三角函数与平面向量的解题技巧

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn 专题 三角 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数专题 【命题趋向】该专题的内容包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形．高考在该部分的选择和填空题，一般有两个试题。一个试题是，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正余弦定理有关的题目，如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目；一个试题是以考查平面向量为主的试题，这个试题的主要命题方向是（1）以平面向量基本定理、共线向量定理为主，（2）以数量积的运算为主；三角函数解答题的主要命题方向有三个：（1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相结合；（2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等；（3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用． 【考点透析】该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 【例题解析】 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例1 若 是三角形的最小内角，则函数 的最大值是（　　） A． 　 B． 　 C． D． 分析：三角形的最小内角是不大于 的，而 ，换元解决． 解析：由 ，令 而 ，得 ． 又 ，得 ， 得 ，有 ．选择答案D． 点评：涉及到 与 的问题时，通常用换元解决． 解法二： ， 当 时， ，选D。 例2．已知函数 ．，且 ． （1）求实数 ， 的值；（2）求函数 的最大值及取得最大值时 的值． 分析：待定系数求 ， ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数 可化为 ． （1）由 ， 可得 ， ，所以 ， ． （2） ， 故当 即 时，函数 取得最大值为 ． 点评：结论 是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容． 题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一． 例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数 的图象，只需将函数 的图象 A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位 C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位 分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决． 解析：函数 ，故要将函数 的图象向左平移 个长度单位，选择答案A． 例4 （2008高考江西文10）函数 在区间 内的图象是 分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断． 解析：函数 ．结合选择支和一些特殊点，选择答案D． 点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目． 题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决． 例5 （2008高考山东卷理5）已知 ，则 的值是 A． B． C． D． 分析：所求的 ，将已知条件分拆整合后解决． 解析： C ． ，所以 ． 点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的 数 学思想和运算能力．解题的关键是对 的分拆与整合． 例6（2008高考浙江理8）若 则 = A． B． C． D． 分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路． 方法一： ，其中 ，即 ， 再由 知道 ，所以 ， 所以 ． 方法二：将已知式两端平方得 方法三：令 ，和已知式平方相加得 ，故 ， 即 ，故 ． 方法四：我们可以认为点 在直线 上， 而点 又在单位圆 上，解方程组可得 ， 从而 ．这个解法和用方程组 求解实质上是一致的． 方法五： 只能是第三象限角，排除C．D．，这时直接从选择支入手验证， 由于 计算麻烦，我们假定 ，不难由同角三角函数关系求出 ，检验符合已知条件，故选B． 点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力 题型4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型． 例7．（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点 为中心的 海里以内海域被设为警戒水域．点 正北 海里处有一个雷达观测站 ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 北偏东 且与点 相距 海里的位置 ，经过 分钟又测得该船已行驶到点 北偏东 (其中 ， )且与点 相距 海里的位置 ． （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； （2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． 分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求 的长，在 中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点 到直线 的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决． 解析：（1）如图， ， ， 由于 ，所以 由余弦定理得 所以船的行驶速度为 （海里/小时）． （2）方法一 ： 如上面的图所示，以 为原点建立平面直角坐标系， 设点 的坐标分别是 ， 与 轴的交点为 ． 由题设有， ， ， 所以过点 的直线 的斜率 ，直线 的方程为 ． 又点 到直线 的距离 ，所以船会进入警戒水域． 解法二： 如图所示，设直线 与 的延长线相交于点 ．在 中，由余弦定理得， = = ． 从而 在 中，由正弦定理得， ． 由于 ，所以点 位于点 和点 之间，且 ． 过点 作 于点 ，则 为点 到直线 的距离． 在 中， 所以船会进入警戒水域． 点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图． 本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错． 题型5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点． 例8（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题）已知向量 ，（ ），令 ，且 的周期为 ． (1) 求 的值；(2)写出 在 上的单调递增区间． 分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数 的解析式求出来，再根据 的周期为 就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可． 解析：(1) ， ∵ 的周期为 ． ∴ ， ， ． (2) 由于 ， 当 （ ）时， 单增， 即 （ ），∵ ∴ 在 上的单调递增区间为 ． 点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点． 例9 （2009江苏泰州期末15题） 已知向量 ， ， ，且 ． （1）求 的值； （2）求 的值． 分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问． 