫做测压管。（图3.2.2）测压水头在静止的流体中，测压水头处处相同。如果有潜水面存在，潜水面的高程即代表测压水头。在运动的流体中，测压水头是作为空间和时间的函数面变化的。图3.2.2表示水平承压含水层中的压力水头、高程水头和测压水头。第四章多孔介质中流体输运的基本方程在本章中，我们将导出多孔介质中流体输运的基本方程。这是一些偏微分方程，它们描述流动区域内一点处的流体参数、介质参数和流动参数之间的关系。在推导方程时，我们把流体和多孔骨架都看成是连续介质，并且认为每一种都充满着整个空间。速度的定义流体连续介质中任意一点的速度向量可以写成推定极限的形式，即质点沿其路径的位移向量与相应的时间间隔之比，当后者趋于零时的极限：质点的定义流体质点定义为包含在一定体积中的分子集合体。流体质点的尺寸应当比单个分子的平均自由程大得多，但又必须足够小，以至于用它来确定密度时能够得到一个有意义的点值。只有这样，才能把这个值和质点的质心联系起来。流体的各个分子都处于连续不断的自然运动中。如果标记出一群最初靠拢在一起的分子，那么在一定的时间间隔后，这些分子也会扩散开，围绕最初那群分子的质心占据一个较大的体积。在此情况下，被标记的分子的通量受分子扩散的控制。这意味着在一定的时间间隔后必须对同一质心定义一个“新的质点”，且使它与最初的质点具有相同的分子数目，即相同的质量。按照这种方法能得到一个质点的连续路径。均质的单组分流体非均质的多组分流体讨论由N种化学组分混合而成的流体体系中的某一组分。在多组分流体体系占据的空间中取一体积，假定和分别是这体积内组分和流体体系的瞬时质量。把组分的质量密度定义为流体单位体积内组分的质量：式中为流体体系的密度。非均质的多组分流体组分的质量百分数定义为单位质量的流体体系中所包含的组分的质量：组分在一点P的速度就是内组分的各个分子的统计平均速度，即各个分子的速度之和除以分子个数。此时，质量平均速度定义为：非均质的多组分流体多组分体系的体积平均速度定义为：式中是部分比容，定义为：则有：扩散速度与扩散通量组分的质量质点相对于体积平均速度和质量平均速度的扩散速度和分别为：，组分相对于质量平均速度和体积平均速度的扩散通量和分别为：Euler观点与Lagrange观点Euler观点是研究某个确定的参考标架下流场中任一固定空间点在一定时间内各个物理量的情况。着眼于空间的各个固定点，从而了解流体在整个空间里的运动情况。Lagrange观点是研究任一流体质的各个物理量随时间的变化情况。着眼于流场中各个流体质点的历史，从而进一步了解整个流体的运动情况。实质导数流体确定质点的物理量对于时间的变化率称为该物理量的物质导数或实质导数，记为。设质点位置的变化用参数方程来表示，质点的速度用下式表示：则有：实质导数采用向量符号，上式可写成：第一项称为局部导数，在非稳定流中，它表示在空间的固定点上随时间的变化率；第二项称为对流导数，它表示所考虑的质点从一个地方对流到数值不同的另一个地方所造成的的变化。普通的守恒原理研究对象：多组分流体，并按照连续介质方法，假定每种组分本身都是充满整个空间的连续介质。考察流体的某种外延量（如质量），设它具有一定的初始数量，在时刻被包含在由曲面S所包围的一部分空间体积U内（图4.2.1）。普通的守恒原理则有：在U内不存在源和汇的情况下，的变化只能由通过曲面S的净流量的变化而引起，因此：如果因内部作用（如化学作用），所论外延量在U内每单位体积以的速度不断产生，则有：普通的守恒原理对上式中的曲面积分应用高斯定理，得到：因为体积U是任意的，所以有：即为组分一种性质的普遍的守恒原理。一种组分的质量守恒方程对于多组分流体体系的组分来说，将和带入普通的守恒方程，得到质量守恒方程：式中是在流体体系的单位体积中由于化学反应而产生的组分的质量速度。流体体系的质量守恒将多组分流体体系的组分的质量守恒方程对所有组分求和，得到流体体系的质量守恒方程：对于不可压缩的均质流体，即质量密度不变的流体，有：一种组分的线性动量守恒把（每单位体积混合物中组分的动量），和带入普通的守恒方程，得到：式中是动量密度产生的速率，是组分的动量在流动区域里传播的速度，是双积：流体体系的线性动量守恒把，和（是作用在组分质点上的、每单位质量组分的外力）带入普通的守恒方程，得到：令，则有：流体体系的线性动量守恒由上式可得：动量跟质量一样也是同时以两种方式被输运的：一是由流体的总体运动所产生的通量，二是由分子运动所引起的扩散通量。