高等数学_小论文_浅谈多元函数微积分学理论与应用

浅谈多元函数微积分学理论与应用 国际合作教育中心 计算机11-5班 学号:20113311 摘要:本文主要说明了多元函数微分的理论知识，还有具体的一些应用，并且还举了一些关于多元函数微分的一些典型例题。 关键词:多元函数微积分 重积分 曲线积分 曲线积分的面积 正文 在我们的生活中，很多时候一个事物的变化是由许多其他事物共同作用的结果，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。我们在研究这类问题时，需要建立数学模型，来更好的研究变量的性质和它们之间的作用关系等等，这就是为嘛我们要学习多元函数微积分学。 多元函数微分学 1、多元函数的概念 例、圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间的具有关系 2V=πrh 这里r、h在集合,(r、h),r>0，h>0,内取定一对值(r，h)时，V的对应值随之确定。 2定义 设D是R的一个非空子集，称映射f:D?R为定义在D上的二元函数，n通常记为 z=f(x，y)，(x，y)?D，把定义中的D换成n维空间R内的点集D，映射f:D?R就称为定义在D上的n元函数。 多元函数的定义域的求法与一元函数类似，也是先写出其构成部分的各简单函数的定义域的不等式，然后解联立不等式组，得出各变量的依存关系，即定义域。 与一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和定义关系有关，而与用什么字母 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示自变量和因变量无关。 第一节还有几个“集”的概念，比较重要的像连通集:点集D中任意两点均可用完全落在D中的折线连接起来 2、多元函数的极限 定义 设二元函数f(P)= f(x，y)的定义域为D，P(x，y)是D的聚000点，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P(x，y)?D?U(P，δ)时，都有,f(P)-A,=, f(x，y)-A,<ε成立，那么0 就称常数A为函数f(x，y)当(x，y)?(x，y)时的极限，记作lim f(x，00 y)=A。 与一元函数极限不同的是:二元函数的极限要求点P(x，y)以任何方式、任何方向、任何路径趋向于P(x，y)时，都有f(x，y)?f(x，y)。 00000 3、多元函数的连续性 定义 设二元函数f(P)= f(x，y)的定义域为D，P(x，y)是D的聚000点，且P?D，如果lim f(x，y)=f(x，y)，则称函数f(x，y)在点P(x，00000y)连续。 0 在有界闭区域上连续的函数有这样一些性质?有界性?最大值、最小值?介值。 定义 设函数f(x，y)的定义域为D，P(x，y)是D的聚点。如果函数000 f(x，y)在点P(x，y)不连续，则称P(x，y)为函数f(x，y)的间断000000 点。 4、偏导数的定义 其实就是把一个自变量看成常数再对另一个自变量求导。要注意的就是:对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P时，函数f0(P)趋于f(P)，但不能保证点P按任何方式趋于P时，函数值f(P)都趋于00 f(P)。 多元函数对子变量可导与否与函数在某一点是否连续无关。它的几何0 意义就是:Z在x，y处对X的偏导数表示曲面Z= f(x，y)与平行与xoz平00 面y= yx交线上过点(x，y)的切线斜率。 000 一般讲求某点处的偏导数是先求偏导函数，然后再求偏导函数在该点处的值。多元函数求偏导问题的实质仍是一元函数的求导问题，故一元函数的求导公式、法则仍可直接应用。求偏导时，关键是要分清对哪个变量求导，把哪个变量暂时当作常量。 分段函数在分界点处的偏导数用定义求。 高阶偏导数:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关，同样，二阶以上的高阶混合偏导数在相应高阶偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。 5、全微分的定义 定义 若在点的全增量可以写成 ，其中、与、无关， AB ，则称在点处可微，且称为 在点全微分. 注意，在多元函数中，个偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。即“可微一定可导，可导不一定可微”通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。还有就是对分段函数在分段点处的可微性，应按定义判定。 6、多元复合函数的求导法则 有三种情况，注意全微分形式不变性就行了。 7、隐函数的求导公式 细分的话有三类，就是三个公式，特别注意每个公式等号右边都有个负号。 8、多元函数微分学的几何应用 一个是求空间曲线的切线都和法平面，一个是求曲面的切平面的法线。这里还提到了方向余弦的求法。 9、方向导数与梯度 描述多元函数的在某点处的一般变化率的是梯度，而梯度是一个向量，因此它在某个确定的点处是具有确定的方向的。而在实际应用当中，我们不只是需要知道函数在梯度方向的变化率，也还要求知道其他特定方向的变化率，这种根据特定方向而计算出来的变化率，称为方向导数。 10、多元函数的极值及其求法 定义比较简单。 定理1 设函数z= f(x，y)在点(x，y)具有偏导数，且在点(x，y)0000处有极值，则有f(x，y)=0，f(x，y)=0。 x00y00 定理2 设函数z= f(x，y)在点(x，y)的某邻域内连续且有一阶及二00 阶连续偏导数，又f(x，y)=0，f(x，y)=0，令f(x，y)=A，f(x，x00y00xx00xy0y)=B，f(x，y)=C，则f(x，y)在(x，y)处是否取得极值的条件如下: 0yy0000 2(1)AC-B>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值; 2(2)AC-B<0时没有极值; 2(3)AC-B=0时可能有极值，也可能没有极值，需另讨论。 