第1课时等比数列的定义必备知识·素养奠基1.等比数列一般地,如果数列{an}从第__项起,每一项与它的_______之比都等于_______常数q,即________恒成立,则称{an}为等比数列,其中q称为等比数列的公比.前一项同一个2【思考】(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.(2)怎样利用递推公式
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示等比数列?提示:=q(n≥2)或=q(q≠0).2.等比数列的通项公式首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为_________.3.等比数列的通项公式与函数由an=a1qn-1=×qn,记f(x)=×qx,可看成an=f(n),而且(1)当公比q=1时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是_______(因此,公比为1的等比数列为_______);(2)当公比q≠1时,f(x)是与y=qx的乘积,此时,f(x)的增减性既与a1有关,也与q有关.常数列常数列【思考】等比数列的单调性与a1和q有什么关系?提示:递增数列a1>0,q>1a1<0,0
0,014.两个结论(1)数列{an}是等比数列的充要条件是______,其中k,q都是不为0的常数;(2)等比数列中,所有奇数项的符号_____,所有偶数项的符号_____.an=kqn相同相同【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列.( )(2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列.( )(3)等比数列{an}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列.( )提示:(1)×.应等于同一个常数.(2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.2.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选D.由于公比q=-<0,所以数列{an}是摆动数列.3.在等比数列{an}中,a1=-3,a4=81,则an=________. 【解析】设等比数列{an}的公比为q,因为a1=-3,a4=81,所以81=-3×q3,解得q=-3,则该数列的通项an=(-3)×(-3)n-1=(-3)n.答案:(-3)n关键能力·素养形成类型一 等比数列基本量的计算【典例】1.在等比数列{an}中,若a2=3,a5=-24,则a1=( )A.B.-C.-D.2.已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q=( )A.4B.3C.2 D.3.在公比为整数的等比数列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=,则{an}的通项公式an=________. 【思维·引】1.用a1,q表示出a2,a5代入解题.2.将条件用a1,q表示,消元求公比.3.联立方程组,利用两式相除计算解题.【解析】1.选C.设公比为q,则==q3=-8,则q=-2,则a1==-.2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以且q>0,解得a1=,q=2,所以公比q=2.3.设等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a3=-2,a1+a3=,所以两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,由公比q为整数可得,q=3,a1=.所以an=3n-2.答案:3n-2【内化·悟】计算等比数列的基本量时常用到哪种运算?提示:常用到两式相除.【类题·通】关于等比数列基本量的运算(1)基本量:a1,q,n,an;(2)联系:基本量之间的联系就是通项公式an=a1qn-1,将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算.【习练·破】1.(2020·天津高二检测)在等比数列{an}中,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则a5=( )A.12B.18C.24D.36【解析】选C.根据题意,在等比数列{an}中,设其公比为q,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则6-6q2+6q4=78,解得q2=4或q2=-3(舍),故a5=6q2=24.2.(2020·开封高二检测)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a1=( )A.1B.2C.-D.-1【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2=-1,a1-a3=-3,所以a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,显然q≠±1,解得a1=1,q=-2.【加练·固】已知an=625,n=4,q=5,求a1.【解析】a1===5,故a1=5.类型二 等比数列的判定角度1 利用定义