解析：（1）∵ ，∴ ．而 ， ， 故 ，由于 ，∴ ， 解得 ，或 ．∵ ， ， 故 （舍去）．∴ ． （2）∵ ，∴ ． 由 ，求得 ， （舍去）． ∴ ， ． 点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要注意角的范围对解题结果的影响． 题型6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是 ，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型． 例10．（安徽省 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的三内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， ，设向量 ，若 ， （1）求角 的大小； （2）求 的取值范围． 分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角 就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题． 解析：（1） ， ． 由余弦定理，得 ． （2） ， 点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响． 题型7 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题． 例11. 如图，已知点 是 的重心，点 在 上，点 在 上，且 过 的重心 ， ， ，试证明 为常数，并求出这个常数． 分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量表达出来，本题的本质是点 共线，利用这个关系寻找 所满足的方程． 解析：令 ， ，则 ， ，设 的中点为 ， 显然 ，因为 是 的重心，所以 ．由 、 、 三点共线，有 、 共线，所以，有且只有一个实数 ，使 ，而 ， ， 所以 ． 又因为 、 不共线，由平面向量基本定理得 ，消去 ， 整理得 ，故 ．结论得证．这个常数是 ． 【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题是一个重要方面，其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来，再根据平面向量的有关知识加以处理．课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的注意． 题型8 用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值． 例12. 已知函数 ，若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围． 分析：函数的 导数在 大于等于零恒成立． 解析：函数 在区间 上是增函数，则等价于不等式 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立， 从而 在区间 上恒成立， 而函数 在区间 上为增函数，所以函数 在区间 上的最大值为 ，所以 为所求． 点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识．本题如将 化为 的形式，则 与 有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决． 题型9 三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考． 例13. 设二次函数 ，已知不论 ， 为何实数，恒有 和 ． （1）求证： ； （2）求证： ； （3）若函数 的最大值为 ，求 ， 的值． 分析：由三角函数的有界性可以得出 ，再结合有界性探求． 解析：（1）因为 且 恒成立，所以 ，又因为 且 恒成立，所以 ， 从而知 ， ，即 ． （2）由 且 恒成立得 ，　即　 ，将 代如得 ，即 ． （3） ， 因为 ，所以当 时 ， 由 ， 解得 ， ． 点评：本题的关键是 ，由 利用正余弦函数的有界性得出 ，从而 ，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用． 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1．若 ，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．设 是锐角，且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．若 ， 与 的夹角为 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．若 为 的内心，且满足 ，则 的形状为 （ ） A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 5．在 中，若 ，则 是 （ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知向量 、 、 ，则直线 与直线 的夹角的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 二、填空题 7． 的化简结果是__________． 8．若向量 与 的夹角为 ，则称 为它们的向量积，其长度为 ，已知 ， ，且 ，则 _______________． 9． 一货轮航行到某处，测得灯塔 在货轮的北偏东 ，与灯塔 相距 海里，随后货轮按北偏西 的方向航行 分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为每小时 海里． 三、解答题 10． 已知： ， ． （1）求 的值； （2）求 的值． 11． 已知函数 ． （1）求函数 的最小正周期； （2）求使函数 取得最大值的 的集合． 12．已知向量 ， ， ． （1）求 的值; （2）若 ， ， 且 ， 求 ． 【参考答案】 1．解析：B由已知可得 ，且 ，故得正确选项B． 2．解析：C 与 相加得 ，∴ ，故选C． 3．解析：B ，选B． 4．解析：A已知即 ，即边BC与顶角 的平分线互相垂直，这表明 是一个以AB、AC为两腰的等腰三角形． 5．解析：B依题意，由正弦定理得 ，且 ， ，故得． 6．解析：A由 为定值，∴ 点的轨迹方程为 ，由图形易知所求角的最大、最小值分别是该圆的切线与 轴的夹角，故得． 7． 解析： 原式 ． 8．解析： 由夹角公式得 ，∴ ，∴ ． 9． 解析：设轮速度为 海里/小时，作出示意图，由正弦定理得 ，解得 ． 10．解析：（1）∵ ∴ ， ∵ ∴ ． （2）∵ ，∴ ． 11．解析：（1）因为 　　 所以 的最小正周期 ． （2）当 取最大值时， ，此时 　 ，即 　 ，所以所求 的集合为 　 ． 12．解析：（1） ， ， ． ， ， 即 ， ． （2） ， ， ， ， ． 第二讲 平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知 是 所在平面内一点， 为 边中点，且 ，那么（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 故选A． 例2．（2006年安徽卷）在 中， ，M为BC的中点，则 ______.（用 表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解： ， ，所以, . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量 ( ) （A） （B） （C） （D） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解： ，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量 = 的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) (B) 或 （C） （D） 或 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为 由 另一方面,当 当 故平面向量 与向量 = 的夹角相等.