湖北省部分省级示范性重点中学教科研协作体2020届高三统一联合考试数学(理科)试题（PDF版）(1)

第1页共6页湖北省部分省级示范性重点中学教科研协作体2020届高三统一联合考试数学(理科)试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.════════════★祝考试顺利★═══════════注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在．试题卷．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．.4．考试结束后，务必将试卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）1.已知集合22{(,)|(-3-4cos)(-5-4sin)4,}AxyxyRqqq=+=Î，{(,)|34-190}Bxyxy=+=.记集合PAB=Ç，则集合P所表示的轨迹的长度为A.82B.83C.85D.862.已知复数z满足zz=4且z+zz=0+，则2019z的值为A.-1B.20192-C.1D.201923.在ABC△中，内角,,ABC的对边分别为,,abc.若，且O为ABC△的外心，G为ABC△的重心，则OG的最小值为A.21-B.5256-C.21+D.10526-4.在ABC△所在的平面上有三点,,PQR满足PAPBPCAB++=，QAQBQCBC++=，RARBRCCA++=，则PQRABCSS△△的值为A.12B.13C.14D.1552sin()4aBp=+5c=第2页共6页5.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全一样的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器(容器壁的厚度忽略不计),则该球形容器表面积的最小值为A.41pB.42pC.43pD.44p6.南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式121210()nnnnfxaxaxaxaxa--=+++++…的值的算法，即将()fx改写成如下形式：1210()((()))nnnfxaxaxaaxa--=+++++……，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这种算法至今仍是比较先进的算法，将秦九韶算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入A.ivvxa=+B.()ivvxa=+C.ivaxv=+D.()ivaxv=+7.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是A.B.C.D.2()()1xxxeefxx--=-第3页共6页8.中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护.五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为A.514-B.2(51)4-C.3(51)4-D.4(51)4-9.已知函数2()(1)xfxex=+，令'1()()fxfx=，'1()()nnfxfx+=，若记数列2{}2nnnacb-的前n项和为nS，则下列选项中与2019S的值最接近的是A.32B.53C.74D.9510.已知函数，有下述四个结论：①是偶函数；②在上单调递减；③当时，有；④当时，有；其中所有真命题的编号是A.①③B.②④C.①③④D.①④11.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=>>的左右焦点分别为12,FF，点O为坐标原点，点P在双曲线的右支上，且满足122FFOP=.若直线与双曲线只有一个交点，则双曲线的离心率为A.2B.3C.5D.612.已知函数，，记若至少有三个零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.2()()xnnnnfxeaxbxc=++，()(cos1)cos2cos(cos1)fxxxqq=+++()fx()42pp，7()5fx<23[]34ppqÎ，C2PF{}()min()()hxfxgx=，，32()(32)8127fxaxaxxa=---++()lngxx=a()hx1()10-¥-，1()8+¥，11[)108-，11[]108-，()fx23[]34ppqÎ，'14()5fx<C第4页共6页第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）13.已知,xy均为正数，则2226xyxy+++的最大值是__________.14.在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马的彩色陶俑各一个送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为__________.15.已知椭圆的左右焦点分别为12,FF，点P为椭圆上不与左右顶点重合的动点，设，分别为的内心和重心.当直线的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆的离心率为__________.16.已知函数，当[0,1]xÎ时，仅在1x=处取得最大值，则实数的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请．在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列{}na的中11a=，22a=，且满足.(1)求数列{}na的通项公式；(2)设，记数列{}nb的前项和为，若求的最小值.18.