可以把动量守恒方程改写为：本构方程本构方程是反映物质宏观性质的数学模型，又称本构关系。通常本构关系采取的形式是通量和驱动力之间的关系式。本构方程的例子有：弹性固体中应力和应变之间的线性关系、热能的通量是温度梯度的线性函数等。本构方程规定的是理想连续介质的假设性状，而理想连续介质就是自然界中一类特殊连续体的数学模型。得到本构方程需要凭借实际经验，或许还得用实验数据予以验证。建立本构方程应采用的若干原理1.相容性原理：任何本构方程都必须与质量、动量和能量平衡的一般原理相容。2.坐标不变性原理：本构方程须表示成在任何固定时刻、所有惯性坐标系中都成立的方程。3.适当配置原理：当把本构方程和包含有相同变量的平衡方程配置成相容的方程组时，对应于物理上有意义的初始和边界条件此方程组应当能给出唯一的和稳定的解。建立本构方程应采用的若干原理4.量纲不变性原理：任何本构方程在量纲上应当是统一的。5.物质客观性原理：这是建立本构方程最重要的准则。一种材料的内在反应和观测者无关，即所有观测者观测到的反应必须相同。6.物质不变性原理：若本构方程关于物质坐标的某一变换群是不变的，则本构方程具有物质对称性。7.共存性原理：出现在一个本构方程中的自变数也必须出现在其他的本构方程中。多孔介质模型在研究复杂系统中的现象时，最有效的工具之一是理想模型。理想模型方法，就是用某些假想的、能够进行数学处理的、比较简单的现象来代替实际上不可能进行数学处理的复杂现象。理想模型方法的研究过程通常有三步：1.用简化的理想模型代替复杂的系统；2.用现有的理论工具分析模型并导出描写所研究现象的数学关系式；3.控制实验。一种平均化方法对于多孔介质区域内的一点P而言，在表征体元的空隙空间上的平均值可表示为：空隙空间内一点的值可表示为表征体元的平均值与局部偏差之和：体积守恒方程流体体积的局部守恒方程：不可压缩流体的体积守恒方程：或对于均质介质，有：溶液中一种组分的质量守恒方程溶液中一种组分的局部质量守恒方程：式中：通过在多孔介质的表征体元上平均化而得到的组分的质量守恒方程：质量守恒方程通过在一根管子的横截面上进行平均而得出的流体的质量守恒方程：通过在多孔介质的表征体元上进行平均而得到的不可压缩非均质流体的质量守恒方程：运动方程多孔介质中非均质流体层流运动的平均方程：其中运动方程对于局部惯性力相对于粘滞阻力能够忽略不计的流动而言，有：这样的运动称为蠕动，其特点是雷诺数小。雷诺数表示惯性力与粘滞阻力之比。弯曲率弯曲率是无量纲参数：它把孔隙空间一点上的一微小流体体积所受的任一外驱动力的分量变换成这力在该点流线方向上投影的分量。第一步：将给定的力投影到流线方向第二步：求出投影的分量弯曲率若设分量和统计无关，则有：是多孔介质的一个非随机算子（参数），他把作用于多孔介质一个物理点上的外力的平均分量变换成这力沿流线方向投影的分量。弯曲率在与共线的特殊情况下，变换只改变的大小：在多孔介质中，上式能够成立的方向叫做变换的主方向。与主方向对应的和分别称为变换的特征向量和特征值。如果在一给定点上上式对于的一切作用方向都成立，就说该点的多孔介质关于变换是各向同性的。此时空间的每个方向都是主方向。弯曲率和渗透率的关系系数叫做介质的渗透率。它是介质的一种平均性质，表示多孔介质传导流体的能力。如果假定管轴上一点的传导率和该点的流线方向之间不存在相关性，则与的主方向相同，即：其中（量纲）是介质的平均传导率。弯曲率和其他输运系数对于均质流体（），有：对于静止（）条件下均质流体的分子扩散：对于同样的流体，每单位面积孔隙的平均分子扩散通量：采油工程学中的地层因数和电阻率指数地层因数是（为一种电解溶液所饱和的）多孔介质的电阻率（）（即每边为一个单位长度的均匀立方体对从其一面流入而从对面流出的一维电流的电阻）与同一种电解溶液的电阻率（）之比：设一外部尺寸相同的多孔岩石，假定固体部分不导电，则面积中只有一部分面积能通过电流，且电流流动的平均长度为，则有：采油工程学中的地层因数和电阻率指数如果空隙空间包含有不导电的碳氢化合物及水，则能够使电流通过的横截面面积会更小，同时路径的实际长度会变得更大。因此一块多孔介质六面体的电阻为：电阻率指数定义为：多孔介质理想模型模型一：孔隙通道的横截面面积沿其长度方向变化，但总面积保持不变，则有：如果碳氢化合物充填了部分孔隙空间，使水的饱和度变为，则：多孔介质理想模型模型二：该模型中的长度大于。