高数二重积分习题加答案

高数二重积分习题加答案I=01高数二重积分习题加答案用二重积分求立体的表面积二重积分习题课例1比较丨1=//(x+y)2do与丨2=//(x+y)3do的大小,DD其中D由(x2)2+(y1)2=2围成.y由重积分的性质x+y1I1I212012xx+y=1用二重积分求立体的表面积例2将二重积分化成二次积分丨二JJf(x,y)dxdy,D:x+y=1,xCy=1,x=0所围所围.,1yD先对y积分y=1CxJdxJO11xx1f(x,y)dyxy=xC1C1用二重积分求立体的表面积先对x积分1yI=x=1CyD1]]+JJD1D21y=...

I=01高数二重积分习题加答案用二重积分求立体的表面积二重积分习题课例1比较丨1=//(x+y)2do与丨2=//(x+y)3do的大小,DD其中D由(x2)2+(y1)2=2围成.y由重积分的性质x+y1I1I212012xx+y=1用二重积分求立体的表面积例2将二重积分化成二次积分丨二JJf(x,y)dxdy,D:x+y=1,xCy=1,x=0所围所围.,1yD先对y积分y=1CxJdxJO11xx1f(x,y)dyxy=xC1C1用二重积分求立体的表面积先对x积分1yI=x=1CyD1]]+JJD1D21y=1JdyJO10f(x,y)dx+y+10D2x+/01I=dy/0f(x,y)dxx=y+1C1用二重积分求立体的表面积例3将二次积分换序丨二D:xWyW2axx2JOdxJxya2axx2f(x,y)dy.ax=aa2y2OWxWay2=2axx2即y+(xa)=a又QxWa,.°・xa=ay22222OaxPAGE\*MERGEFORMAT#a0dy/y22aayf(x,y)dx用二重积分求立体的表面积例4将丨二Jdy/00区域边界：区域边界：边界y2R2Ryy2f(x,y)dx变为极坐标形式.即r=2Rsin9n即9=2x=2Ryy2x=0r=2Rsin92R•••丨二Jd9J0n202Rsin9f(rcos9,rsin9)rdrPAGE\*MERGEFORMAT#ex用二重积分求立体的表面积x2例5计算JJ2do,其中D由y二x,y二，x=2xDy解围成.围成.1D:WyWx,1WxW2.xJJy2do=J1dxJDx22x1xxy2D2dyx=J1y2223dx=(xx)dx=9.114用二重积分求立体的表面积例6计算JJyxdo,其中D:1WxW1,0WyW1.2D先去掉绝对值符号，解先去掉绝对值符号，如图JJDyx2do2D3D12D+D21JJ(x11y)do+JJ(yx)doD3D2=JdxJ(xy)dy+JdxJ2(yx201xx211211)dy=.15用二重积分求立体的表面积例7证明JadxJa(xy)证bxxn21bf(y)dy=(by)n1f(y)dy.n1/an2Jadxja(xy)bbf(y)dyyby=xD=JdyJ(xy)n2f(y)dxaya=Jba1n1f(y)(xy)dyn1yboabx1b(by)n1f(y)dy.=n1Ja用二重积分求立体的表面积例8计算解1JOdyjyy1ysinxdx.xJOdyJy1O1xsinxsinxdx=JdxJ2dyOxxx=J(1x)sinxdx=1sin1.用二重积分求立体的表面积x2y2例9设D为圆域x2+y2WR2,求JJ2+2dxdy.abDy解2由对称性1ydxdy=JJ(x2+y2)dxdy2D2ORxJJxdxdy=JJDDx2y2111•••JJ2+2dxdy=2+2JJ(x2+y2)dxdyab2abDDR21112n1411=2+2Jd9Jrrdr二nR2+2.O4b2aabO用二重积分求立体的表面积例1O求半球面z=3axy与旋转抛物面222zx2+y2=2az(a0)所围成立体的表面积.oxy用二重积分求立体的表面积S=S1+S2zz=3a2x2y2共同的D:2x+y2=2azS1S2x2+y2W2a2即z=0oD2ayx用二重积分求立体的表面积S1:z=3a2x2y23azzdxdydA1=1++dxdy=2223axyxy22x2+y2S2:z=2a2azza2+x2+y2dA2=1++dxdy=dxdyxya22所求面积：所求面积：A=A1+A2=JJD3a3axy222dxdy+JJDa2+x2+y2dxdya用二重积分求立体的表面积=3a/2n0de/2a02a02a12nrdr+/d9/a2+r2rdr0a03a2r21=6na/2nrdr+a3a2r212a/2a0a2+r2rdr=3na/+13a2r202ad(3a2r2)na/0a2+r2d(a2+r2)4222二63+6na.33用二重积分求立体的表面积练习题交换下列二次积分的次序:交换下列二次积分的次序12y33yJdyJOI00f(x,y)dx+/dyJ10f(x,y)dx;JdxJR21+1x2xf(x,y)dy;计算下列二次积分：计算下列二次积分：二次积分/0ey2dy/e0y2dx+/RR2ey2dy/R2y20ex2dx;4.J155dx1dy/.yInxy用二重积分求立体的表面积练习题答案JdxJxO223xf(x,y)dy22yy20R2JdyJ01y20f(x,y)dx+/dyJ1Rr2f(x,y)dx).I=/nd9/e240nrdr=n8(1eI=JdxJI5x151dy=JInxdx=4.1InxyInx用二重积分求立体的表面积设(x为［OD关于直线y二x对称，则若闭区域,1］上的正值连续函数，a(xfb)(o)//f(y,x)do1+(x,ydy=证明：证明：JJ(x)D+(y)dDxdy=2(a+b)D为常数，其中a,b为常数，D={(x,y)0Wx,yW1}.ya(x)+b(y)证设I二JJdxdyy=x1(x)+(y)Dy由区域关于直线二x的对称性得a(y)+b(x)OI=//dxdy(y)+(x)D1x1所以，所以2I=]J(a+b)dxdy=a+bI=(a+b).2D

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