条件极值 拉格朗日 自变量有附加条件的极值称为条件极值。在求解具有等式约束条件的条件极值问题时，一般并不是从约束等式解出一个变量，再代入目标函数，因为从约束等式解出一个变量往往并不简单，反而相当麻烦，因此，我们一般使用所谓的拉格朗日乘数法。 拉格朗日乘数法 要找条件极值，先做拉格朗日函数 ，其中k为参数，求其对x与y的一阶偏导数后可得由这方程组解出x，y及k，这样得到的(x，y)就是函数f(x，y)在附加条件下的可能极值点。 重积分 1、二重积分的概念与性质 2、二重积分的计算法 一是利用直角坐标计算二重积分，要注意判断积分区域是X型还是Y型;二是利用极坐标计算二重积分，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成ρcosθ、ρsinθ，并把直角坐标系dxdy22换成极坐标系中的面积元素ρdρdθ。当遇到f(x，y)中含有x+y时,就应该马上想到用极坐标 3、三重积分的概念 4、三重积分的计算 利用直角坐标计算三重积分;利用柱面坐标计算三重积分;利用球面坐标计算三重积分。 5、重积分的应用 求曲面的面积;求质心;求转动惯量;求引力。 曲线积分与曲面积分 将积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片平面的情形 1、 对弧长的曲线积分的概念和性质 这儿有一个可积性的问题:光滑或分段光滑曲线L上连续的函数可积。 2对弧长的曲线积分的计算法 说白了就是求导和定上下限，注意下限一定小于上限。 3、对坐标的曲线积分的概念和性质 ?线性性质 ?区域可加性 ?有向性 4、对坐标的曲线积分的计算法 因为它的参数t取值范围的确定由积分路径的起点和终点来对应，所以注意下限不一定小于上限。 5、两类曲线积分之间的联系与区别 第二类曲线积分和第一类曲线积分的一个区别就是第二类积分有方向之 别。 通过切向量的方向余弦来转换。 6、格林公式及其应用 当积分区域由分段光滑的曲线围成，函数在区域上具有一阶连续偏导数， 就可用格林公式了。 7、平面上曲线积分与路径无关的条件 这里有一个“奇点”的概念 8、二元函数的全微分求积 9、对面积的曲面积分 通过公式化成二重积分做。 10、对坐标的曲面积分 11、两类曲面积分之间的关系 通过曲面的法向量的方向余弦转化 12、高斯公式 通量与散度 一元，多元 一元函数就像是直线，多元函数则相当于面、体，甚至更复杂的概念。一元函数的许 多性质与多元函数是相似的，所以我们在学习多元函数的时候，可以通过联想一元函数的性 质来记忆。但是我学到现在，发现多元函数比一元复杂了不是一点点，说实在的，就是要复 习;怎么复习呢，就是要做题。 1、 隐函数求导公式 一开始觉得不就是代公式吗，后来复习的时候发现似乎不是这么简单，比如说36页例4，不看 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 就不会做。 2、 重积分的应用 现在的程度是会代公式了，公式怎么来的不是很明白。重积分的应用是比较难的一个点，有时候好不容易列出式子来了还不会算，这就说明在下册书的学习的同时不要忘了上册书的知识。 3、 两类曲面积分之间的关系 4、 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式之间的关系。 其实这些“不明白”是指几何意义上的，我觉得很多东西在几何上明白了就明白了，还记得牢。 举例 22x，3y,12一个限制条件求极值的题——1、试求底边平行于椭圆的长轴的内接 等腰三角形面积的最大值。 解:将椭圆化成 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程，有 22xy，,1 124 B(,x,y)C(x,y)如图所示三角顶点为A(0,2)，另外两顶点和，此处。 x,0,y,0 图 ,ABC于是的面积为 1 S,2,y,2x,(2,y)x2 限制条件为 22x，3y,12,0 22F,(2,y)x，,(x，3y,12)令，则由 ,,Fyx,(2,)，2,0x, Fxy,,，6,0,,y ,22xy，3,12,0, 解出 x,3,y,,1(3,-1)是惟一驻点，也是S最大值点，最大值为 S,(2,y)x,9 max(3,,1) 2,y,x,,:P(1,1,1)一个多元函数微分学几何应用的题——2、求曲线，在点处的,02,x,z,切线方程。 ,解:选为参数，把写成 x x,x, , y,x, ,2,zx, 于是，切向量为 1,,T,1,,2x ,,2x,,在给定点P(1,1,1)处 0 1,,T,1,,2 ,,2,,所求切线方程为 x,1y,1z,1 ,,112 2 2u,xyzMM(1,,1,2)一个方向导数与梯度的题——3、求函数在点处，从指向00 MM(2,1,-1)方向的方向导数，并求函数在点处的最大方向导数。 01 222u,xyz,gradu,,,yz,2xyz,xy解: ,,gradu,2,,4,1 M0 MM101 ,,,,MM,1,2,,3,e,,1,2,,301MM1401 所求方向导数为 19,u,,,,,gradu,e,1,2,,3,1,2,,3,, MM00,l1414函数在点处最大方向导数就是沿着梯度方向的方向导数，其最大值就是梯度M0 的模，有 ,u222 max,gradu,2，(,4)，1,21MM00,l z,xy一个有关偏导数、微分关系的题——4、试证:在点(0,0)处连续，偏导 数存在，但是不可微分。 22x，y解:因为，故 0,xy,,02 limxy,0(x,y),(0,0) 而，因此函数连续性得证。 f(0,0),0 x,0,0fxf(,0),(0,0),f (0,0),lim,lim,0xx,0x,0xx ,f(0,0),0类似地，有，可见两偏导数在(0,0)处都存在 y 若在(0,0)处可微，则 f(x,y) ,,,z,f(0,0)dx，f(0,0)dy，o(,),o(,) xy y,x而当时，有 ,x,,y,zlim,lim 22,,0,,0,(,x)，(,y) x,1xy,lim,,0 ,x,0x2,2由此可见函数在(0,0)处不可微分。 刘福宝 积分学应用与理论 科技创新导报 2006.6.12