考虑到实际的流动方向不同于的方向，则有：当介质部分为不导电碳氢化合物饱和时，有：多孔介质理想模型模型三：该模型将会在第九章中详细讨论。对于该模型我们有：第五章均质流体的运动方程本章从1856年Darcy的实验出发，在均质流体情况下得到流体通过多孔介质运动的基本方程。本章中的所有变数和参数仅对作为连续介质的多孔介质区域有意义。Darcy实验定律1956年，Darcy研究了水在直立均匀砂柱中的流。根据实验，得到：如果用表示水力梯度，而把比流量定义为与流动方向垂直的每单位横截面积的流量，则：Darcy实验定律右图为将Darcy定律推广到流体通过均质倾斜砂柱的流动情形。则有：上式表明，流动是从高测压水头向低测压水头，而不是从高压力向低压力。上图表示垂直向下流动的几种情形：Darcy实验定律Darcy实验定律如图5.1.2所示，流体只能通过砂柱横截面积的一部分流动，其余部分为多孔介质固体骨架所占据。因为平均面孔隙率等于体孔隙率，所以通过砂柱的平均速度应当是：在一种均质流体的流动中，孔隙空间的部分流体有时是不动的。此时可以定义一个关于通过介质流动的有效孔隙率使得：Darcy定律的推广：各向同性介质实验导出的、适用于均质不可压缩流体的Darcy定律仅限于一维流动。对于三维流动，Darcy定律在形式上可推广为：式中为比流量向量，是水力梯度。当流动发生在均质各向同性介质中时，是一个不变的标量，因此上式可以写为三个方程：Darcy定律的推广：各向异性介质如果某种性质与其在介质内部的位置无关，则介质关于该性质是均质的；反之则说介质是非均质的。如果某种性质与其在介质内部的方向无关，则介质关于该性质是各向同性的；如果在介质内部一点上介质的某种性质，例如渗透性或导热性随方向变化，则在该点介质关于这种性质是各向异性的。本书中的各向同性或各向异性皆指渗透性而言。Darcy定律的推广：各向异性介质因为Darcy定律表示为比流量分量和水力梯度分量之间的单一线性关系，因此通过写出通量分量和水力梯度分量之间的最一般的线性关系就能将其推广到各向异性介质：式中是笛卡尔坐标。偏离Darcy定律的情形：上限在通过管道的流动中，区分层流和紊流所采用的准则是雷诺数，它为一无量纲数，表示惯性力与粘滞力之比。管道中层流和紊流之间的临界雷诺数约为2100。对于多孔介质的流动，可以将雷诺数定义为：式中是多孔介质的某种长度尺寸；是流体的运动粘度。偏离Darcy定律的情形：上限就一切实际情况而论，只要根据平均粒径计算的雷诺数不超过1~10之间的某个值，Darcy定律就是适用的。通过进一步同管流类比，可以把多孔介质中的流动表示为摩擦因数和雷诺数之间的关系。Fanning将摩擦因数定义为：式中为管子的水力半径。如果将通过多孔介质流动的实验结果绘成Fanning摩擦系数和雷诺数之间的关系，则得图5.3.1所示的一条曲线。偏离Darcy定律的情形：上限（a）层流区：这是低雷诺数时的流动情形。在此区内粘滞力起主要作用，线性Darcy定律成立。该区上限的雷诺数在1~10之间。（b）过渡区：在该区的下部，从粘滞力起主要作用的层流状态逐渐变为惯性力支配流动的另一种层流状态。而在该区的上部流动则逐渐变为紊流。惯性力起主要作用的层流区一般称为非线性层流区。（c）紊流区：当很大时我们就观测到紊流区。偏离Darcy定律的情形：下限某些作者就通过多孔介质的饱和流动可应用Darcy定律的下限问题作了讨论。Irmay指出，存在一个最小梯度或称初始梯度，如果实际水力梯度小于，则没有流动。引用最小梯度的概念，Darcy定律变为：偏离Darcy定律的情形：下限Swartzendruber曾对以前某些研究流体饱和多孔介质中非达西性状的著作进行过评论，他根据实验数据提出了如下一维流动方程：由上式知在处的斜率为零。他把方程归因于粘土和水相互作用所招致的非牛顿液体的粘滞性。滑流现象在以Darcy定律为基础的层流理论中，我们曾假定，由于流体内切应力的存在，固体壁面上流体的速度等于零，但在气流中情况与此相反，因为气体的分子与固体壁面没有密切接触，气体在固体壁面上可以具有一定的非零速度。因此，当气体分子的平均自由程接近通道的尺寸时，界面上的各个分子都将处于运动状态，且贡献一个附加通量。这种现象就叫做滑流现象。