1、全响应下一页前一页第5-*页返回本章目录定义:电路在外加鼓励和初始状态共同作用下所产生的响应,称为全响应。我们可以将初始状态(初始储能)看作电路的内部鼓励。对于线性电路,根据叠加定理,全响应又可以分解为全响应=零输入响应+零状态响应,即y(t)=yx(t)+yf(t)因此,对于初始状态不为零,外加鼓励也不为零的电路。初始状态单独作用时(独立源置0)时产生的响应就是零输入响应分量;而外加鼓励单独作用时[即令uC(0+)=0]时求得的响应就是零状态响应分量。下一页前一页第5-*页返回本章目录一种直流电源鼓励下一阶电路响应的简便计算
方法
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—三要素法。(1)、三要素
公式
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的推出由于一阶电路只含一个动态元件,换路后,利用戴维南定理,将任何一阶电路简化为如图两种形式之一。列出以电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为响应的方程,整理后有假设用y(t)表示响应,用f(t)表示外加鼓励,上述方程统一表示为τ为时常数,对RC电路,τ=RC;对RL电路,τ=L/R。2、三要素公式下一页前一页第5-*页返回本章目录y(t)=yh(t)+yp(t)特征根s=-1/τ,yh(t)=Ke-t/τ,y(t)=Ke-t/τ+yp(t)设全响应y(t)的初始值为y(0+),代入上式得y(0+)=K+yp(0+),K=y(0+)-yp(0+)得全响应y(t)=y(∞)+[y(0+)-y(∞)]e-t/τt≥0对于一阶电路,只要设法求得初始值y(0+)、时常数τ和微分方程的特解yp(t),就可直接写出电路的响应y(t)。假设鼓励f(t)为直流时,yp(t)=A代入上式,有y(t)=A+[y(0+)-A]e-t/τ通常τ>0(称电路为正τ电路),当t→∞时,电路稳态,A=y(∞)稳态值。直流鼓励时一阶电路的响应为☆三要素公式y(t)=yp(t)+[y(0+)-yp(0+)]e-t/τ(2)、三要素公式说明下一页前一页第5-*页返回本章目录(1)适用范围:直流鼓励下一阶电路中任意处的电流和电压;(2)三要素:y(0+)表示该响应(电压或电流)的初始值,y(∞)表示响应的稳定值,τ表示电路的时间常数。(3)三要素法不仅可以求全响应,也可以求零输入响应和零状态响应分量。(4)假设初始时刻为t=t0,那么三要素公式应改为y(t)=y(∞)+[y(t0+)-y(∞)]e-(t-t0)/τ,t≥t0(3)、三要素的计算(归纳)下一页前一页第5-*页返回本章目录1、初始值y(0+)步骤(1)0-等效电路,计算uC(0-)和iL(0-),(2)换路定律得uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-)(3)画0+等效电路,求其它电压、电流的初始值。2、稳态值y(∞)换路后t→∞时,电路进入直流稳态,此时,电容开路,电感短路。步骤:(1)换路后,电容开路,电感短路,画出稳态等效电阻电路。(2)稳态值y(∞)。3、时常数τ对于一阶RC电路,τ=R0C;对于一阶RL电路,τ=L/R0;R0是换路后从动态元件C或L看进去的戴维南等效内阻。3、举例下一页前一页第5-*页返回本章目录例1如图(a)所示电路,IS=3A,US=18V,R1=3Ω,R2=6Ω,L=2H,在t<0时电路已处于稳态,当t=0时开关S闭合,求t≥0时的iL(t)、uL(t)和i(t)。解(1)求iL(0+)=iL(0-)=US/R1=6A(2)画0+等效电路,如图(b)。列节点方程得uL(0+)=6V,i(0+)=uL(0+)/6=1A(3)画∞等效电路,如图(c)。显然有uL(∞)=0,i(∞)=0,iL(∞)=18/3+3=9A(4)计算时常数τ。R0=3//6=2Ωτ=2/2=1sτ=L/R0,∞图0+图τ图下一页前一页第5-*页返回本章目录(5)代入三要素公式得。