三角函数的周期性PPT课件

序曲三角函数知多少正弦函数作代表三角函数讲周期周期当中挑最小三角函数的周期性.三角函数的周期性一、正弦函数的周期二、复合函数的周期性三、周期函数的和函数四、周期函数在高考中五、高考史上的周期大难题六、高考史上的周期大错题三角函数的周期性.一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数y=sinx为代表，是典型的周期函数.幂函数y=xα无周期性，指数函数y=ax无周期性，对数函数y=logax无周期，一次函数y=kx+b、二次函数y=ax2+bx+c、三次函数y=ax3+bx2+cx+d也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.三角函数的周期性.1.正弦函数y=sinx的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP.正弦函数的周期性动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y=sinx的最小正周期2π..2.y=sin(ωx)的最小正周期设ω>0，y=sin(ωx)的最小正周期设为L.正弦函数的周期性按定义y=sinω(x+L)=sin(ωx+ωL)=sinωx.令ωx=x'则有sin(x'+ωL)=sinx'因为sinx最小正周期是2π，所以有.3.正弦函数y=sin(ωx+φ)的周期性对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式正弦函数的周期性y=sin(ωx+φ).二、复合函数的周期性将正弦函数y=sinx进行周期变换x→ωx，sinx→sinωx三角函数的单调性而在以下的各种变换中，如(1)初相变换sinωx→sin(ωx+φ)；(2)振幅变换sin(ωx+φ)→Asin(ωx+φ)；(3)纵移变换Asin(ωx+φ)→Asin(ωx+φ)+m；而对复合函数f(sinx)的周期性，由具体问题确定..1.复合函数f(sinx)的周期性复合函数的周期性【例题】研究以下函数的周期性：.2.y=sin3x的周期性复合函数的周期性对于y=sin3x=(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y=sin3x没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π..3.y=sin2x的周期性复合函数的周期性对于y=sin2x=(sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y=sin2x的最小正周期为π，不是2π..4.sin2nx和sin2n-1x的周期性复合函数的周期性y=sin2x的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.因为cos2x的周期是π，故sin2x的周期也是π.因此，正弦函数sinx的幂复合函数sinmx，当m=2n时，sinmx的最小正周期为π；m=2n–1时，sinmx的最小正周期是2π.sin2x的周期，由cosx的2π变为sin2x的π.就是因为符号法“负负得正”所致..5.幂复合函数举例复合函数的周期性【例1】求y=|sinx|的最小正周期..三、周期函数的和函数两个周期函数，如sinx和cosx，它们最小正周期相同，都是2π.那么它们的和函数，即sinx+cosx的最小正周期如何？和函数的周期与原有函数的周期保持不变.这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？三角函数的周期性.1.函数sinx+sin2x的周期性周期函数的和函数sinx的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？列表如下.表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π..1.函数sinx+sin2x的周期性周期函数的和函数依据上表，作sinx+sin2x的图象如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π.由sinx，sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sinx+sin2x仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了..2.函数sinx+sinx的周期性周期函数的和函数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当.与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性.关系到正弦函数的试题，有2种形式.一、直接考，求正弦函数的最小正周期.二、间接考，考周期在正弦函数性质中的应用.求单调区间，求最值，简单方程的通解等.三角函数的周期性.1.求正弦函数的周期周期函数在高考中【说明】图象法判定最简便，|sinx|的图象是将sinx的图象在x轴下方部分折到x轴上方去.倍角法判定最麻烦.【解答】（1）y=2cos2x+1的最小正周期由cos2x决定，故答案为π.1.求正弦函数的周期周期函数在高考中故答案为π..【解答】【例题】f(x)是R上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.2.函数周期性应用于求值【说明】周期性应用于区域转化.将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.周期函数在高考中.【解答】3.函数周期性应用于求单调区间【说明】先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.函数的最小正周期为π.令得周期函数在高考中.4.周期性应用于求函数零点【说明】先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.周期函数在高考中.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上.在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目.这点为命题人事先未能预料.后来分析，该题的难点有三.一、函数抽象，导致周期中含有参数；二、求参数范围，与解不等式综合；三、求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清.20多年来数学界质疑不断.三角函数的周期性.2006年的周期大难题高考史上的周期大难题1．写出f(x)极大值M、极小值m与最小正周期;2．试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m..六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数.关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高.2005年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.三角函数的周期性.2005年的周期大错题【考题】f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5高考史上的周期大错题【说明】这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D，即答案为5.答案D从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】f(x)周期为3，由f(2)=0，得f(5)=f(2)=0，得f(-1)=f(2-3)=f(2)=0，得f(-4)=f(2-6)=f(2)=0f(x)为奇函数，得f(1)=-f(-1)=0f(4)=-f(-4)=0，得f(-0)=-f(0)，得f(0)=0f(3)=f(3+0)=f(0)=0于是，求得f(x)=0的解为：1、2、3、4、5.共5个解，答案为D..高考史上的周期大错题【讨论】除了上述解法得f(x)=0的5个解外，还有如下的解.根据方程f(x)=0的定义，x=1.5和x=4.5也是方程的解，证明如下：由f(x)的周期性，知f(-1.5)=f(1.5)（1）由f(x)的奇偶性，知f(-1.5)=-f(1.5)（2）从而有f(1.5)=0，f(4.5)=f(1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程f(x)=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.【思考】按上面讨论的结果，方程f(x)=0的解至少有7个.而原题的四个选项支中均没有这个答案.命题人给定的答案D是错的..高考史上的周期大错题这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.并在区间（0，6）上找到f(x)=0的7个解，列表如下：.高考史上的周期大错题【反思】命题人的错误自然出在疏忽二字上.实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”.对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据.而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题.命题出错似乎是必然的..尾声正弦函数记周期其他函数有根基复合函数作转化抽象函数回具体三角函数的周期性.