滑流现象Klinkenberg利用一根玻璃毛细管作为模型导出如下的气体渗透率公式：式中是对气体的渗透率；是对液体或高密度气体的渗透率；是在测定的平均压力下气体分子的平均自由程；是比例系数；是Klinkenberg模型的毛细管半径；是气体-固体系统的一个常数，依赖于气体分子的平均自由程和多孔介质内通道开口的尺寸。势和伪势通过观测流场内各点的（测压水头）值，我们可以设想空间中存在着一些等于常数的简单曲面。为了证实这些曲面的存在，现考察这样一个曲面方程：上式表明这样一个事实：即此曲面上的任何位移向量必定垂直于向量。势和伪势首先考虑以下述形式表示的曲面的方程：式中是某一向量场。在一定条件下上述方程是可积的。假设存在一个标量函数，使得：于是将所考虑的曲面方程积分就得到常数，并且通过改变常数的值可得一族这样的曲面。势和伪势假设上面所定义的函数确实存在，考虑：如果向量存在，那么从方程可以看出，向量在每一点都与垂直。势和伪势所以可以求出以积分形式表示的法面方程。标量函数叫做伪势。在某些特殊条件下，为常数且可使其等于-1，此时的标量函数就叫做向量场的势函数，而曲面则称为等势面。由此可见，与垂直的曲面的存在条件是。反之，如果方程成立，则垂直于的曲面存在。势和伪势鉴于上述讨论，我们可以将当作测压水头，并可以用数学术语伪势来称呼。如果用水力传导系数代替，则即为比流量，于是：对于均匀介质（），上述方程可写为：受其控制的流动叫做势流。此时可以把看作，并可以用数学术语伪势来称呼。无旋流动如果用比流量向量写出方程，则应写为：式中无旋流动向量叫做旋度向量，满足方程的流动则称为无旋流动。对于无旋流场，由方程得：上式对流动区域内的一切点都成立。值得注意：在二维流动中，等势面族一定存在，介质尽管可能是非均质各向同性的，但流线却处处与等势面垂直。无旋流动无旋流动有时也称为无环量流动。环流量用给定时刻的切向速度分量关于任一封闭围道的线积分定义：式中的正方向相应于包围面积的围线的逆时针方向。如果，则。无旋流动从的事实得出一个重要的结论：在的流动区域里，从一固定点到任意一点，的线积分与连接这些点的路径无关。无旋向量场可用下述三个等价方程刻画：是一个标量点函数；，对于任一闭曲线不包括奇点；，对于一切点。各向同性介质的水力传导系数在各向同性介质中，利用公式可将水力传导系数定义为单位水力梯度的比流量。水力传导系数是一个表示多孔介质输运流体能力的标量。所以它与流体及骨架的性质有关。相应的流体性质为密度及粘度或它们的组合形式—运动粘度；而相应的骨架性质主要是粒径（或孔径）分布、颗粒（或孔隙）、形状、比表面、弯曲率及孔隙率。各向同性介质的水力传导系数从Darcy定律的理论推导或量纲分析可以看出，水力传导系数可表示为：式中叫多孔骨架的渗透率或内在渗透率，它仅与骨架性质有关；表示流体性质的作用。利用上式可将Darcy定律写成：各向同性介质的水力传导系数由上式可得：如果，则有对于水平流动，有各向同性介质的水力传导系数确定渗透率一般有三类公式：第一类公式是纯经验的。例如公式就是根据右图所示的与平均粒径的关系得出。第二类公式是从Darcy定律的理论推导得出的纯理论公式。该公式中的渗透率与孔隙率、弯曲率及骨架主要通道的传导率有关。各向同性介质的水力传导系数第三类公式是半经验公式。它通常是利用某种理想模型进行理论分析而导出的与骨架不同参数的关系式。但是，对于每种具体的多孔介质或一类相似的多孔介质都必须用实验确定数字系数。上述各种公式的普遍形式是其中是一个表示颗粒（或孔隙）形状影响的无量纲参数；叫做形状因数；叫做孔隙率因数；是颗粒的有效粒径。各向同性介质的水力传导系数通常，乘积作为一个无量纲系数出现在和的关系式中，于是有：当在空间上变化，即时，我们称多孔介质是非均质介质或非均匀介质。如果在饱和流动区域的某点上随方向变化，我们说介质在该点是各向异性的。水力传导系数的单位与例子实践中所使用的水力传导系数的单位是各式各样的。在美国，水文工作者通常使用两种单位。一种是实验室水力传导系数单位或称标准水力传导系数单位，定义为：在的水力梯度作用下，华氏的水通过单位面积的流量即的单位为。另一种是野外水力传导系数单位或称含水层水力传导系数单位，定义为：在的水力梯度水力传导系数的单位与例子作用下，野外温度下的水通过厚1英尺、宽1英里的一个含水层横截面积的流量。这样得到的野外水力传导系数单位与实验室水力传导系数单位相同。上述单位之间的换算如下：在米制中，渗透率的单位是或；在英制单位中，单位是。水力传导系数的单位与例子采油工程师常用的渗透率单位是达西。