1997年全国高中数学联赛试题及答案详解

一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (每小题6分，共36分)1．已知数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a，x2=b，记Sn=x1+x2++xn，则下列结论正确的是(A)x100a，S100=2ba(B)x100b，S1002ba(C)x100b，S100=ba(D)x100a，S100ba4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0，1)(B)(1，+∞)(C)(0，5)(D)(5，+∞)5．设f(x)=x2－πx，arcsin13，β=arctan54，γ=arcos(－13)，=arccot(－54)，则(A)f(α)>f(β)>f()>f(γ)(B)f(α)>f()>f(β)>f(γ)(C)f()>f(α)>f(β)>f(γ)(D)f()>f(α)>f(γ)>f(β)6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x，y为实数，且满足(x－1)3+1997(x－1)=－1，(y－1)3+1997(y－1)=1．则x+y.2．过双曲线x2－y22=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|λ的直线l恰有3条，则λ=.3．已知复数z满足2z+1z=1，则z的幅角主值范围是．4．已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．6．设alogz+log[x(yz)1+1]，blogx1+log(xyz+1)，clogy+log[(xyz)1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为．三、（本题满分20分）设x≥y≥z≥π12，且x+y+zπ2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．五、(本题满分20分)设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足a2a1=a3a2=a4a3=a5a4，a1+a2+a3+a4+a5=4(1a1+1a2+1a3+1a4+1a5)=S．其中S为实数且|S|≤2．求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．第二试(10月5日上午10:3012:30)[来源:学科网]一、（本题50分）如图，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足25Σj=1xi，j≤1（i=1，2，…，100），则当i≥k时，在表2中就能保证25Σj=1xi，j≤1成立。表1表2x1,1x1,2…x1,25x1,1x1,2…x1,25x2,1x2,2…x2,25x2,1x2,2…x2,25……………………x100,1x100,2…x100,25[来源:学科网ZXXK]x100,1x100,2…x100,251997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a，x2=b，记Sn=x1+x2++xn，则下列结论正确的是(A)x100a，S100=2ba(B)x100b，S1002ba(C)x100b，S100=ba(D)x100a，S100ba【答案】A【解析】x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=－a，又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2b－a．选A．3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个【答案】C4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0，1)(B)(1，+∞)(C)(0，5)(D)(5，+∞)【答案】D【解析】看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线x－2y+3=0的距离的比：x2+(y+1)2|x－2y+3|12+(－2)2=5m<1m>5，选D．5．设f(x)=x2－πx，arcsin13，β=arctan54，γ=arcos(－13)，=arccot(－54)，则(A)f(α)>f(β)>f()>f(γ)(B)f(α)>f()>f(β)>f(γ)(C)f(i)>f(α)>f(β)>f(γ)(D)f()>f(α)>f(γ)>f(β)【答案】B【解析】f(x)的对称轴为x=π2，易得，0<α<π6<π4<β<π3<π2<γ<2π3<3π4<δ<5π6．选B．二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x，y为实数，且满足(x－1)3+1997(x－1)=－1，(y－1)3+1997(y－1)=1．则x+y.【答案】2【解析】原方程组即(x－1)3+1997(x－1)+1=0，(1－y)3+1997(1－y)+1=0．取f(t)=t3+1997t+1，f(t)=3t2+1987>0．故f(t)单调增，现x－1=1－y，x+y=2．3．已知复数z满足2z+1z=1，则z的幅角主值范围是．4．已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．【答案】26【解析】青蛙跳5次，只可能跳到B、D、F三点(染色可证)．