第二章 电网络分析与综合

第二章网络图论和网络方程本章是通过线图既点和线联结而成的几何图形，抽象模拟比较复杂的电网络，从而对形象直观的线图性质进行研究，得到各种系统的分析综合方法。§2.1网络的图和图论基本术语一、元件的线图1．二端元件的线图：用两个节点和一条支路表示。2．三端元件的线图可用三个节点和两条支路表示依此类推，对n端元件，如果存在m个独立的端子电流或m个独立的端对电压，则可抽象成m条支路n个节点的线图。二、网络的线图(lineargraph)突出电路结构特征二、网络的线图(lineargraph)当只用点（节点）和线（支路）抽象出的与原电网络具有相同联结方式的几何图形，更突出体现了电路的结构特征.图1-1(a)电路图图1-1(b)网络线图三、图论的基本术语线图:线图是节点和支路组成的集合，其中每条支路的两端都联到相应的节点上，常用符号G表示。有向图(directedgraph)：子图(subgraph)：连通图(jointgraph)：回路(loop)：1.树(tree)1)连通子图;2)包含全部节点;3)不形成回路树支(treebranch)：属于树的支路称为树支(treebranch)，其余支路称为连支(linkbranch)。树支数=节点数-1连支数=支路数-树支数2.割集(cut-set)1)是连通图的一个支路集合；2)若移去此集合中全部支路，则图变成两个分离的部分；3)若留下该集合中的任一支路，则剩下的图仍是连通的支路集合{1,2,4}、{1,3,4,6}是割集；支路集合{2,3,5}、{3,4,5,6}不是割集。3.基本割集(fundamentalcut-set)对线图任选一树，取一树支和若干必要连支做出的单树支割集，称为基本割集。基本割集的方向规定为所含的树支方向。树支1、2、3分别对应基本割集C1、C2、C34.基本回路(fundamentalloop)对线图任选一树，取一条连支和若干必要树支形成的单连支回路，称为基本回路，基本回路的方向规定为所含的连支方向树支1、2、3，对应连支4、5、6的3个基本回路分别l1、l2、l3基尔霍夫电流定律表述成：集中 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 电路中，流入任意割集各支路电流的代数和恒等于零。割集C1：割集C2：割集C3：基本割集的KCL方程是一组独立方程,方程的数目等于树支数可见，树支电流可以表达成连支电流的线性组合。在全部支路电流中，连支电流是一组独立变量，个数等于连支数基本割集列出的(n-1)个KCL方程只是保证独立的充分非必要条件§2.2独立的基尔霍夫定律方程一、独立的基尔霍夫电流定律方程推广为一般情况：基本割集的基尔霍夫电流定律方程是一组独立方程，方程的数目等于树支数，基本割集是一组独立割集。结论：在全部支路电流中，连支电流是一组独立变量，连支电流个数等于连支数。连支电流是全部支路电流集合的一个基底（basis）。回路l1回路l2回路l3对基本回路列写的基尔霍夫电压定律方程是一组独立方程，方程的数目等于连支数变换得说明连支电压可以用树支电压的线性组合表示。在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量，个数等于树支数取基本回路是列写独立KVL方程的一个充分非必要条件。二、独立的基尔霍夫电压定律方程推广到一般情况：在基本回路上列写的基尔霍夫电压定律方程是一组独立方程，方程的数目等于连支数，基本回路是一组独立回路。结论：在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量。树支电压是全部支路电压集合的一个基底。§2.3基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式一、关联矩阵(incidencematrix)：表示电路的节点、支路及其联结关系，用A表示。