实数基本定理的相互证明

实数基本定理的相互证明 袁 文 俊 （广州大学数学与信息科学学院院，广东 广州 510405） 【摘要】本文给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。 【关键词】实数基本定理；等价性；数列；极限；收敛。 【中图分类号】O 174.5 【文献标识码】 A 1. 引 言 实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本文主要给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。 2. 实数基本定理的陈述 定理1(确界原理) 非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。 定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限。 定理3( Cantor区间套定理) 若 是一个区间套, 则存在唯一一点 ，使得 。 定理4(Heine-Borel有限覆盖定理) 设 是一个闭区间， 为 上的一个开覆盖，则在 中存在有限个开区间，它构成 上的一个覆盖。 定理5（Weierstrass聚点原理） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。 定理6（Bolzano致密性定理） 有界无穷数列必有收敛子列。 定理7(Cauchy收敛准则) 数列 收敛 对任给的正数 EMBED Equation.3 ，总存在某一个自然数 ，使得 时，都有 。 定理8(Dedekind准则，或称实数连续性定理) 设序对( , )为R的一个分划，则或者 有最大元，或者 有最小元。 由于多数教材中Dedekind分划定理是作为选学内容， 因此在证明等价性时我们将分两部分进行。在第3节给出定理1到定理7之间的两两推证， 而在第4节证明定理8与其它7个命题的等价性。 限于篇幅，对有关概念和某些命题的简单情形(如Cauchy收敛准则的必要条件，Cantor区间套定理中点的唯一性证明，数列中仅有有限个不同数等)在本文中不予介绍和证明，读者若有兴趣，可以自己给出或可参见文献([3], [4])等。 我们注意到，实数完备性基本定理等价性的互证，几乎都可以利用二等分构造区间套的方法证明，为了开阔视野，加深对这部分内容的理解，我们尽可能利用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。 作者简介：袁文俊（1957-），男，教授，理学博士，主要从事函数论及其应用的教学与研究。 基金项目：教育部重点资助项目的子项目(03A08); 广东省新世纪高校教改资助项目(02042)。 3. 定理1到定理7的互证 (1) 定理1 定理2(确界原理 单调有界原理) 证 不妨设 为单增有上界数列，即 ， ，有 。 记 ，则由确界原理知 有上确界，不妨记为 ，则 ，从而 ， 使得 成立。因为 是单调递增数列，所以 ，有 。故 。 (2) 定理 定理3（确界原理 Cantor区间套定理） 证 因为 ，所以 。 则显然数列 、 皆为有界数列，且每个 都是 的上界，每个 都是 的下界所以由确界原理知, 使得 ， 使得 。 所以 。又因为 ，所以 。 记 则即有 使得 。 假设还有另外一点 且 ，则 即 。从而唯一性得证。 (3) 定理1 定理4(确界原理 Heine-Borel有限覆盖定理) 证 设 是有闭区间 的任一开覆盖。令 可以被 有限覆盖， 。 因为 ，所以 必含有 中的点 ，即 覆盖 。即 ，且有上界 。由确界原理知, 。 下面证明 : 为此取开区间 ，故 使 ， 。由于 有有限覆盖，故添上 ， 仍有有限覆盖，从而 。 现证 : 若 ，因 ，故 则 。这与 是 的上确界矛盾，故 。 (4) 定理1 定理5(确界原理 Weierstrass聚点原理) 证 设 是直线上的有界无限点集，则由确界原理有 。若 中有一点不是 的孤立点，则显然就是 的一个聚点。 否则，令 中仅有有限个数小于 。显然 非空且有上界。令 ，则由 的构造方法可知， 必有 EMBED Equation.DSMT4 ，即 中有无限个数小于 大于 。所以 中含有 的无限个数，故 是 的聚点。 (5) 定理1 定理6(确界原理 Bolzano致密性定理) 证 设 是有界无穷数列，则由(4)的证明可知， 有聚点。再由聚点的等价定义可知，在 中存在点列以该聚点为极限。再将此收敛的点列作些技术性处理就可得到的一个收敛的子列。 (6) 定理1 定理7(确界原理 Cauchy收敛准则) 证 设 为Cauchy基本列，则 有 。易证 为有界列。由确界原理可知， 。 Case(1) 若 或者 。不妨设 则 使得 。设 ，则必 使得 。令 ，则 。即 使得当 时，有 。由于 为Cauchy基本列，所以 使得 有 。 故 。。 Case(2)若 且 ，则令 ， 。若 有Case(1) 的条件，则可知 收敛。否则令 。依次递推，若 有Case(1)的条件成立，则可知 收敛。否则 ， 有最大最小值，则得两个数列 ， 和 ， 。其中 单增、 单减且都有界。记 ，则 ，使得 ，有 。所以 ，使得 有 。 故当 时 收敛。 (7) 定理2 定理1(单调有界原理 确界原理) 证 设 是非空有上界集合，不妨设 中有一个正数。现构造函数列: Step(1) 由于 有上界，所以 中的数必有一个最大的整数部分，记为 。 记集合 ，则 ，有 。 