可定义为：因此，如果完全充满介质空隙空间的、粘度为1厘泊的一种单相流体，在每厘米一个大气压力或与此相当的水力梯度作用下通过横截面积为的流量为，则我们说此介质的渗透率为1达西。水力传导系数的单位与例子在达西的定义式中，。由达西换算成面积单位的公式是：水力传导系数的单位与例子下表列出了水力传导系数和渗透率的一些典型数值：各向异性介质的渗透率在各向异性介质的一般情况下，比流量和梯度的关系可写为如下形式：三维空间中的九个分量决定着水力传导系数张量，通常写成如下矩阵形式：各向异性介质的渗透率因为是对称张量，所以只有六个不同的分量。则方程可以写成如下矩阵方程：混合分量可解释为这样一个系数：它乘以水力梯度的分量即为对方向的比流量的贡献。而流量则等于所产生的比流量之和。各向异性介质的渗透率现在了解一下二秩张量所具有的若干性质（a）如果已知张量在坐标系中的分量，则可利用坐标旋转从坐标系求出它在坐标系中的分量式中是坐标轴和之间的方向余弦：。事实上，要证明某个量是二秩张量，必须证明其分量变换服从上式。各向异性介质的渗透率（b）证明某个量是二秩张量的另一种方法是证明它服从如下的商定律：即如果是九个量，而和是向量（分别具有分量和），满足所有与诸完全无关的条件，且，则这些就是二秩张量的分量。（c）如果表示由二秩张量的九个分量所组成的阶矩阵的行列式，那么当时，可以利用下述公式来求的逆张量或各向异性介质的渗透率共轭张量的分量：式中的余子式就是从中删去第行和第列，并在此行列式之前冠以符号所得到的行列式。设空间中存在着张量及单位向量，它们的分量依次为和。如果伴随向量与各向异性介质的渗透率平行，则单位向量的方向称为张量的主方向。而且，对于对称张量的主方向，有关系式或上述关系式代表由三个线性齐次方程构成的方程组，其中的未知数是单位向量的分量。由于平凡解与条件不相容，故方各向异性介质的渗透率程的系数行列式必为零。如果用典型元素表示此行列式，则。展开得到一个关于的三次方程：此方程称为对称张量的特征方程。方程中的是与坐标系无关的标量，称为对称张量的基本不变量：矩阵的主对角线元素之和的迹；这些元素的余子式之和；各向异性介质的渗透率矩阵的行列式。特征方程的根称为对称张量的主值（特征值或本征值）。我们可以使它们中的每一个分别联系着单位向量中的一个。只要是相异根，这些单位向量就是相互正交的。它们分别表示与主值对应的三个主方向。具有三个不同的主值和对各向异性介质的渗透率应的三个相互正交的主方向的张量其分量能写成如下形式：如果利用作为正交坐标系的基向量，而在此坐标系中张量的分量为则得因此张量矩阵具有对角线形式：各向异性介质的渗透率用这种形式表示的张量叫做对角线张量。反过来，如果对于三个相互正交的坐标轴，张量的矩阵具有对角线形式，则这三个坐标轴就称为二秩对称张量的主轴。如果，则矩阵具有上述对角线形式，且。然而，一旦轴被给定在方向，此种对角线形式就与及轴的选择无关。各向异性介质的渗透率如果所有的三个主值都相等，则由的线性组合所得出的任何单位向量均表示主方向。换句话说，空间的任何方向都是主方向，任何直角坐标系都是主轴坐标系。因此，当时，张量变为各向异性介质的渗透率（d）如果给定张量在坐标系中的分量，则总能找到三个主方向使得张量（分量为）在此坐标系中，具有对角线形式，即当时，。事实上，利用此条件及性质（a），能够得出与的关系式。对于二维情况，有：各向异性介质的渗透率式中是轴与的夹角。易证，存在着两个彼此相差的角，使得。这两个角是方程的解。通过微分即可看出，在这两个方向中，一个方向的具有最大值，另一个方向的具有最小值。根据定义，这两个方向就是主方向，而这两个方向的和即为张量的主值：各向异性介质的渗透率（e）如果给定上式所定义的张量的主轴则该张量在另一个与坐标系成角的坐标系中的分量可表示为：各向异性介质的渗透率（f）图解表示这些关系式的最简便方法是利用Mohr（莫尔）圆（图5.6.1）显然，作上述简单说明的目的在于将整个讨论应用于二秩张量及。和之间的关系也可以用水力阻率张量来表示。水力阻率张量是二秩对称张量，它是的共轭张量，一般记为。因为，故利用性质（c）可以从的九个分量求出水各向异性介质的渗透率力阻率的九个分量，即为：当为主方向时，，当时，，即，从而如果采用，则和之间的关系式变为：各向异性介质的渗透率因为水力传导系数是二秩张量，故性质（a）表示把一个坐标系（）中的变换成另一个坐标系（）中的。