高等数学习题及解答(极限,连续与导数)

高等数学习题库 淮南联合大学基础部 2008年10月 第一章 映射，极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A＝{x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3} 求：在直角坐标系内画出 A×B 解：如图所示A×B＝{（x,y）| }. 2： 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：∵ P为正整数，∴p＝2n或p＝2n+1，当p＝2n+1时，p2＝4n2+4n+1，不能被2整除，故p＝2n。即结论成立。 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得 即 ，所以 所以命题成立 3： （1） （2） （3 （4） 解： 4：用极限定义证明： (不作要求) 证明：因为 有 成立,只要 取N＝[ ]，则当n>N时,就有 有定义变知 成立 5：求下列数列的极限 （1） （2） （3） （4） 解：（1） ,又 EMBED Equation.DSMT4 ,所以 , 故： ＝0 （2）由于 又因为： ,所以： （3）因为： 所以： （4） 因为： ，并且 , 故由夹逼原理得 6： 解：由于 7： 解： 8： 9： 习题三 无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限 基本理论层次 1： 解： 同理：（3），（4） 习题四 无穷小的比较、函数的连续及性质 基本理论层次 1： （1）（2） 2： 第二章 一元微分学及应用 习题一 导数及求导法则、反函数及复合函数的导数 . 基本理论层次 EMBED Equation.DSMT4 习题二 导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的函数的导数、函数的微分 略 习题三 中值定理 罗必达法则 泰勒公式 基本理论层次 1. 2． 3． 4 5.] 6. 7. 习题四 导数的应用 基本理论层次 1． 综合练习题 1、 填空题 1、设 在 可导，则 　　　　　　 。 2、设 ，则 。 3、设 ，则 。 4、已知 ，则 。 5、已知 ，则当经 ＝1、 ＝1时， 。 6、 ，则 。 7、如果 是 的切线，则 。 8、若 为奇函数， 且，则 。 9、 ，则 。 10、 ，则 。 11、设 ，则 。 12、设 ，则 。 13、设 ，则 。 14、设函数 由方程 所确定，则曲线 在点（1，1）处的切线方程是 。 15、 ，其导数在 处连续，则 的取值范围是 。 16、 知曲线 与 轴相切　，则 可以通过 表示为 。 2、 选择题。 17、设 可导， ，则 是 在 处可导的（　　）。 　充分了必要条件，　　　　　　　B　充分但非必要条件， C　必要条件但非充分条件，　　　　D　既非充分条件又非必要条件。 18、函数 在 处　　　　　　　　　　　（　　　） A　左右导数均存在，　　　　　　　　B　　左导数存在，右导数不存在， C　左导数不存在，右导数存在，　　　D　　左右导数均不存在。 19、设周期函数 在 内可导，周期为4，又 ，则曲线 在点 处的切线斜率为　　　　　　　　　　　　　　　（　　　） A　 ，　　　　B　0　，　　　C　–10，　　　D　–2　。 20、设函数 EMBED Equation.DSMT4 则实常数 当 在 处可导时必满足（　） A　 ；　　　　B　 ；　　　C　 ；　　D　 　 21、已知 　，且 存在，则常数 的值为　　（　　　） 　　　A　 　　　B　 　　　C　 　　　D　 22、函数 在 上处处可导，且有 ，此外，对任何的实数 恒有 ，那么 （　　　）　 A　 　　　B　 　　　C　 ；　　　D　 。 23、已知函数 具有任何阶导数，且 ，则当 为大于2的正整数时， 的 阶导数 是　（　　　） 　　　A　 ；　　　B　 ；　　C　 ；　　D　 24、若函数 有 ，则当 时，该函数在 处的微分 是 的（　） 　　　A　等价无穷小；　　B　同阶但不等价的无穷小； 　　　C　低阶无穷小；　　D　高阶无穷小。 25、设曲线 和 在它们交点处两切线的夹角为 ，则 　（　　） 　　　A　 ；　　B　 　　　C　2；　　D　3　。 26、设由方程组 　确定了 是 的函数，则 （　　） 　　　A　 ；　　B　 ；　　C　 ；　　D　 　。 1、 填空题的答案 1、2 2、-1 ； 3、 ； 4、 5、-1 6、6+2ln2 7、2 8、1 9、n! 10、- 11、1 12、 13、 EMBED Equation.3 14、 15、 16、 二、选择题答案： 17、A 18、B 19、D 20、A 21、C 22、C 23、A 24、B 25、D 26、B 三、综合题： 27、求曲线 上与直线 垂直的切线方程。 剖析：求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。 解：设切点为 则点 处的切线斜度为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 依题意知所求切线（）坐 EMBED Equation.3 垂直，从而 利切点为 ；切线（）为 故所求切线方程为 即： 设 则 9、如果 为偶函数，且 存在 证明 证明：因为 为偶函数，所以 从而 : 故 28、讨函数 EMBED Equation.3 在 处方程连续性与可得 解： ，所以函数 在 处连续 又 故函数 在 处可导、值 EMBED Equation.3 29、已知 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 求 EMBED Equation.3 解: 故 30、已知 解： 所以： 从而 31、证明：双曲线 上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 。 证明：设 为双曲线 上的一点，则该点处切线的斜率为 从而切线方程为 令 EMBED Equation.3 得 轴上的截距为 令 得 轴上的截距为 从而 32、设 求 解： 33、设 在 求 解：设 则： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 从而 34、设 ，讨论 处连续性 剖析：本题需先求 的表达式，再讨论 在点 处的连续性 解：当 从而： 由于 35、 （1） （2） 解：（1） （2） = = 37、设 提示： 。答案： 38、求 导数 解: = = 39、 解 40、设 剖析：此类函数直接求导，很难找出规律，先对 EMBED Equation.3 41、求下列函数的n阶导数的一般表达式 44、求曲线 上对应于 点处的法线方程 EMBED Equation.3 46、求 剖析：由于函数是根式私连乘，所以用对数示导法 47、（相关变化率问题是）设气球以100cm3的速度，浸入气球（假设气球是球体）求在半径为10cm的气球半径增加的速度（假空气体压力不变） 剖析：解决相关变化率问题一般分三步： 第一步：是建立气球体积v和半径r之间的关系。 第二步：根据等式找出 第三步：由己知的变化率求出未知的变化率 解： = 由 =10cm 即当 =10cm 时 半径以 的速率增加。 48、已知 求 49、设 是由方程 确定的隐函数，求 解：利用公式 将方程 两边分别对 求导，有 得 = 从而 = 50、设y= (1+3-x). 求 解： = EMBED Equation.3 =- 51、求下列函数的微分 解：(1)、 =( =(- - ) （2）函数变形为 两边取对数有 两边对 求微分得 53、扩音器插头为圆柱形，截面半径为0.15cm，长度l为4m，为了提高它的导电性能，要在这个圆柱的侧面镀上一层厚为0.001cm的钱铜，问每个插头约要多少克纯铜。 