Step(2) 设 中各数的一位小数中最大是为 。记集合 ，则 ，有 。 Step(n) 设 中第 位小数中最大的为 记集合 数为 ，则 ，有 从而得到一数列记为 其中 ，且 单增有上界，故由单调有界原理知 收敛。不妨记为 ， 有 ，所以 为 的一个上界。 现证 :因为 使得 有 ，即 。所以由上确界定义知 。 (8) 定理2 定理3(单调有界定理 Cantor区间套定理) 证 因为 ，所以有 从而可见数列 单增有上界，数列 单减有下界故由单调有界定理可知 使得 ， 使得 。 且 有 有 ，所以 ，于是成立 。 又因为 ，所以 。记 ，从而存在性得证。 (9) 定理2 定理4(单调有界原理 Heine-Borel有限覆盖定理) 证(反证法) 假设闭区间 有一个开覆盖 不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质P： 不能用 中有限个开区间覆盖。 Step(1) 将 等分为两个子区间，则至少有一个具有性质 ，不妨记该区间为 ，则 ; Step(2) 将 等分为两个子区间，则至少有一个具有性质 ，不妨记该区间为 ，则 ; Step(n) 将 等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，不妨记该区间为 ，则 ; 由此可得一个区间套 且满足 。 (3.1) 所以 为单增有上界数列， 为单减有下界的数列。所以由有单调有界原理可知 使得 ， 。由(3.1)易知， 。从而 EMBED Equation.3 ， ，有 EMBED Equation.3 ，这与 具有性质 矛盾。这就证明了Heine–Borel有限复盖定理。 (10) 定理2 定理5(单调有界原理 Weierstrass聚点定理) 证 设 是直线上的有界无限点集。容易证明结论一： 若无最大数，则从 中去掉任意有限点集 所得无限点集仍然无最大数。 现在我们从中挑选单调数列如下： Case(1) 当 无最大数时，由结论一知，对于 ， 使 ； 因 仍然是无最大数的无限集, 由结论一知， 使 ；此过程可以无限继续下去，于是就从 中找到了一个单调递增数列 。 Case(2)当 有最大数 时，考察 ，若它无最大数， 则由Case(1) 讨论可得一个单调递增数列；若 有最大数 ，显然有 ; 此过程可以无限继续下去，于是就从 中找到了一个单减数列 或单增数列。 由单调有界原理知，从 中挑选单调数列 有极限 。再由聚点的等价定义知， 至少有一个聚点 。 (11) 定理2 定理6(单调有界原理 Bolzano致密性定理) 证 设 为一有界无穷点列，则对(10)的证明做点技术性处理，就是保证挑选的数列构成 的子列即可。事实上因为每个 都含有 的无限多项，所以必存在 ，如果 无最大数。 (12) 定理2 定理7(单调有界原理 Cauchy收敛准则) 证 设 为一Cauchy基本列，则易证 有界，由(10) 和(11)的证明可知存在 的一个子列 单调且有界，由单调有界原理可知， 有极限 。参照的证明就知道 收敛。 (13) 定理3 定理l(Cantor区间套定理 确界原理) 证明：设 是有上界集合，不妨设 是的一个上界，取 构造区间 ， 定义性质 闭区间 满足 且 。 仿(9)的证明对 按性质 ，用二等分法，可以构造出区间套 ，其中每个 为 的上界。由Cantor区间套定理知存在唯一的 且 为 的一个下界为 的一个上界，使得 当 时，有 。 故 使得 ，故 为 的上确界。 (14) 定理3 定理2(Cantor区间套定理 单调有界原理) 证 设 是单调递增有上界的数列，则存在一个区间 ，使得 ，显然 ，有 。定义性质 含有 中无限多项。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 的区间套 。故由Cantor区间套定理可知，存在唯一的 且 中包含 中的无限多项。 由于 是单调递增的，所以 包含 中某一项后的所有项。由于 为 的一个上界，所以 。所以 。 (15) 定理3 定理4(Cantor区间套定理 Heine-Borel有限覆盖定理) 证(反证法) 假设闭区间 有一个开覆盖 不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质 ： 不能用 中有限个开区间覆盖。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 的区间套 。故由Cantor区间套定理可知，存在唯一的 ，从而 EMBED Equation.3 ， ，有 EMBED Equation.3 ，这与 具有性质 矛盾。这就证明了Heine–Borel有限复盖定理。 (16) 定理3 定理5(Cantor区间套定理 Weierstrass聚点定理) 证 设 为直线上的有界无限点集，不妨设 。 定义性质 含有 中无限多个点。仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 的区间套 且满足(3.1)。故由Cantor区间套定理可知，存在唯一的 。由(3.1)从而可知， EMBED Equation.3 ，有 。即 ，有 有无限点，所以 即为 的一个聚点。 (17) 定理3 定理6(Cantor区间套定理 Bolzano致密性定理) 证 设 为有界数列，不妨设 。定义性质 含有数列的无限多项。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 的区间套 ，且满足(3.1)。