（本小题满分12分）如图所示，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DFABCD^平面且3DF=.(1)求证：EFABCD平面；(2)若ABCBCEÐ=Ð，求二面角ABFE--的余弦值.22221(0)xyCabab+=>>：G32()2(31)1fxaxax=+-+I12PFF△IGC()fxCa11111niiinnaaa=++=++å112020nT+<，211(1)nnnnnabaa++-=nnTn第5页共6页19.（本小题满分12分）已知点是平面内的动点，定点，定直线与轴交于点，过点作于点，且满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和点.设线段和线段的中点分别为和，记线段的中点为，点为坐标原点，求直线的斜率的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数122()(ln2)1xefxaxxx-=++--在定义域(0,2)内有两个极值点.(1)求实数a的取值范围；(2)设1x和2x是()fx的两个极值点，求证：.21.（本小题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有份血液样本,有以下两种检验方式：方式一：逐份检验,则需要检验次.方式二：混合检验,将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这份的血液全为阴性,因而这份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这份血液究竟哪几份为阳性,就要对这份再逐份检验,此时这份血液的检验次数总共为假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为.(1)若,试求关于的函数关系式；(2)若与干扰素计量相关，其中是不同的正实数，满足且都有.(i)求证：数列{}nx为等比数列；(ii)当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求的最大值.1lx=-：E(1,0)FEPEFFPFQ×=×x(,)PxyQPQl^PtOKAB,CD,ABKMkMNNCDO2l1lF12lnlnln0xxa++>Pt()*2kkNkÎ且…n1.k+k()pfk=2x1x()01pp<<p12()2nxxxn，，…，k12()()EExx=nx1311212122221nniinixxxexxxx*2nNn11x3411px=-kkkkk()*2kkNkÎ且…p()*nnNÎ第6页共6页（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为22211()1txtttytì+ï=ï-íï=ï-î为参数.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l交曲线C于,AB两点，交x轴于点P，求11PAPB+的值.23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数()121fxxx=--+.(1)求不等式()4fx£的解集；(2)若,,abc均为正数，求证：()abcfxbccaab£+++++.5cos().34prq+=第1页共6页湖北省部分省级示范性重点中学教科研协作体2020届高三统一联合考试数学(理科)试题参考答案一、选择题题号123456789101112答案ADDBAACCBCCC二、填空题13.1414.15.16.三、解答题【17.解析】(1)由题意可知，则也可得知，两式作差整理得到，即，而满足上式，故数列{}na的通项公式为.(2)由上可知，则结合裂项相消法可知，从而有，解得，故n的最小值为2020.1001132或1()5+¥，()1111*11niiinnaaanNan=++³=++Îå且()1111*112niiinnaannaaN-=+-³=++Îå且121(1)()naanaa=+--nan=11a=()*nNann=Î1211(1)(1)(21)11(1)(1)(1)()(1)11nnnnnnnnnanbaannnnnn+++--+--===-+=-+++()1*(1)11nnnTNn+-=-Î-+11112020nTn+=<+2019n>³()*2nnN且Î()*2nnN且³Î第2页共6页【18.解析】(1)如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，可知EH=.∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，平面ABD∩平面BCE=BC，∴EH⊥平面ABCD，∵FD⊥平面ABCD，FD=，∴FD∥EH，FD=EH∴四边形EHDF为平行四边形。即EF∥HD∵EF平面ABCD，HDÌ平面ABCD，∴EF∥平面ABCD(2)如图，连接HA，由上可知H为BC中点，又知∠CBA=60°，△ABC为等边三角形，则有AH⊥BC，以H为坐标原点，HB，HA，HE所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.则，，，，有，，，设平面BAF的一个法向量为，由得，令，取，设平面BEF的一个法向量为，由得，令，取，即，由题意知二面角A−FB−E是钝二面角，故二面角A−FB−E的余弦值是.3(233)F，，(033)E，，(030)A，，(100)B，，1111()nxyz，，(333)BF，，(103)BE，，(130)BA，，1(312)n，，1=1y11111333030xyzxy1100nBAnBF1212127cos8nnnnnn，78321z2(321)n，，22222333030xyzxz2200nBEnBF2222()nxyz，，第3页共6页【19.解析】(1)由题可知，，则由得，整理即得，即动点P的轨迹τ的方程为.