微分方程辅导LtD考研数学课堂PAGE18/NUMPAGES18微分方程辅导§3.1一阶微分方程A．知识概述1〕根本概念一阶微分方程含有未知函数的一阶导数的方程或解满足微分方程的可微函数。通解满足方程的，含有一个任意常数的可微函数。定解条件未知函数满足的关系.定解使用定解条件从通解中确定任意常数得出的2〕一阶方程〔可别离，线性，齐次，贝努利*，全微分方程*〕分类求解可别离方程------------基此
题
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型求通解别离变量后不定积分：注意一边积分写上任意常数。求定解初始条件，作变限积分：②线性方程-------------重点题型求通解先化作以上
标准
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形式，再套用以下公式非齐次通解公式〔其中〕〔常用〕〔变通使用〕齐次通解公式求定解在通解中代入初始条件求C。注意当方程同时还属于其它类型时，一般优先选择依线性方程求解。③齐次方程求解要点代换后别离变量为：④Bernoulli方程〔〕求解要点代换后化作线性方程〔注意比照系数〕：B．常见题型与考点【题型1】【根本问题～考察典型解法，细节处理】【题型2】【综合问题～增加对解函数的继续讨论】【题型3】【变形问题～变量对换，变量代换运用】C.范例
分析
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与解答【题型1】【根本方程求解～典型解法，细节处理】细节-----合理识别类型，利用初始条件排除分支；绝对值符号的处理；〔1〕设,求.解1〔看作别离变量方程，常规解法:先通解--再特解〕别离变量:两边积分:，求得通解：()确定常数：由定出.所求定解为.解2〔看作别离变量方程，快速解法:直接求定解〕别离变量:〕两边作变限积分:所求定解为:解3〔推荐解法，看作线性齐次方程，用通解公式〕线性齐次:因为故可以取求得通解：再由定出.〔2〕解1〔看作齐次方程〕变量代换：令，方程化为：，别离变量：，两边积分有，得，即代入初始条件：，得，所求定解为解2〔看作Bernoulli方程〕化作，记，得：标准化：由线性方程通解公式，，所求通解为代入条件得，从而〔3〕解〔使用线性方程通解公式，涉及到分段函数的定积分计算〕由题知通解为定解为【题型2】【讨论解函数〔极限、积分计算，大小控制〕----看作两道小题】〔4〕解初始条件变形，要讨论解函数的极限.通解：由,,推得，故有.〔5〕解〔研究解函数的界，使用变限积分形式的通解公式〕定解为由于，故有【2002】求方程的解函数，使得解函数与直线以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。答案：【2001】假设满足，。求的和函数。答案：【题型3】【方程形式变化～变量对换，代换的运用】〔6〕〔交换变量的地位〕解写成:得到函数的线性方程.,通解为练习①〔7〕〔代换〕答案：〔8〕〔代换〕答案：练习②练习③练习④〔9〕〔代换答案一阶线性方程的单项选择题思路：求同，排异；手段：几何作图；直接计算；选取特例。设有一阶齐次微分方程，处处连续。那么不是其通解的函数为A.B.C.D.②设微分方程有一个特解，那么对于初始条件，方程的特解是：A.B.C.D.§3.2二阶线性微分方程A．知识概述线性二阶微分方程：[齐次]，[非齐次],2〕线性二阶微分方程通解构造：齐次通解=两个不成比例的齐次特解之组合：非齐次通解=齐次通解＋非齐特解：3〕解的叠加原理：⑴非齐次项:设函数是方程的解，那么是方程的解。⑵齐次解的线性组合还是齐次解⑶非齐次解+齐次解=非齐次解⑷非齐次解-非齐次解=齐次解4〕常系数线性二阶微分方程求解法齐次方程的求解步骤-----解特征方程-----由特征根写出根本解组根根本解组–1，03，3±5i2±3i-----写通解非齐次方程的求解步骤------写对应的齐次方程的通解------写出非齐次解的待定形式〔六字法〕------代入原方程求中的待定系数------叠加得解同类型：指保持中指数函数正余弦函数特征，保持多项式阶数不变而系数待定。再调整：乘或。写待定式举例非齐次项特征根根本解组要写成的1，50，1，0，01，2，8，2，2，统一规那么假设那么假设,那么特解叠加原理对方程可以就写，就写，相加得特解：注意以代入方程确定待定系数时，可用以下等式简化计算。B．常见题型【题型1】【根本问题：求通解，特解；写或选】【题型2】【综合问题：对解函数继续讨论：极限，积分，大小估计】【题型3】【代换问题：通过给定的变量代换，使得在新变量下方程变简单，然后求解】【题型4】【方程建立：知道方程的解，利用解的结构求出方程】C.范例分析【题型1】【根本问题—依据标准方法求解】〔1〕填空题真题①的通解_________________②的通解__________________③通解_________________解①代入求系数.填②代入求系数.填③求系数.填【2022】练习①②〔2〕写的特解待定式.解于是时时练习③的特解形式可设为。【题型2】【综合问题～解函数的继续讨论】求分析相当于齐次线性方程求定解+广义积分解特征方程通解代入初始条件故,【题型3】【变量对换或者代换～方程变形后求解】〖对换〗【2003】将换作以为因变量的微分方程.并求在初始条件下方程的解.解将用表示(考察微分运算).，回代后得求得通解再求定解〖因变量代换〗令，对化简并求解。解用表示.直接求得：移项=方程化为解得〖自变量代换〗【2005】数学二使用代换化简，并求其满足的解。解令，得化简的〔考察微分计算〕的方程，(初始条件不动)再依据常系数线性齐次微分方程求解便可成功：定解【题型4】【给解函数～构造方程～求解】使用叠加原理造线性微分方程某二阶非齐次线性微分方程的三个解，，求此二阶非齐次线性微分方程及其通解.解〔应用叠加原理求出齐次方程的根本解组，再设法推出特征值，得到特征方程后便可写出齐次微分方程，再代入一解函数，便可以定出非齐次项〕由，得齐次方程的解函数及特征值:；由，得齐次方程的解函数及特征值:；于是,特征方程为或微分方程为最后代入，得而通解为〔2〕由通解中消除任意常数得方程〔齐次，给两个解〕是某二阶齐次线性微分方程的解函数，建立此微分方程。解为通解，故此题相当于由通解求方程。两边对求导两次：消去便得到所求的二阶线性〔变系数〕微分方程：一解及方程的架构，求此线性微分方程及其通解方程有一解，那么通解为解以解函数代入,得恒等式:比照系数，得故方程为由得故通解.练习④假设是常系数方程的一个解，那么其通解为
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