对于n个节点b条支路的线图，行对应n-1个节点，列对应支路，元素为关联矩阵是网络线图的一种数学表示，这种表示便于对线图进行各种数学计算。关联矩阵可以从已知的线图根据定义得到；反过来，从已知的关联矩阵，不难画出对应的网络线图。二、基尔霍夫电流定律方程的关联矩阵形式对线图的独立节点①、②、③列KCL方程并表达成矩阵形式为推广，将b个支路电流写成支路电流列矢量则基尔霍夫电流定律的关联矩阵形式为AI＝0选图中的④号节点为参考点，用节点电压之差表示支路电压，并写成矩阵形式：推广，b条支路，n个节点，第n号节点为参考节点，支路电压和节点电压列矢量分别记作则基尔霍夫电压定律的关联矩阵形式是三、基尔霍夫电压定律方程的关联矩阵形式四、基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式基本回路矩阵(fundamentalloopmatrix):描述基本回路与各支路的关联关系，用B表示。B的行对应基本回路、列对应支路，B是矩阵，其元素为：对图所示的基本回路列写KVL方程，并表达成矩阵形式：对图1-4所示的基本割集依次列写KCL方程并写成矩阵形式得扩展到全部支路电流，则是连支电流列矢量为则基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为五、基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式基本割集矩阵(fundamentalcut-setmatrix)：基本割集与各支路的关联关系，用C表示。矩阵的行对应基本割集，列对应支路，其元素为:基尔霍夫定律表达成基本割集矩阵形式对图所示的基本割集列写KCL方程，并表达成矩阵形式推广，设I表示支路电流列矢量，则基尔霍夫电流定律的基本割集矩阵形式是基尔霍夫电压定律对图示的基本回路列KVL方程并写成矩阵形式扩展到全部支路电压便得推广，设树支电压列矢量为则基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式是六、网络矩阵之间关系1.关联矩阵与基本回路矩阵的关系对同一线图写出关联矩阵A、对应同一树的基本回路矩阵B和基本割集矩阵C2．基本回路矩阵与基本割集矩阵的关系七、支路方程的矩阵形式引入图示的广义(generalizedbranch)支路广义支路的支路方程可以表示成或写出每一广义支路的支路方程，并表达成矩阵形式其中U、I分别称为支路电压列矢量与支路电流列矢量；支路源电压与支路源电流列矢量；对角矩阵、分别称为支路阻抗矩阵与支路导纳矩阵。若逆矩阵存在，则或当电路中含有受控电源时图中含VCCS支路的支路方程为与其它支路方程合写成矩阵形式支路导纳矩阵推广：设支路i是VCCS的被控支路，受支路j导纳上的电压控制，控制系数为，则支路导纳矩阵的i行j列元素将产生的增量。当控制电压、被控电流分别与支路j和支路i方向一致时，前面取“＋”号；否则，每改变一个方向，的前面变号一次。按照这一规则便可直接写出含有VCCS的支路导纳矩阵。当含有其它受控电源时？利用电源等效变换，将其全部等效成VCCS当直接列写含有受控源电路的支路阻抗矩阵时？将全部受控电源等效成电流控制电压源CCVS，然后仿照支路导纳矩阵的列写规则列写支路阻抗矩阵即可当电路中含有互感元件时，其支路阻抗矩阵可以直接列写。设i、j支路间含有互感Mk，如图1-8所示。其支路方程的矩阵形式为广义支路仍有局限性，如对于纯电压源、纯电流源支路。尤其对于含有理想变压器、VCVS或CCCS的电路，必先进行等效变换，为了增强支路方程的适用性，可将其推广为如下更普遍的形式【例题1】写出题图示电路支路方程的矩阵形式解：画出电路线图如图(b)所示。将纯电压源及理想变压器支路作单独考虑，它们的元件方程分别是写成矩阵形式其中与电阻元件的欧姆定律方程联立，写出支路方程矩阵形式2.4直接分析法一、阻抗矩阵法二、导纳矩阵法例：求图所示正弦电流的支路电流向量。