解： Δ EMBED Equation.3 Δ EMBED Equation.3 =2π×0.15×4×0.0 故镀的铜的重量为0.0037699×8.9 54、有一立方形的铁箱，它的边长为70±0.1cm，求出它的体积，并估计绝对误差和相对误差。 解：体积：V=703=343000cm3 绝对误差 = 相对误差 55、求 、 的值，使 在 可导。 解：为使 在 得可导，必须在 连续 故 即 又因 = = 因此有 ，从而当 时 在 处可导 56、证明可导偶函数的导数 为奇函数 证：由题设 存在 于是 =- 可导偶函数 的导数 为奇函数 同理可证：可导奇函数的导函数为偶函数 以同期为T的可导函数的导函数以T为周期的函数。 57、设 求 解： 4、 EMBED Equation.3 解：两边取对数 两边对 求导 EMBED Equation.3 58、设 存在， 求 解： = 59、设 求 解： 60、设 求 = _1214483949.unknown _1224854970.unknown _1225445407.unknown _1225449569.unknown _1225450957.unknown _1225565327.unknown _1225565738.unknown _1225567588.unknown _1225568546.unknown _1226254470.unknown _1226254528.unknown _1226254720.unknown _1226254731.unknown _1226254580.unknown _1226254480.unknown _1225568776.unknown _1225568836.unknown _1226254462.unknown _1225568798.unknown _1225568667.unknown _1225568028.unknown _1225568189.unknown _1225568442.unknown _1225568143.unknown _1225567689.unknown _1225567857.unknown _1225567602.unknown _1225566133.unknown _1225566861.unknown _1225567378.unknown _1225567410.unknown _1225567571.unknown _1225567333.unknown _1225566624.unknown _1225566757.unknown _1225566153.unknown _1225565918.unknown _1225566073.unknown _1225565829.unknown _1225565454.unknown _1225565546.unknown _1225565593.unknown _1225565514.unknown _1225565365.unknown _1225565379.unknown _1225565340.unknown _1225564550.unknown _1225564785.unknown _1225565120.unknown _1225565222.unknown _1225564956.unknown _1225564722.unknown _1225564744.unknown _1225564579.unknown _1225564394.unknown _1225564528.unknown _1225564539.unknown _1225564480.unknown _1225564288.unknown _1225564341.unknown _1225451092.unknown _1225449932.unknown _1225450208.unknown _1225450257.unknown _1225450332.unknown _1225450227.unknown _1225450010.unknown _1225450040.unknown _1225449951.unknown _1225449760.unknown _1225449820.unknown _1225449889.unknown _1225449782.unknown _1225449641.unknown _1225449746.unknown _1225449574.unknown _1225448868.unknown _1225449215.unknown _1225449401.unknown _1225449472.unknown _1225449543.unknown _1225449438.unknown _1225449326.unknown _1225449375.unknown _1225449345.unknown _1225449244.unknown _1225449080.unknown _1225449154.unknown _1225449179.unknown _1225449120.unknown _1225448992.unknown _1225449050.unknown _1225448918.unknown _1225447610.unknown _1225448508.unknown _1225448795.unknown _1225448821.unknown _1225448554.unknown _1225448182.unknown _1225448263.unknown _1225448049.unknown _1225446901.unknown _1225447157.unknown _1225447559.unknown _1225447098.unknown _1225445672.unknown _1225445716.unknown _1225446843.unknown _1225445501.unknown _1225441941.unknown _1225443654.unknown _1225444717.unknown _1225445091.unknown _1225445214.unknown _1225445277.unknown _1225445167.unknown _1225444893.unknown _1225444898.unknown _1225444793.unknown _1225444161.unknown _1225444461.unknown _1225444549.unknown _1225444208.unknown _1225443951.unknown _1225443994.unknown _1225443756.unknown _1225442839.unknown _1225443281.unknown _1225443593.unknown _1225443620.unknown _1225443426.unknown _1225443042.unknown _1225443141.unknown _1225442883.unknown _1225442361.unknown _1225442481.unknown _1225442754.unknown _1225442818.unknown _1225442427.unknown _1225442096.unknown _1225442128.unknown _1225441994.unknown _1225439338.unknown _1225440101.unknown _1225441509.unknown _1225441670.unknown _1225441728.unknown _1225441607.unknown _1225440984.unknown _1225441102.unknown _1225440662.unknown _1225439711.unknown _1225439864.unknown _1225439965.unknown _1225439760.unknown _1225439478.unknown _1225439608.unknown _1225439437.unknown _1224869109.unknown _1225437858.unknown _1225438854.unknown _1225439178.unknown _1225439265.unknown _1225438983.unknown _1225438232.unknown _1225438435.unknown _1225438710.unknown _1225437873.unknown _1224944803.unknown _1224954419.unknown _1224958703.unknown _1224959934.unknown _1224960072.unknown _1225437797.unknown _1224960293.unknown _1224960016.unknown _1224959171.unknown _1224954883.unknown _1224955018.unknown _1224954640.unknown _1224954220.unknown _1224954325.unknown _1224954068.unknown _1224871680.unknown _1224936138.unknown _1224944642.unknown _1224935902.unknown _1224870239.unknown _1224870424.unknown _1224869133.unknown _1224858005.unknown _1224858251.unknown _1224858367.unknown _1224868643.unknown _1224858282.unknown _1224858070.unknown _1224858222.unknown _1224858032.unknown _1224857381.unknown _1224857616.unknown _1224857980.unknown _1224857490.unknown _1224857103.unknown _1224857245.unknown _1224856648.unknown _1224840308.unknown _1224848530.unknown _1224849447.unknown _1224850066.unknown _1224852651.unknown _1224852971.unknown _1224853303.unknown _1224853320.unknown _1224852842.unknown _1224851222.unknown _1224852611.unknown _1224850823.unknown _1224849525.unknown _1224849563.unknown _1224849484.unknown _1224848834.unknown _1224848927.unknown _1224849401.unknown _1224848848.unknown _1224848647.unknown _1224848741.unknown _1224848592.unknown _1224842689.unknown _1224846511.unknown _1224847540.unknown _1224848441.unknown _1224847356.unknown _1224846144.unknown _1224846463.unknown _1224846477.unknown _1224846179.unknown _1224842798.unknown _1224842301.unknown _1224842409.unknown _1224842546.unknown _1224842396.unknown _1224842126.unknown _1224842179.unknown _1224842027.unknown _1214484961.unknown _1214485717.unknown _1214485872.unknown _1214485932.unknown _1224840245.unknown _1214485899.unknown _1214485749.unknown _1214485848.unknown _1214485725.unknown _1214485287.unknown _1214485364.unknown _1214485640.unknown _1214485341.unknown _1214485197.unknown _1214485259.unknown _1214485174.unknown _1214484512.unknown _1214484761.unknown _1214484920.unknown _1214484946.unknown _1214484801.unknown _1214484607.unknown _1214484737.unknown _1214484559.unknown _1214484282.unknown _1214484334.unknown _1214484384.unknown _1214484293.unknown _1214484173.unknown _1214484281.unknown _1214484111.unknown _1213555868.unknown _1214314076.unknown _1214483046.unknown _1214483469.unknown _1214483797.unknown _1214483902.unknown _1214483923.unknown _1214483872.unknown _1214483645.unknown _1214483676.unknown _1214483535.unknown _1214483286.unknown _1214483384.unknown _1214483455.unknown _1214483348.unknown _1214483204.unknown _1214483253.unknown _1214483143.unknown _1214397538.unknown _1214482731.unknown _1214482858.unknown _1214482892.unknown _1214482798.unknown _1214482659.unknown _1214482676.unknown _1214482556.unknown _1214314582.unknown _1214314776.unknown _1214396051.unknown _1214314608.unknown _1214314422.unknown _1214314480.unknown _1214314403.unknown _1213558480.unknown _1213558958.unknown _1214313310.unknown _1214313495.unknown _1214313979.unknown _1214313338.unknown _1214313208.unknown _1214313279.unknown _1214313176.unknown _1213558840.unknown _1213558914.unknown _1213558938.unknown 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