故选B. 例5．（2006年天津卷）设向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 __． 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题. 解: 例6.（2006年湖北卷）已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 = （） （A） （B） （C） （D） 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力. 解:设 ，则依题意有 故选B. 例7.设平面向量 、 、 的和 .如果向量 、 、 ，满足 ，且 顺时针旋转 后与 同向，其中 ，则（ ） （A） （B） （C） （D） 命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念. 常规解法：∵ ，∴ 故把2 (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与 重合，故 ，应选D. 巧妙解法：令 = ，则 = ，由题意知 = ，从而排除B，C，同理排除A，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取 = ，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决. 2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合 (1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解. (2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点 ， （Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合. 解：（Ⅰ） ， 由已知 ，得 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， 当 时， 的最小值为 ， 由 ，得 值的集合为 例2．（2007年陕西卷文17） 设函数 .其中向量 . （Ⅰ）求实数 的值; （Ⅱ）求函数 的最小值. 解：（Ⅰ） ， ，得 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， 当 时， 的最小值为 ． 例9．（2007年湖北卷理16） 已知 的面积为 ，且满足 ，设 和 的夹角为 ． （I）求 的取值范围； （II）求函数 的最大 解：（Ⅰ）设 中角 的对边分别为 ， 则由 ， ，可得 ， ． （Ⅱ） ． ， ， ． 即当 时， ；当 时， ． 例10．（2007年广东卷理） 　已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A为钝角，求c的取值范围； 解：（1） ， ，若c=5， 则 ， ∴ ，∴sin∠A＝ ； （2）∠A为钝角，则 解得 ，∴c的取值范围是 例11．（2007年山东卷文17） 在 中，角 的对边分别为 ． （1）求 ；（2）若 ，且 ，求 ． 解：（1） 又 解得 ． ， 是锐角． ． （2） ， ， ． 又 ． ． ． ． 例12. （2006年湖北卷）设函数 ，其中向量 , . （Ⅰ）求函数 的最大值和最小正周期； （Ⅱ）将函数 的图像按向量 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的 . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝ ·( )=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx) ＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+ sin(2x+ ). 所以，f(x)的最大值为2+ ，最小正周期是 ＝ . （Ⅱ）由sin(2x+ )＝0得2x+ ＝k. ，即x＝ ,k∈Z， 于是 ＝（ ，－2）， k∈Z. 因为k为整数，要使 最小，则只有k＝1，此时 ＝（― ，―2）即为所求. 例13．（2006年全国卷II）已知向量 ＝(sinθ，1)， ＝(1，cosθ)，－＜θ＜． （Ⅰ）若 ⊥ ，求θ； （Ⅱ）求｜ ＋ ｜的最大值． 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力. 解：（Ⅰ）若 ⊥ ，则sinθ＋cosθ＝0， 由此得 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－； （Ⅱ）由 ＝(sinθ，1)， ＝(1，cosθ)得 ｜ ＋ ｜＝＝ ＝， 当sin(θ＋)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1． 例14．（2006年陕西卷）如图，三定点 三动点D、E、M满足 （I）求动直线DE斜率的变化范围； （II）求动点M的轨迹方程。 命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、 三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识， 考查推理和运算能力. 解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , 知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴ 同理 . ∴kDE = = = 1－2t. ∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1]. (Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t). ∴ , ∴y= , 即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2]. 即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2] 解法二: (Ⅰ)同上. (Ⅱ) 如图, =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t, = + = +t = +t(－) =(1－t) +t, = += + t= +t(－)=(1－t) + t = (1－t2) + 2(1－t)t+t2 . 设M点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得 消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2] 例15．（2006年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明·为定值； （Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值． 命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力. 解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ， 即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， 将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③ 解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4， 抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x． 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2， 即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22． 