如果坐标轴与水力传导系数的主轴一致，则：对于二维情形（如），有各向异性介质的渗透率方向和以及角示于图5.6.1a中。如果和是水力传导系数的正交主方向，因而，此时有：如果是主方向，则有：各向异性介质的渗透率图5.6.1b表示，已知分量，且为主方向时，怎么利用Mohr圆求任一坐标系中的水力传导系数。图5.6.1c表示，已知任一坐标系中的水力传导系数时，怎么利用Mohr圆求主方向及主方向水力传导系数。图5.6.1d表示，怎么把一个坐标系中的变换到与之成角的另一个坐标系中。各向异性介质的渗透率在某些多孔介质中，两个主方向的导水系数是相等的，例如，这里用一个下标表示是主方向。此时，平面上的任一方向均为主方向。这种介质称为横向各向异性，也可称轴对称各向异性介质。由渗透率不同的许多薄层所组成的介质显示此种性质。一旦确定了主值和主轴（如）向量和的分量之间的关系即可表示为：方向渗透率由公式可以看出，在各向异性介质中，除了主轴方向以外，向量和是不共线的。这意味着流线的方向与等势线的法线方向并不一致。向量和之间的角度可表示为：当为水力传导系数的主方向时，有：方向渗透率现考虑下述两种情形：第一种情形沿流动方向的方向水力传导系数。按照Darcy定律定义各向同性介质水力传导系数的方法，把各向异性介质中一点的水力传导系数定义为该点的比流量和梯度沿方向的分量之间的比值。这样定义的导水系数称为沿流动方向的方向水力传导系数。如果只考虑介质的性质，则定义的是方向渗透率。若用表示方向水力传导系数，则可方向渗透率以写成（图5.6.2a）：假定分别表示的方向和三个主轴之间的角度，则有：综上，得到：方向渗透率在坐标系中，与共线的向径具有分量。因此，上式可变为：沿着的方向画一长度为的线段，则有：这是在坐标系中椭球的标准方程（图5.6.2b）方向渗透率沿着方向该椭圆的半轴分别为在二维情况下，得到如图5.6.2c所示的椭圆：。因此，椭球（在二维情况下为椭圆）能给出沿流动方向的方向渗透率。第二种情形沿梯度方向的方向水力传导系数。假定已知水力梯度的方向。可将水力传导系数定义为比流量沿梯度方向的分量与梯度本身之比。这样定义的水力传导系数叫做沿着梯度方向的水力传导系数（）。方向渗透率因此，有：且式中分别是的方向和坐标轴之间的角度。综上，得到：当向径具有分量时，上式变为：方向渗透率沿的方向画一长度为的线段，就得到一个标准的椭球方程：在二维空间里，方程为因此有图5.6.2d所示的椭圆。方向渗透率因此，关于方向导水系数我们有两个定义。它们彼此不同，且不能互换。在已知的介质中，当给定了比流量的方向时，沿该方向的方向传导系数用第一种情形的公式确定；如果给定了，则沿着方向的方向水力传导系数用第二种情形的公式确定。上面所考虑的两种情形可以用下述方法合并起来。考虑方向，与坐标轴的夹角为。和的方向分别由夹角方向渗透率和所定义。对于二维流动，此情况示于图5.6.2e。此时有：式中是和之间的角度。因为故这是用以及和的方向表示的沿方向渗透率流动方向的。在二维流动中（图5.6.2e）有上面的第一种情形相当于；而第二种情形相当于。由于，此处是的方向和的方向之间的角度，所以有：这是用以及和的方向表示的。水力传导系数的测量方法事实上，Darcy定律和描述物理现象的其他任何定律一样，倘若不能测量出现在其中的系数的数值，这些定律就毫无意义。在Darcy定律中，要测量的系数是多孔介质的水力传导系数或渗透率。在野外或在实验室里，实验测量这些宏观参数的基本步骤如下：（a）首先假定一种流动模式（包括几何形状、边界条件等），该流动模式的解析解能够导水力传导系数的测量方法出，并且能在野外或室内试验中构造此种流动模式。所建立的数学解应当表示出因变数（通常是水头，压力、速度、流量等），自变数（时间和空间位置）及各种系数（流体的和介质的）的关系。（b）进行试验，重现所选择的流动模式，并测量包含在解析解中全部可测的量。（c）将测得的量带入解析解计算各种系数。水力传导系数的测量方法利用野外方法和实验室方法均能测量水力传导系数。在野外常用井孔抽水试验确定含水层的贮水系数及导水系数（KD）。当含水层的厚度（D）已知时，从这些实验还能得到水力传导系数K。在实验室内，采用一种称为渗透仪的仪器测量水力传导系数或渗透率。在渗透仪中，经过圆柱状多孔介质试样的流动是稳定的一维流动或非稳定的一维流动。除了使用特殊技术及专门仪器才能获得水力传导系数的测量方法原试样外，试样一般是扰动的。对于未固结的多孔介质采集原状试样极为困难。