例2如图(a)所示电路,R1=6Ω,R2=R4=6Ω,R3=3Ω,在t<0时开关S位于“1〞,电路已处于稳态。t=0时开关S由“1〞闭合到“2〞。求t≥0时的电流iL(t)和电压u(t)的零输入响应和零状态响应。下一页前一页第5-*页返回本章目录解(1)首先求出iL(0-)。S接于1,电路直流稳态。电感短路,利用分流公式得:iL(0+)=iL(0-)=3A(2)求解零状态响应iLf(t)和uf(t)。零状态响应是初始状态为零,仅由独立源所引起的响应;故iLf(0+)=0,电感相当于开路。画出其0+等效电路,如图(b)所示,所以uf(0+)=uf(∞)=iLf(∞)=uf(∞)/R3=3/3=1(A)R0=(Ω)τ=L/R0iLf(t)=1-e-2t(A),uf(t)=3+3e-2t(V),t≥0下一页前一页第5-*页返回本章目录(3)求解零输入响应iLx(t)和ux(t)。零输入响应是令外加鼓励均为零,仅由初始状态所引起的响应;故iLx(0+)=iL(0+)=3A,电压源US短路,画出其0+等效电路,如图(c)所示,ux(0+)=-(R2//R4)iLx(0+)=-3×3=-9(V)uf(∞)=0,iLf(∞)=0,时常数同前;iLx(t)=3e-2t(A),ux(t)=-9e-2t(V),t≥0例3如下图电路,US=5V,IS=2A,R1=1Ω,R2=R3=4Ω,C=0.5F,在t<0时开关S位于“1〞,电路已处于稳态。t=0时开关S由“1〞闭合到“2〞,经过2s后,开关S又由“2〞闭合到“3〞。求t≥0时的电压uC(t)。下一页前一页第5-*页返回本章目录解(1)首先求出uC(0-)。S接于1,电路直流稳态。(2)当0
2s时,开关S闭合至“3〞,由换路定律有uC(2+)=uC(2-此时电路的稳态值uC(∞)=(R2//R3)Is=2×2=4(V),时常数τ2=(R2//R3)C=1suC(t)=4--(t-2)(V),t≥2s例4如图(a)所示电路,在t<0时开关S是断开的,电路已处于稳态。t=0时开关S闭合。求t≥0时的电流i(t)。下一页前一页第5-*页返回本章目录解分析开关S闭合后电路变为两个一阶电路,先利用三要素法分别求出两个一阶电路的电流i1(t)和i2(t),然后利用KCL求得i(t)=i1(t)+i2(t)。t=0-时开关S断开,电路为直流稳态,iL(0+)=iL(0-)=12/(2+1)=12/3=4(A)uC(0+)=uC(0-)=1×iL(0-)=4(V)τC=RCC=2×1=2s,τL=L/RL=2/(2//2+1)=1s画出换路后的0+等效电路如图(d)所示。i1(0+)=2A,i2(0+)=1A。i1(∞)=0,i2i1(t)=2et(A),i2(t)=1.5--t(A),t≥0i(t)=i1(t)+i2(t)=2et+1.5--t(A),t≥0下一页前一页第5-*页返回本章目录例5如图(a)所示电路,在t<0时开关S位于b点,电路已处于稳态。t=0时开关S由b点切换至a点。求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)。解化简电路。进行戴维南等效。uC(0+)=uC(0-)=-5VuC(∞)=10VτC=R0C利用三要素公式,得回到原电路计算电流i(t)。2i(t)+uC(t)–12=0。(3)、三要素的计算(复习)下一页前一页第5-*页返回本章目录1、初始值y(0+)步骤(1)0-等效电路,计算uC(0-)和iL(0-),(2)换路定律得uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-)(3)画0+等效电路,求其它电压、电流的初始值。2、稳态值y(∞)换路后t→∞时,电路进入直流稳态,此时,电容开路,电感短路。步骤:(1)换路后,电容开路,电感短路,画出稳态等效电阻电路。(2)稳态值y(∞)。3、时常数τ对于一阶RC电路,τ=R0C;对于一阶RL电路,τ=L/R0;R0是换路后从动态元件C或L看进去的戴维南等效内阻。
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