解：注意符号由得§2.5节点方程、割集方程和回路方程一、节点方程【例题】利用节点方程法列写图示电路节点方程的矩阵形式，并求出各广义支路的电压和电流。解：二.割集方程的矩阵形式三、回路方程的矩阵形式§2.7改进节点方程的矩阵形式①③②④⑤⑦⑥④代入⑦②代入⑤③代入⑥将⑧代入①得⑧⑨⑩⑾令将⑾⑩⑨合写为一个向量方程例：在图所示的电路中，如以和为直接求的支路电流，建立改进的节点方程。§2.7含零泛器电路的节点方程零器（nullator）和泛器（norator）是两个奇异网络元件，或称病态网络元件，它们可用以近似地描述某些有源器件。零器是一个二端元件，其电压和电流均为零，即零器支路既是短路，又是开路。零器可用下式定义u=0，i=0§2.7含零泛器电路的节点方程泛器是一个二端元件，其电压和电流均可为任何值；泛器可用下式定义u=kl，i=k2（kl，k2为任意值）§2.7含零泛器电路的节点方程晶体管和运算放大器是最常用的有源器件。图(a)、（b）分别表示理想的晶体管和理想运算放大器的零泛器模型。设网络具有N+1个节点、k对零泛器：在建立节点方程前，我们把全部零器和泛器都移去（将所在支路暂时断开），则剩下的网络共有2k个端口。选定参考节点，列写节点方程（1）将网络中原有的零器和泛器逐一接入网络。若在端子i和j之间接入一个零器，由于零器的电压为零，故左端节点电压向量中Uni=Unj。因此，将节点导纳矩阵中第j列元素加到第i列元素中去，并删去第j列元素及节点电压向量中的相应变量Unj。按同样方式将k个零器全部接入电路，则节点导纳矩阵Yn越变为N×(N-k）矩阵，这样得到的向量方程所表示的方程组中，方程数（N）较变量数(N-k）多k个，即有k个冗余方程。将零器接入网络后，再接入泛器。若在端子p、q之间接入一个泛器，设此泛器的电流为Iqp，考虑该支路接入对节点方程的影响，上式变为方程（3）Iqp可为任何值，它决定于整个网络的约束关系。不希望保留方程（3）右端向量中的Iqp。将方程（3）的第q个方程与第p个方程相加，这样既消去Iqp，又可以去掉一个冗余方程。由此，在电路中接入一对零泛器，节点导纳矩阵变为N-1阶方阵，节点电压同量为N-1个元。若将k对零泛器全部接入电路，则节点导纳矩阵将变为N-k阶方阵，节点电压向量为N-k个元。若节点i、j之间的零器的一端j接地，则Uni=Unj=0。因此应直接删去矩阵Yn中的第i列元素和节点电压向量中的变量Uni。若节点q、p间的泛器的一端q接地，应直接删去矩阵Yn中的第p行元素，并同时删去节点电源电流向量中的Inp。将上述形成节点方程的步骤归纳如下：移去所有零器和泛器（将其暂时断开）。列写网络的节点方程，此时节点导纳矩阵为N阶方阵。逐个接入零器。若在节点i、j间接入一个零器，设i、j二节点均不接地，则将矩阵Yn的第j列元素加到第i列元素上，并消去第j列元素和节点电压向量中的变量Unj。如果节点j接地，则直接从矩阵Yn中删去第i列元素和节点电压向量中的变量Uni。逐个接入泛器。若在节点q、p间接入一个泛器，设q、p二节点均不接地，则将矩阵Yn的第q行元素加到第p行元素上，并删去第q行元素，而节点电源电流向量中第p个元素为Inp+Inq，同时去掉第q个元素Inq。如果节点q接地，则直接删去矩阵Yn的第p行元素，同时删去节点电源电流向量中的Inp。例2-4列写下图所示电路的节点方程。解：以节点⑥为参考节点，断开零泛器后，节点导纳矩阵为节点电源电流向量为由于节点①和节点④之间接有一个零器，将Yn（s）矩阵中第4列元素加到第1列元素中去，删去第4列元素，同时删去节点电压向量中的变量Un4。节点②和节点⑤间接有一个泛器，将Yn（s）矩阵中第5行加到第2行元素中去，并去掉第5行元素，同时删去In（s）向量中第5个元素，得到节点方程如下：例2-5下图中的运算放大器为理想运算放大器。