2011年数学理（安徽）

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式： 椎体体积 ，其中S为椎体的底面积，h为椎体的高. 若 （x ，y ），（x ，y ）…，（x ，y ）为样本点， 为回归直线，则 ， ， 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算. 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 为 （A）2 （B） 2 （C） （D） （2）双曲线 的实轴长是 （A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4 （3）设 是定义在R上的奇函数，当 （A）－3 （B）－1 （C）1 （D） 3 （4）设变量 的最大值和最小值分别为 （A）1，－1 （B）2，－2 （C） 1，－2 （D） 2，－1 （5）在极坐标系中，点 的圆心的距离为 （A）2 （B） （C） （D） （6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为 （A）48 （B）32+8 （C）48+8 （D）80 （7）命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定是 （A）所有不能被2整除的数都是偶数 （B）所有能被2整除的整数都不是偶数 （C）存在一个不能被2整除的数都是偶数 （D）存在一个能被2整除的数都不是偶数 （8）设集合 则满足 且 的集合 为 （A）57 （B）56 （C）49 （D）8 （9）已知函数 ，其中 为实数，若 对 恒成立，且 ，则 的单调递增区间是 （A） （B） （C） （D） （10）函数 在区间[0,1] 上的图像如图所示，则m，n的值可能是 （A）m=1，n=1 （B）m=1，n=2 （C）m=2，n=1 （D）m=3，n=1 第II卷（非选择题 共100分） 考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. （11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . （12）设 ，则 . （13）已知向量 满足 ，且 ， ， 则a与b的夹角为 . （14）已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的 等差数列，则 的面积为_______________. （15）在平面直角坐标系中，如果 与 都是整数，就称点 为整点， 下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 与 都是无理数，则直线 不经过任何整点 ③直线 经过无穷多个整点，当且仅当 经过两个不同的整点 ④直线 经过无穷多个整点的充分必要条件是： 与 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分12分) 设 ，其中 为正实数 （Ⅰ）当 时，求 的极值点； （Ⅱ）若 为 上的单调函数，求 的取值范围。 （17）（本小题满分12分） 如图， 为多面体，平面 与平面 垂直，点 在线段 上， △OAB，,△ ，△ ，△ 都是正三角形。 （Ⅰ）证明直线 ∥ ； （II）求棱锥F—OBED的体积。 （18）（本小题满分13分） 在数1和100之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这 个数的乘积记作 ，再令 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 求数列 的前 项和 . （19）（本小题满分12分）K] （Ⅰ）设 证明 ， （Ⅱ） ，证明 . （20）（本小题满分13分） 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 ，假设 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立. （Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ （Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 ，其中 是 的一个排列，求所需派出人员数目 的分布列和均值（数字期望） ； （Ⅲ）假定 ，试 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。 （21）（本小题满分13分） 设 ，点 的坐标为（1,1），点 在抛物线 上运动，点 满足 ，经过 点与 轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足 ,求点 的轨迹方程。 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分. （1）A （2）C （3）A （4）B （5）D （6）C （7）D （8）B （9）C （10）B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分. （1）15 （12）0 （13） （14） （15）①，③，⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分12分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解一元二次不等式基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力. 解：对 求导得 ① （I）当 ，若 综合①,可知 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以, 是极小值点, 是极大值点. （II）若 为R上的单调函数，则 在R上不变号，结合①与条件a>0，知 在R上恒成立，因此 由此并结合 ，知 （17）（本小题满分12分）本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力. （I）（综合法） 证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以 ∥ ，OG=OD=2， 同理，设 是线段DA与线段FC延长线的交点，有 又由于G和 都在线段DA的延长线上，所以G与 重合. 在△GED和△GFD中，由 ∥ 和OC∥ ，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF. （向量法） 过点F作 ，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点， 为 轴正向， 为y轴正向， 为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系. 由条件知 则有 所以 即得BC∥EF. （II）解：由OB=1，OE=2， ，而△OED是边长为2的正三角形，故 所以 过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ= ，所以 （18）（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I）设 构成等比数列，其中 则 ① ② ①×②并利用 （II）由题意和（I）中计算结果，知 另一方面，利用 得 所以 （19）（本小题满分12分）本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力. 证明：（I）由于 ，所以 将上式中的右式减左式，得 从而所要证明的不等式成立. （II）设 由对数的换底公式得 于是，所要证明的不等式即为 其中 故由（I）立知所要证明的不等式成立. （20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识. 解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是 ，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于 （II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 时，随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 （III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明：对于 的任意排列 ，都有 ……………………（*） 事实上， 即（*）成立. （方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为 若交换前两人的派出顺序，则变为 .由此可见，当 时，交换前两人的派出顺序可减小均值. （ii）也可将（II）中所求的EX改写为 ，或交换后两人的派出顺序，则变为 .由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当 时，交换后两人的派出顺序也可减小均值. 序综合（i）（ii）可知，当 时，EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的. （21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由 知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设 ① 再设 解得 ② 将①式代入②式，消去 ，得 ③ 又点B在抛物线 上，所以 ，再将③式代入 ，得 故所求点P的轨迹方程为