2011年全国初中数学竞赛试题及答案

2011年全国初中数学竞赛试题 考试时间2011年3月20日9︰30－11︰30满分150 答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答 2、解答书写时不要超过装订线 3、草稿纸不上交。 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、设 ，则代数式 的值为（　C　） A．0　　　　　B．1　　　　C．－1　　　　D．2 2、对于任意实数 ，定义有序实数对 与 之间的运算“△”为： 。如果对于任意实数 ，都有 ，那么 为（　B　）。 A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 3、已知 是两个锐角，且满足 ， ，则实数 所有可能值的和为（　C　） A． 　　　　　B． 　　　　C．1　　　　D． 4、如图，点 分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设 ， ， ， ，则 与 的大小关系为（　C　） A． ＜ B． ＝ C． ＞ D．不能确定 5、设 ，则4S的整数部分等于（　A　） A．4　　　　B．5　　　　　C．6　　 　　D．7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 　 6、两条直角边长分别是整数 （其中 ），斜边长是 的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。 　 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。 　 8、如图，双曲线 与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F且AF＝BF，连接EF，则△OEF的面积为＿＿＿＿＿； 9、⊙ 的三个不同的内接正三角形将⊙ 分成的区域的个数为＿＿＿＿＿。28 10、设四位数 满足 ，则这样的四位数的个数为＿＿＿。5 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11、已知关于 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1，求 的值。 解：设方程 的两个根为α、β，其中α、β为整数，且α≤β 则方程 的两个整数根为α＋1、β＋1， 由根与系数关系得：α＋β＝－a，(α＋1)(β＋1)＝a 两式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即(α＋2)(β＋2)＝3 ∴ 或 解得： 或 又∵a＝－(α＋β)，b＝αβ，c＝－[(α＋1)＋(β＋1)] ∴a＝0，b＝－1，c＝－2或a＝8，b＝15，c＝6 故 ＝－3或 ＝29 12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙ 和△BCH的外接圆⊙ 相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：如图，延长AP交⊙ 于点Q 连结AH，BD，QC，QH ∵AB为直径 ∴∠ADB＝∠BDQ＝900 ∴BQ为⊙ 的直径 于是CQ⊥BC，BH⊥HQ ∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC，BH⊥AC ∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形 则点P为CH的中点。 13、若从1，2，3，…， 中任取5个两两互素的不同的整数 ， ， ， ， ，其中总有一个整数是素数，求 的最大值。 解：若n≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，∴n≤48，在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两互素的不同的整数 ， ， ， ， ， 若 ， ， ， ， 都不是素数，则 ， ， ， ， 中至少有四个数是合数，不妨假设 ， ， ， 为合数， 设 ， ， ， 的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4 由于 ， ， ， 两两互素，∴p1，p2，p3，p4两两不同 设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p≥7 因为 ， ， ， 为合数，所以 ， ， ， 中一定存在一个 aj≥p2≥72＝49，与n≥49矛盾，于是 ， ， ， ， 中一定有一个是素数 综上所述，正整数n的最大值为48。 14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC。点P在△ABC内，且PA＝ ，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积。 解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP， 则△ABQ∽△ ACP，由于AB＝2AC，∴相似比为2 于是，AQ＝2 AP＝2 ，BQ＝2CP＝4 ∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60° 由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝900 于是，PQ＝ AP＝3 ∴BP2＝25＝BQ 2＋PQ 2 从而∠BQP＝900 作AM⊥BQ于M，由∠BQA＝1200，知 ∠AQM＝600，QM＝ ，AM＝3，于是， ∴AB2＝BM 2＋AM 2 ＝(4＋ ) 2＋32＝28＋8 故S△ABC＝ AB•ACsin600＝ AB 2＝ A B C E D F y x C A B E F O A B C � EMBED Equation.DSMT4 ��� H � EMBED Equation.DSMT4 ��� P D A C P B Q Q M 第 3 页 共 4 页 _1362164581.unknown _1362166448.unknown _1362168931.unknown _1362246170.unknown _1362280734.unknown _1362286046.unknown _1362286089.unknown _1362286123.unknown _1362285400.unknown _1362280671.unknown _1362280727.unknown _1362280588.unknown _1362246133.unknown _1362168053.unknown _1362168117.unknown _1362168132.unknown _1362168140.unknown _1362168316.unknown _1362168126.unknown _1362168095.unknown _1362166957.unknown _1362167853.unknown _1362167865.unknown _1362166964.unknown _1362166647.unknown _1362166688.unknown _1362166907.unknown _1362166940.unknown _1362166707.unknown _1362166653.unknown _1362166473.unknown _1362164840.unknown _1362165452.unknown _1362165538.unknown _1362165862.unknown _1362165476.unknown _1362164889.unknown _1362165245.unknown _1362164865.unknown _1362164702.unknown _1362164795.unknown _1362164825.unknown _1362164761.unknown _1362164649.unknown _1362164664.unknown _1362164629.unknown _1362164187.unknown _1362164362.unknown _1362164484.unknown _1362164530.unknown _1362164459.unknown _1362164316.unknown _1362164344.unknown _1362164293.unknown _1362163927.unknown _1362164157.unknown _1362164182.unknown _1362164140.unknown _1362163718.unknown _1362163825.unknown _1362160148.unknown