青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”号：□1□1□1□1□1规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写符号．前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有23－2=6种，后两个□中填号的方法有22种．∴共有2+6×4=26种方法．6．设alogz+log[x(yz)1+1]，blogx1+log(xyz+1)，clogy+log[(xyz)1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为．【答案】log2【解析】a=log(xy+z)，b=log(yz+1x)，c=log(1yz+y)．∴a+c=log(1yz+1x+yz+x)≥2log2．于是a、c中必有一个≥log2．即M≥log2，于是M的最小值≥log2．但取x=y=z=1，得a=b=c=log2．即此时M=log2．于是M的最小值≤log2．∴所求值=log2．[来源:学科网ZXXK]四、(本题满分20分)设双曲线xy1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；(2)设P(1，1)在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．【解析】设某个正三角形的三个顶点都在同一支上．此三点的坐标为P(x1，1x1)，Q(x2，1x2)，R(x3，1x3)．不妨设0<x1<x2<x3，则1x1>1x2>1x3>0．kPQ=y2－y1x2－x1=－1x1x2；kQR=－1x2x3；QPRxOytan∠PQR=－1x1x2+1x2x31+1x1x3x22<0，从而∠PQR为钝角．即△PQR不可能是正三角形．五、(本题满分20分)设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足a2a1=a3a2=a4a3=a5a4，a1+a2+a3+a4+a5=4(1a1+1a2+1a3+1a4+1a5)=S．其中S为实数且|S|≤2．求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．∴q+1q∈R．再令q=r(cosα+isinα)，(r>0)．则q+1q=(r+1r)cosα+i(r－1r)sinα∈R．sinα=0或r=1．若sinα=0，则q=±r为实数．此时q+1q≥2或q+1q≤－2．此时q+1q+12≥52，或q+1q+12≤－32．此时，由|(q+1q+12)2－54|≤1，知q=－1．此时，|ai|=2．若r=1，仍有|ai|=2，故此五点在同一圆周上．⑵若1+q+q2+q3+q4=0．则q5－1=0，∴|q|=1．此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|，即此五点在同一圆上．[来源:学+科+网Z+X+X+K]综上可知，表示复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．第二试二．（本题50分）试问：当且仅当实数x0，x1，…，xn（n≥2）满足什么条件时，存在实数y0，y1，…，yn使得z02=z12+z22+…+zn2成立，其中zk=xk+iyk，i为虚数单位，k=0，1，…，n。证明你的结论。【解析】解：z02=x02－y02+2x0y0i=(x12+x22+…+xn2)－(y12+y22+…+yn2)+2(x1y1+x2y2+…+xnyn)i．∴x02－y02=(x12+x22+…+xn2)－(y12+y22+…+yn2)；x0y0=x1y1+x2y2+…+xnyn．若x02>x12+x22+…+xn2，则y02>y12+y22+…+yn2．此时x02y02>(x12+x22+…+xn2)(y12+y22+…+yn2)≥(x1y1+x2y2+…+xnyn)2=(x0y0)2．矛盾．故必x02≤x12+x22+…+xn2．反之，若x02≤x12+x22+…+xn2成立．此时，可分两种情况：⑴当x02=x12+x22+…+xn2成立时，取yi=xi(i=0，1，2，…，n)，于是z02=(x0+y0i)2=x02－y02+2x0y0i=2x0y0i，而z12+z22+…+zn2=(x12+x22+…+xn2)－(y12+y22+…+yn2)+2(x1y1+x2y2+…+xnyn)i=2(x1y1+x2y2+…+xnyn)i=2(x12+x22+…+xn2)i=2x02i=2x0y0i．即z02=z12+z22+…+zn2成立．三、（本题50分）在100×25的长方形 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为xi,j（i=1，2，…，100；j=1，2，…，25）（如表1）。然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为x1,j≥x2,j≥…≥x100,j（j=1，2，…，25）。（如表2）求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足25Σj=1xi，j≤1（i=1，2，…，100），则当i≥k时，在表2中就能保证25Σj=1xi，j≤1成立。表1表2x1,1x1,2…x1,25x1,1x1,2…x1,25x2,1x2,2…x2,25x2,1x2,2…x2,25……………………x100,1x100,2…x100,25x100,1x100,2…x100,25