解出两条切线的交点M的坐标为( ， )＝( ，－1)． 所以·＝( ，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0. 所以·为定值，其值为0．　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|． |FM|＝＝＝＝＝＋． 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 |AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2． 于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)3， 由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4． 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1．已知 的值为 （ ） A．－6 B．6 C． D．－ 2．已知△ABC中，点D在BC边上，且 则 的值是（ ） A． B． C．－3 D．0 3．把直线 按向量 平移后，所得直线与圆 相 切，则实数 的值为 （ A ） A．39 B．13 C．－21 D．－39 4．给出下列命题：① · =0，则 =0或 =0. ②若 为单位向量且 // ，则 =| |· . ③ · · =| |3. ④若 与 共线， 与 共线，则 与 共线.其中正确的个数是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ） A.若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x)(x、y≠0)，则a⊥b B.四边形ABCD是菱形的充要条件是 = ，且| |=| | C.点G是△ABC的重心，则 + + =0 D.△ABC中， 和 的夹角等于180°－A 6.若O为平行四边形ABCD的中心， = 4e1, = 6e2,则3e2－2e1等于（ ） A. B. C. D. 7.将函数y=x+2的图象按a=（6，－2）平移后，得到的新图象的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x－6 C.y=x+6 D.y=x－10 8.已知向量m=(a,b)，向量m⊥n且|m|=|n|,则n的坐标为 A.（a, －b） B.( －a,b) C.(b, －a) D.( －b, －a) 9.给出如下命题：命题（1）设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2成立；命题（2）若定义域为R的函数f(x)恒满足｜f(－x)｜=｜f(x)｜,则f(x)或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（ ） A.命题（1）（2）均为假命题 B.命题（1）（2）均为真命题 C.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 10．若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是（ ） A. a= 或b= B.|a|=|b| C. a•b=0 D.以上都不对 11．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 12． 若 , , 则 = （ ） A． 4 B． 15 C． 7 D． 3 二、填空题 1．已知 与 的夹角为60°，则 与 － 的夹角余弦为 . 2． 已知 ＝（—4,2,x）， ＝(2,1,3),且 ⊥ ，则x＝ . 3． 向量 ， ，则 和 所夹角是 4． 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D满足条件：DB⊥AC, DC⊥AB, AD=BC, 则D的坐标为 . 5． 设 是直线， 是平面， ，向量 在 上，向量 在 上， ，则 所成二面角中较小的一个的大小为 ． 三、解答题 1.△ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量 时，求 . 2.在平行四边形ABCD中，A（1，1）， ，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P. （1）若 求点C的坐标； （2）当 时，求点P的轨迹. 3.平面内三个力 ， ， 作用于同丄点O且处于平衡状态，已知 ， 的大小分别为1kg， kg， 、 的夹角是45°，求 的大小及 与 夹角的大小. 4.已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角. 5.设a=(1+cosα,sinα), b=(1－cosβ,sinβ),c=(1,0),α∈(0,π)β∈(π,2π),a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2,且θ1－θ2= ，求sin . 6.已知平面向量a=（ ，－1），b=（ ， ）. (1)证明：a⊥b； (2)若存在实数k和t，使得x=a+(t2－3)b,y=－ka+tb,且x⊥y，试求函数关系式k=f(t); (3)根据（2）的结论，确定k=f(t)的单调区间. 【参考答案】 一、选择题 1.B 2．D 3．A4．A 5. 答案：C 提示：若点G是△ABC的重心，则有 + + =0，而C的结论是 + + =0，显然是不成立的，选C. 6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11．B 12．D 二、填空题 1． 2． 2 3．60° 4．（1，1，1）或 5． 3．解：由 , , 有 ， , 解得 , , ． 4.解：设D(x, y, z), 则 ， （x-1, y, z）, (-1, 0, 1), (-1,1, 0), (0, -1, 1)． 又DB⊥AC -x+z=0, DC⊥AB -x+y=0, AD=BC 联立解得x=y=z=1或x=y=z= 所以D点为（1，1，1）或 。 三、解答题 1． ， 2.解：（1）设点C坐标为（ , 又 ,即 . . 即点C（0，6）. （2）解一：设 ，则 . ABCD为菱形. . 故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半圆去掉与直线 的两个交点. 解法二： D的轨迹方程为 . M为AB中点, 的比为 . 设 . 的轨迹方程 . 整理得 . 故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线 的两个交点. 3.设 与 的合力为 ，则|F|=|F3|. ∵∠F1OF2=45° ∴∠FF1O=135°. 在△OF1F中，由余弦定理 = . . 又由正弦定理，得 . ∴∠F1OF=30° 从而F1与F3的夹角为150°. 答：F3的大小是（ +1）kg,F1与F3的夹角为150°. 4..解：∵a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直， ∴(a+3b)·(7a－5b)=0，(a－4b)·(7a－2b) =0. 即 两式相减：a·b= |b|2，代入①得|a|2=|b|2. ∴cosα= = .∴α=60°，即a与b的夹角为60°. 5.解：a=(2cos2 ,2sin cos ) =2cos (cos ,sin ) ∴θ1= , b=(2sin2 ,2sin cos ) =2sin (sin ,cos ) ∴θ2= － ,又θ1－θ2= － + = = － ∴sin =sin(－ )=－ 6.（1）证明：∵a=( ,－1),b=( , ) ∴ × +(－1)× =0∴a⊥b (2)解：由题意知 x=( , ), y=( t－ k, t+k) 又x⊥y故x·y= ×( t－ k)+ ×( t+k)=0 整理得：t2－3t－4k=0即k= t3－ t (3)解：由（2）知：k=f(t)= t3－ t ∴k′=f′(t)= t2－ 令k′＜0得－1＜t＜1;令k′＞0得t＜－1或t＞1 故k=f(t)单调递减区间是（－1，1），单调递增区间是（－∞,－1）∪(1,+∞)