为了避免堵塞，应将试样脱气消毒（例如加入甲醛），并在隔离空气进入试样的条件下，用无细菌生长的过滤水（特别是在长时间的试验中）或清洁的过滤水进行试验。定水头渗透仪测量水力传导系数最常用的仪器是定水头渗透仪。此种仪器中的流动是稳定一维流动。一般是将长度为、横截面面积为的圆柱状多孔介质试样放置在两多孔薄板之间（图5.7.1）。多孔薄板对流动几乎不产生阻力。由于施加在试样两端的水头差保持不变，故形成的是流量为的稳定流动。定水头渗透仪如果采用不可压缩液体，则可用Darcy定律计算水力传导系数和渗透率：为了获得较为可靠的结果，应在不同的值下进行几次试验。如果采用气体测定渗透率，则必须考虑气体的压缩性和Klinkenberg效应。利用一维气体流动方程或一维运动方程：的解可以确定理想气体的气体渗透率。定水头渗透仪上式中是沿方向气体的质量通量；为气体的粘度，是试样的横截面面积。将上式从到进行积分，得到：式中。若要根据求液体的渗透率，可将和与对应的代入方程：降水头渗透仪在希望采用高水头的情况下可以使用此种仪器。该仪器在试验期间的水头和流量都是变化的。用图5.7.2所示的符号，则有：降水头渗透仪另一种变水头渗透仪如图5.7.3所示。此种仪器称为无流量渗透仪，它特别适用于低水头下的非固结介质。水力传导系数根据以下公式计算：各向异性介质水力传导系数的测量方法水力传导系数张量包含六个不同的分量。所以，需要进行六次独立的实验才能确定它们。如果已知三个主轴，则只需要三次独立实验。在轴对称各向异性及给定了主方向的情况下只需要进行两次独立实验就能测得两个主水力传导系数。例如，在后一种情况下，可以沿着岩芯轴线（假定是主轴方向）截取几个小的圆柱状试样，并用一维流动实验测量它们的渗透率。各向异性介质水力传导系数的测量方法然后在试样的断面上采用横向流动进行另一次实验。一种能够形成与试样轴线垂直的稳定平面气流的装置如图5.7.4所示。实验中采用压缩空气是为了防止在试样周围产生旁流。层状多孔介质：垂直和平行介质层面的流动构成含水层和储油层的多孔介质，渗透性几乎都是不均匀的。然而，当地层由渗透率不同的若干薄层组成时，对于某些简单的流动情形可以计算这种地层的平均渗透率。在本节中，只考虑均质液体的流动，所以采用地层的水力传导系数，而不用渗透率。现考虑均质流体（）平行于个地层的流动（图5.8.1）。层状多孔介质：垂直和平行介质层面的流动当流动区域的边界上（譬如说点（1）及点（2））存在着与地层相垂直的等势边界条件时，地层中发生的是平行于层面的流动。假设分别表示第层的水力传导系数、厚度和单宽流量。如果用Darcy定律写出每一层的流量，则总流量应层状多孔介质：垂直和平行介质层面的流动当等于各层流量之和：因为梯度在各层中保持为常数（即等势面处处与层面垂直），所以有：式中是第层的导水系数。层状多孔介质：垂直和平行介质层面的流动如果假定存在一个等效的水力传导系数（这里上标表示该系数是与层面平行流动的等效水力传导系数），使得在同样的水力梯度（）作用下，通过相同厚度的含水层（）传导相同的流量（），那么比较上述两个方程，得到：层状多孔介质：垂直和平行介质层面的流动如果用一种水力传导系数沿垂直方向连续变化的地层代替上面的地层，则通过厚度为，且与层面平行流动的总流量应当是：因此，层状多孔介质：垂直和平行介质层面的流动作为第二种简单情况，考虑垂直于层面方向的流动（图5.8.2）。此时流量保持不变，而水头的总降落等于各层水头降落之和：因此层状多孔介质：垂直和平行介质层面的流动此外，如果假定存在一个等效的水力传导系数，使得通过长度为的地层传导相同的流量，那么：因此应该注意的是，如果有一个为零，则也就是说整个地层系统将变成不透水的。然而，由上述方程能够不用各层的和而用各层的阻力或最大一层的阻力来确定流动。层状多孔介质：垂直和平行介质层面的流动如果用一种水力传导系数水平方向连续变化的地层代替上面的地层系统，则容易证明：假如将Darcy定律写成如下形式：则对于平行于层面的流动，有层状多孔介质：垂直和平行介质层面的流动对于垂直于层面的流动，有在上述方程中，是长度为（沿着流动方向）横截面面积为的多孔介质块对流动的阻力。有时候，当流体从一层进入渗透性较大的另一层时，会形成一个负压力区（图5.8.2c）。如果负压力不是太高且没有空气进入多孔介质，则流动仍然可以是饱和流动。任意定向流动的等效水力传导系数本节的分析是基于第七章关于流线在水力传导系数不连续平面上折射的讨论。