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等比数列【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1.证明:{an+1}是等比数列.【思维·引】证明为常数,或整体构造证明.【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1=an+,====,所以=.方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),所以=.所以是以为公比的等比数列. 【素养·探】 在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明.若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,证明:{an+1}是等比数列.证明:因为an+1=2an+1,所以===2,所以{an+1}是以2为公比的等比数列.角度2已知Sn与an的关系证明等比数列【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=an+b(n∈N+,b∈R,b≠0).(1)求证:{an}是等比数列;(2)求证:{an+1}不是等比数列.【思维·引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)算出数列的前三项进行证明.【证明】(1)因为Sn=an+b,所以当n≥2时Sn-1=an-1+b,两式相减得Sn-Sn-1=an+b-an-1-b,所以an=an-an-1,所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,故{an}是公比为q=3的等比数列.(2)令n=1,则S1=a1+b,所以a1=-2b,所以a2=-6b,a3=-18b,所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,(a2+1)2=1+36b2-12b.(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故数列{an+1}不是等比数列.【类题·通】关于等比数列的证明(1)定义法①涉及an+1,an,an-1的式子,将关系式代入后证明或(n≥2)为常数.②涉及Sn与an的式子,则利用an=Sn-Sn-1,n≥2,消去Sn,判断an,an-1或an+1,an的关系证明.(2)等比中项法证明=an-1an+1(n≥2)即可,常用于证明表达式较为复杂的三项成等比数列.【习练·破】(2020·西城高二检测)已知等比数列{an}的前n项和Sn=p-23-n,其中n∈N+.(1)求p的值及数列{an}的通项公式;(2)判断数列{}和{nan}是否为等比数列?证明你的结论.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.因为Sn=p-23-n,所以S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1,所以a1=p-4,a2=2,a3=1,因为数列{an}为等比数列,所以q=,所以==,所以p=8,a1=4,所以an=4×=23-n;(2)数列{}是等比数列,{nan}不是等比数列.证明如下:由(1)得=(23-n)2=43-n,所以==,所以数列{}是以为公比的等比数列,由(1)可得,{nan}=n·23-n,其前3项分别为4,4,3构不成等比数列,故{nan}不是等比数列.【加练·固】已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.【解析】由已知得an=2+(n-1)×(-1)=3-n,故====2,所以数列{bn}是等比数列.因为b1==,所以bn==2n-3.1.已知数列{an}是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6=( )A.15B.24C.32D.64【解析】选C.由a1=1,a4=8可得公比q=2,故a6=a1q5=32.课堂检测·素养达标2.在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3=3,则公比q的值为( )A.-B.-1C.-或1D.-或-1【解析】选C.因为a1+a2=a1·(1+q)=6,a3=a1·q2=3,所以=2,整理,得2q2-q-1=0,解得q=1,或q=-.3.已知数列{an}中,an+1=2an,且a3=12,则a1=________. 【解析】因为an+1=2an,所以=2,所以公比为2,因为12=a3=2a2,所以a2=6.因为6=a2=2a1,所以a1=3.答案:34.若等比数列{an}满足a1=,a2a3=2,则a7=________. 【解析】设等比数列{an}的公比为q.因为等比数列{an}满足a1=,a2a3=2,所以q·q2=2,解得q=2,所以a7=×26=32.答案:32【新情境·新思维】已知等比数列{an},则下面对任意正整数k都成立的是( )A.ak·ak+1>0B.ak·ak+2>0C.ak·ak+1·ak+2>0D.ak·ak+3>0【解析】选B.根据题意,依次分析选项:对于A,当q<0时,ak与ak+1异号,则ak·ak+1<0,A错误;对于B,ak·ak+2=ak·ak·q2=(ak·q)2>0,B正确;对于C,ak·ak+1·ak+2=(ak+1)3,则ak·ak+1·ak+2>0不一定成立,C错误;对于D,ak·ak+3=·q3,则ak·ak+3>0不一定成立,D错误.课时素养评价七 等比数列的定义【基础练】(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4=( ) A.3B.9C.27D.36【解析】选C.根据题意,设等比数列{an}的公比为q,若2a2为3a1和a3的等差中项,则有2×2a2=3a1+a3,变形可得4a1q=3a1+a1q2,即q2-4q+3=0,解得q=1或3;又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,则q=3,a1=1,则an=3n-1,则有a4=33=27.2.(2020·海淀高二检测)公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=( )A.8B.10C.12D.16【解析】选A.公比q=2的等比数列{an}满足a3+a5=4,则a4+a6=q(a3+a5)=2×4=8.3.在等比数列{an}中,若a6=8a3=8则an=( )A.2n-1B.2nC.3n-1D.3n【解析】选A.若a6=8a3=8,所以a2q4=8a2q=8,所以a2=q,q3=8,即q=2,a1=1,所以an=1×2n-1=2n-1.4.