求转移电压比H(s)=U2(s)/U1(s)解：零泛器模型如下图节点电压向量为：Un=[U①U②U③U④U⑤]T节点电源电流向量为：断开所有零泛器后，节点导纳矩阵为因为节点①、③和节点③、⑤之间分别接有一零器，将Yn中第5列和第3列元素加到第1列元素中去，并删去第5列和第3列元素，同时删去节点电压向量中的U③和U⑤。由于节点②、⑥之间和节点④、⑥之间分别接有一泛器，⑥接地，从Yn中直接删去第2行和第4行元素，同时删去In中第2个和第4个元素。求解方程，并考虑到U④=U2，可得§2.8混合变量方程树支电压形成所有支路电压的一个基底集合，用树支电压可以表示出网络中全部支路电压。连支电流形成所有支路电流的一个基底集合，用连支电流可以表示出网络中全部支路电流。因此，我们可以通过选树来选择一组独立的混合变量（既有电流又有电压）作为网络变量，建立混合的元件VCR向量方程，以适应各类非源元件VCR表达的需要。对于一个给定的网络，选择一个适当的树式中u、I为非源元件（包括无源元件和受控源等非独立源元件）的电压、电流；将其中矩阵Qf按先树支后连支分块后有矩阵Bf按先树支后连支分块由于，则式(2-8-4)可写为非源元件的混合变量VCR向量方程为式中Zl为连支阻抗矩阵，Yt为树支导纳矩阵，Hl2中的元素具有电压比性质，H21中的元素具有电流比性质。将式(2-8-6)代入式(2-8-2)和式(2-8-5)，经整理后得将以上二式合为一个向量方程，得上式表示一组以树支非源元件电压和连支非源元件电流作为网络变量的混合变量方程。网络变量数等于支路数。H12当网络中不含多端元件时，H12=H21=0。将第二式代入第一式可得割集方程。将第一式代入第二式可得回路方程。元件特性只具有导纳表示式的元件宜选作树支，只具有阻抗表示式的元件宜选作连支。R、L、C元件具有阻抗和导纳两种表示式，因而既可被选作树支，又可被选作连支。回转器也具有阻抗和导纳两种表示式，但回转器的一个支路电压与另一支路电流有关，故两条支路必须均选为树支，或均选为连支。CCVS只具有阻抗表示式，它的两条支路必须均选为连支。VCCS只有导纳表示式，它的两条支路必须均选为树支。理想变压器和负阻抗变换器，它们的元件特性既不能用阻抗参数，也不能用导纳参数表示，而是具有两支路电压与电压、电流与电流之间的关系式，因此，应任选两条支路之一为树支，另一为连支。VCVS的二支路电压之间存在控制关系，故其一应为树支，另一应为连支要能够写出式（2-8-6）形式的元件VCR方程，必须把控制支路选为树支，受控支路选为连支。同理，CCCS的控制支路应为连支，受控支路应为树支。例2-6列写下图所示网络的混合变量方程。解：选取支路bl、b2、b3、b4、b5为树支，粗实线表示树支。CCCS的控制支路（b9）选为连支，受控支路(b4)选为树支。回转器两支路（bl、b2）均选为树支。非源元件的混合变量VCR向量方程为由式（2-8-11）有支路电流源向量和支路电压源向量分别为H122-9撕裂法2-9-1节点分析2-9-1节点分析2-9-1节点分析前提:剩余支路是可断图,仅有一个断点.关联矩阵A按剩余支路和撕裂支路可分块2-9-1节点分析支路电流、电压、电流源、电压源向量也可分块：2-9-1节点分析支路阻抗矩阵、导纳矩阵也可分块：2-9-1节点分析根据KCL与KVL，可得2-9-1节点分析由一般支路VCR可得2-9-1节点分析由上面四个式子，可得，并写出矩阵形式2-9-1节点分析移去撕裂支路后，剩余支路分裂为多个相互分离的子网络。原来网络的参考节点只属于一个子网络。现对每个子网络选一个参考节点，这些节点的集合用表示，不属于的则用表示，则关联矩阵A可分块为：2-9-1节点分析将支路电流、电压、电流源、电压源向量也可分块：2-9-1节点分析支路阻抗矩阵、导纳矩阵也可分块：2-9-1节点分析节点电压向量分块为：2-9-1节点分析根据KCL与KVL，可得2-9-1节点分析由一般电路VCR可得2-9-1节点分析联立以上式子，可得：这是撕裂节点方程，更具有一般性。