(2)设,,,由题意可知………………………………………………………①由点差法知…………………………………………………②由知…………………………………………………③由①②③联立可得，则直线，(i)当时，直线.(ii)当时，直线，结合基本不等式可知，当且仅当时取等，综上所述，.EPEFFPFQ×=×(1)Qy-，(10)E-，24yx=22(1)2(1)xxy+=--+00()Kxy，12012022xxxyyyì+=ïïí+ï=ïî22()Nxy，11()Mxy，1112222121MFNFykyxykyxì==ïï-íï==ï-î1MFNFkk×=-MFNF^002003yyOKkxy==+的斜率2003xy=+00y=00y¹0OKk=的斜率0013OKkyy=+的斜率03y=±33[0)(0]66kÎ-È，，33[]66OKk-直线的斜率的取值范围是，24yx=第4页共6页【20.解析】(1)函数的定义域为.记，则，①当时，，故g(x)在上单调递增，则g(x)至多有一个零点，不合题意.②当时，，(i)当，即时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，此时，而g(x)在上存在两个零点，令，解得，注意到，结合零点存在性定理知在和上各有一个零点.(ii)当，即时，g(x)在上有一个零点，在上无零点，不合题意.(iii)当，即时，g(x)在上单调递减，则g(x)至多有一个零点，不合题意.综上所述，实数的取值范围是.(2)由上不妨设，由题意得，两边同时取自然对数得,欲证，只需证明，即证明，由上可知，则证明即可.有，化简后证明即可.构造，则，注意到常用不等式，则在恒成立，即，故求证成立.综上所述，原命题得证.'1()=xgxea--1()(02)xgxeaxx-=-Î其中，1'3()(2)()xeaxxfxx---=(02)，()fx'()0gx>1ae£(02)，12eae<<1ln2(2)0ag+<>且(1ln2)a+，(01ln)a+，min()(1ln)lngxgaaa=+=-1(0)0ge=>ln0aa-<1a>1ln2a+³ae³(1)2e，a1201ln2xax<<+<<21(1ln)()0gxgx->=212ln1xxe-+>221ln22(1ln)0xxeexx---->'111()xhxxe-=-1()ln(1ln2)xhxxexa-=+Î+，其中，'()0hx>1(0)xexx->>(1ln2)xaÎ+，()(1ln)(1)1hxhah>+>='()01lngxxa==+令得1ae>()gx{1122ln1lnln1lnxxaxxa-=+-=+12111200xxeaxeax--ìï-=í-=ïî121lnxx>-122lnxxa+>+12lnlnlna0xx++>()(01ln)gxa+在，上单调递减1ln2(2)0ag+<£且2eae£<(01ln)a+，(1ln2)a+，(01ln)a+，(1ln2)a+，(02)，(02)，第5页共6页【21.解析】(1)由题意得；随机变量的所有可能取值为.，，故.若，则，整理有.即关于的函数关系式为.(2.i)当时，有，解得.令，则.由题意可知，则也可得知，两式作差整理得，解得.即数列是以首项为，公比为的等比数列.(2.ii)由上可知，则，即.由题意可知，则有，整理得，构造，则，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减.而，，即的最大值是.1()Ekx=2x11k+，2(1)(1)kPpx==-2(1)1-(1)kPkpx=+=-12()()EExx=2()1(1)kEkkpx=+--1(1)kkkkp=+--111()kpk=-()*11()1)2(kpfkkkNk==Î-且…pk2n=12231221212222xexxxxxx-×=--1231xex=1231xqex==1q¹1121212122221nniinixxxxxxxxx11112121222221nniinixxxxxxxxx111nnnnxxqxxq11-()nnxqxq或舍去{}nx13qe=11x=13(*)nnxenN-=Î4xe=311pe=-12()()EExx>1(1)kkkkp>+--1ln03kk->1()ln(0)3xxxxj=->'3()3xxxj-=(03)xÎ，'()0xj>(3)xÎ+¥，'()0xj<()xj(03)，(3)+¥，(4)0j>(5)0j<k4第6页共6页【22.解析】(1)由题意可知，且注意到，则曲线C的直角坐标方程为.由直线l的极坐标方程为，结合可知，直线l的直角坐标方程为.(2)由上结合题意可知，则点P恰为双曲线C的焦点.以点P为极点，双曲线C的对称轴为极轴建立极坐标系，可知双曲线C的右支满足的极坐标方程为，不妨设，，其对应的极角分别为.则结合题设可知，故【23.解析】(1)由题意知，则有.且在上单调递增，在上单调递减，而，故不等式的解集为.(2)注意到当且仅当时取等而由上可知，故.综上所述，原命题得证.222121111txtt+==-+¹---222222214()4()111ttxytt+-=-=--2241(1)xyx-=¹-{cossinxyrqrq==5cos()34prq+=22350xy--=5(0)2P，1=425cosrq-1PAr=2PBr=12qqp+=12qq和1212121111425cos425cos825(coscos)8.PAPBqqqqrr+=+=-+-=-+=1221()3-1221xxfxxxxxì+£-ïïï=-<<íï--³ïïî，，，max13()()=422fxf=-£1()2-+¥，1()2-¥-，()fx()4fx£{62}xx-££(6)(2)4ff-==2111()()31111[()()()]()3213(111)322abcabcbccaabbccaababbccabccaab++=++++-++++++=+++++++-+++³++-=()abcfxbccaab£+++++max13()()=22fxf=-abc==