如图5.8.3所示，现考察水力传导系数为，厚度为的一系列平行均质各向同性地层。在不同水力传导系数的每个界面上，有：该公式不要求各层厚度相等。由上图可以看出任意定向流动的等效水力传导系数在第层中两条流线之间的流量可表示为综上得因此通过层的水头总损失是：任意定向流动的等效水力传导系数对于等效水力传导系数为的系统，有：将上两式进行比较，得到：任意定向流动的等效水力传导系数上述方程就是所要寻找的等效水力传导系数的表达式。因为且故带入等效水力传导系数的表达式中，消去未知角，得到：作为等效各向异性介质的层状介质按照Vreedenbnrgh和Maasland对两层系统的研究，Marcus和Evenson推导了等效水力传导系数之间的关系式。由图5.8.3以及上述方程可得：即：作为等效各向异性介质的层状介质已知所以即有：作为等效各向异性介质的层状介质假如使，则最后这个方程在形式上与对二维流动写出的方程完全相同，不过在这里它表示沿着角所给定的比流量方向的方向水力传导系数。这说明层状土的宏观性状即平均性状相当于主水力传导系数为和的各向异性土壤。但是，为使此结论成立，必须要求各层的厚度较之流动区域的整体尺寸小得多。否则，一点的平均的或等价的水力传导系数的概念就毫无意义。作为等效各向异性介质的层状介质所以，如果考虑图5.8.3所示的一般情形（即底层的任意组合），则在介质的各点不同，因而对于给定方向的在介质的各点上也将变化。此时所得到的是一种等效的非均质各向异性介质。当地层以的形式交替组合时，所得到的介质就其宏观性状而言属于均质各向异性介质。（图5.8.4）Girinskii势前面曾指出，只有对于均质各向同性介质才能应用比流量势，使得。Girinskii曾引用另一个所谓的Girinskii势它 仅适用于的水平层状地层，且通过取它的导数可得比流量。Girinskii定义潜水含水层的势为：Girinskii势利用Leibnitz微分规则，得到：类似地可得。因此上述方程所定义的Girinskii势是当流动基本上是水平流动时对于层状潜水含水层的一种比流量势。Girinskii势对于的特殊情况（即均质含水层），应当是。在此情况下的连续性方程是，这意味着在平面上是关于位置的调和函数。Girinskii还将他的势推广到厚度保持不变，且流动为水平流动的水平层状承压含水层，有可压缩流体在前面的章节中，均质不可压缩流体的运动方程是用测压水头（每单位重量液体的压能和势能之和）来表示的。Hubbert通过引入势将测压水头的概念推广到包括的可压缩流体。这样，对应于各向同性介质的运动方程即变为：可压缩流体Hubbert首先将流体的势定义为单位质量的机械能，然后根据下述事实导出势的定义方程：即机械能是一个相对量，其大小可以用单位质量流体从压力为，标高为，密度为，速度为的某个初始（参考）状态变化为某个最终状态所作功的大小来度量。所以，在一给定点上，流体的势就等于把单位质量流体从一个任意选定的参考状态变化为所考虑的最终状态所作的功。可压缩流体在取作为初始状态的情况下，Hubbert计算了单位质量流体从这个参考状态变到任一个用表示的状态所做功的大小，得到的结果是：对于不可压缩流体有：对于可压缩流体有：可压缩流体对于可压缩流体得到的方程乃是势的最普遍形式。要是此方程所定义的势唯一，必须规定流体的密度仅为压力的函数这个条件。一般来说，液体满足这个条件，而气体仅在等温和绝热情况下才满足此条件。可压缩流体的势和不可压缩流体的势的主要区别在于，对可压缩流体必须另外作功才能把流体从初始状态的体积压缩为最终状态的体积。可压缩流体Hubbert还考虑了作用在多孔介质中单位质量流体液体上的驱动力。总驱动力作用于包括在多孔介质区域中的流体体积元素上，它等于压力所产生的净力与重力所产生的体积力之和。图5.9.1表示在流动区域的点上作用于密度为的流体质点的那些力：其中代表压力所产生的每单位质量的力；（向量，正方向向下）代表由重力所产生的每单位质量的力。可压缩流体将这两种力相加，得到：如果假定比流量与上式所表示的力成正比，且指向的方向，则有：一个问题是这样的流场是否为一势场，如果是势场，则通过求某个标量的势函数的梯度就可以得到比流量。判断上式中的是否具有势的准则就是要判别流场是否为无旋场。可压缩流体这意味着需要。即：这是两个向量的叉积。因此，要使，必须（a），这是压力不变的情况；（b），这相当于的