(2020·泉州高二检测)已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增,且a1·a3=36,a1+a2+a3=26,则a4=( )A.24B.36C.48D.54【解析】选D.由a1·a3==36,an>0,得a2=6,因为a1+a2+a3=26,所以a1+a3=20,因为a11,则a1>0时即可满足等比数列{an}递增,若q<0,则{an}为摆动数列.不满足递增.取a1=1,则{an}的前三项依次是1,2,4.答案:1,2,4(填首项为正数,公比为2的等比数列均可)三、解答题(每小题10分,共20分)7.在等比数列{an}中(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;(2)若a4=2,a7=8,求an.【解析】(1)因为a5=a1q4,而a1=5,q==-3,所以a5=405.(2)因为由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,于是a1=所以an=a1qn-1=8.在等比数列{an}中a3=32,a5=8,(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若an=,求n.【解析】(1)因为a5=a3q2,所以q2=所以q=±.当q=时an=a3qn-3=32×=28-n;当q=-时,an=a3qn-3=32×=(-1)n+1·28-n.所以an=28-n或an=(-1)n+1·28-n.(2)当an=时28-n=或32×=,解得n=9.【能力练】(15分钟·30分)1.(5分)已知等比数列{an}的首项为1,且a6+a4=2(a3+a1),则a1a2a3…a7=( )A.16B.64 C.128D.256【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,因为a6+a4=2(a3+a1),所以q5+q3=2(q2+1),解得q3=2.则a1a2a3…a7=q0+1+…+6=q21=27=128.2.(5分)(2020·吉林高二检测)长久以来,人们一直认为黄金分割比例是最美的,人们都不约而同地使用黄金分割,如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例(≈0.618称为黄金分割比例),这样的矩形称为黄金矩形,黄金矩形有一个特点:如果在黄金矩形中不停地分割出正方形,那么余下的部分也依然是黄金矩形,已知图中最小正方形的边长为1,则矩形ABCD的长为________(结果保留两位小数)( ) A.10.09B.11.85C.9.85D.11.09【解析】选D.根据题意,如图:若图中最小正方形的边长为1,即HP=1,则矩形HPLJ中,LP=HJ=则在矩形HJIF中,HF=同理:FC=DC=则BC=≈11.09.3.(5分)(2020·桂林高二检测)已知等比数列{an}中,a1=3,=a4,则a5=________. 【解析】因为a1=3,=a4,所以(3q2)2=3q3,解可得q=,所以a5=3×答案:4.(5分)在数列{an}中,a2=,a3=,且数列{nan+1}是等比数列,则an=________. 【解析】因为数列{an}中,a2=,a3=,且数列{nan+1}是等比数列,2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,所以数列{nan+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以nan+1=2n,解得an=答案:【加练·固】等比数列{an}中,a4=2,a5=4,则数列{lgan}的通项公式为________. 【解析】因为a5=a4q,所以q=2,所以a1=所以an=·2n-1=2n-3,所以lgan=(n-3)lg2.答案:lgan=(n-3)lg25.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n,(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)因为an+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,两式相减得:an+1-an+an+1=1整理得:an+1-1=(an-1).又因为cn=an-1,所以cn+1=cn,又因为a1+a1=1,即a1=,所以c1=a1-1=-1=-,所以数列{cn}是以-为首项、为公比的等比数列;(2)由(1)可知cn=an-1=-·所以an=1-.【培优练】1.(多选题)(2020·临沂高二检测)已知数列{an}是正项等比数列,且则a5的值可能是( )【解析】选ABD.依题意,数列{an}是正项等比数列,所以a3>0,a7>0,a5>0,所以因为a5>0,所以上式可化为a5≥2,当且仅当a3=,a7=时等号成立.2.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若任意n∈N+,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.【解析】(1)设{an}的公差为d,则d==4,所以an=2+(n-1)×4=4n-2,故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N+).设cn=an-bn,则{cn}为等比数列.c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,设{cn}的公比为q,则q3==8,故q=2.则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.所以bn=4n-2-2n-1(n∈N+).故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N+).(2)由题意,bk应为数列{bn}的最大项.由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(n∈N+).当n<3时,bn+1-bn>0,bn3时,bn+1-bn<0,bn>bn+1,即b4>b5>b6所以k=3或k=4.
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