故由闭区间套定理可知存在唯一的 。 下证 是 某个子列的极限。事实上因为每个 都含有 的无限多项，所以必存在 又存在 且 ，此过程可以无限进行下去，于是得到一个子列 且有 。由 (3.1)易知 。 (18) 定理3 定理7(Cantor区间套定理 Cauchy收敛准则) 证 设 为Cauchy基本列，即 有 ，即 。 定义性质 有 。则 Step(1): 令 ，则 使得 具有性质 ，不妨记此区间为 。 Step(2): 令 ， 则 使得 具有 ，不妨记此区间为 。 Step(k): 令 ，则] 使得 具有 ，不妨记此区间为 。 由此可得一闭区间套 满足 (i) ; (ii) ; (iii) 具有性质 ，即含有某个 后的所有项。 由闭区间套定理可知存在唯一的 。从而 。 (19) 定理4 定理1(Heine-Borel有限覆盖定理 确界原理) 证 设 是有上界的非空数集，则 使得 有 ，取 ，得到区间 。 反证法，假设 没有上确界，则 ，使得 满足条件：若 是的上界，那么 中的点都是 的上界；若 是 中的点，那么 中不存在 的上界。从而得 的一个开覆盖 。 (3.2) 由Heine–Borel有限覆盖定理知，存在 的一个有限子覆盖 。 (3.3) 因此必有一个， 不妨设为 ，包含 。因为 是 的一个上界，故 内的元素全是 的上界。从而与 相交的 中的邻域的点也必为 的上界。依次类推下去，将有 为 的一个上界，这与 矛盾，故 具有上确界。 (20) 定理4 定理2(Heine-Borel有限覆盖定理 单调有界定理) 证 不妨设 为单调递增的有上界的无限数列，即存在闭区间 使得则 。若 收敛于 ，则必有 。 假设 都不是 的极限，则 使得 使 ，即 或者 。 Case(1) 若 ，则 至多只含有 有限多项。 Case(2) 若 ，则 也只能含有 的有限多项，因为 ，由 知 。 综上可知 只含有 的有限项。 因此，可得 的一个开覆盖(3.2)记为 。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在 的一个有限子覆盖(3.3)记为 。因为 中每一个 中只含有 的有限多个数，所以 也只含有 的有限多个数，这与 是无限数列矛盾。故必存在 是 的极限。 (21) 定理4 定理3(Heine-Borel有限覆盖定理 Cantor区间套定理) 证(反证法) 假设命题不成立，则 使得至少有一个 与 不相交，那么 有 。从而得 的一个开覆盖(3.2)记为 。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在 的一个有限子覆盖(3.3)记为 ，所以当 时， 。这显然与 矛盾。故假设错误，原命题成立。 (22) 定理4 定理5(Heine-Borel有限覆盖定理 Weierstrass聚点原理) 证(反证法) 假设原命题不成立，则由于 是直线上的有界无限点集，即存在闭区间 ，使得 ， 所以 只含 中的有限多项。从而得 的一个开覆盖(3.2)记为 。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在 的一个有限子覆盖(3.3)记为 。所以 只含有 中的有限多个点，这显然与 是矛盾的,故可知假设错误,原命题成立。 (23) 定理4 定理6(Heine-Borel有限覆盖定理 Bolzano致密性定理) 证(反证法) 设 是有界无限数列，即 使得 ，假设 中任一子列 (为方便起见，用 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示该子列。由(10) 的证明可不妨设 是单调递增子列) 都不收敛，则 都不是 的极限，即 使得 。则容易证明 含有 的有限多项。这是因为 EMBED Equation.3 ， 有 。 Case(1) 若 属于 的上界 EMBED Equation.3 ; Case(2) 若 不属于 的上界 EMBED Equation.3 。 从而得 的一个开覆盖(3.2)记为 。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在 的一个有限子覆盖(3.3)记为 。所以 只含有 中的有限多个点，这显然与 EMBED Equation.3 为无穷数列矛盾。故有界无穷数列必含有收敛子列。 (24) 定理4 定理7(Heine-Borel有限覆盖定理 Cauchy柯西收敛准则) 证(反证法) 假设柯西列 不收敛，易证 为有界无穷数列。即存在闭区间 使得 。则 使得 中只含有 中的有限多项(否则，若 都有 中的无限多项，则易证 收敛，这与假设矛盾)。从而得 的一个开覆盖(3.2)记为 。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在 的一个有限子覆盖(3.3)记为 。所以 只含有 中的有限多个点，这显然与 EMBED Equation.3 是矛盾的, 假设错误, 因此 必收敛。 (25) 定理5 定理1(Weierstrass聚点原理 确界原理) 证 设 是一个有上界数集，则 使得 有 ，取 构造区间 。定义性质 区间中至少有一个数属于 且区间的右端点为 的一个上界。仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 的区间套 且满足(3.1)。 显然 且单调递减有下界。我们证明 。事实上，不妨设 有无穷个数，由Weierstrass聚点原理知 有聚点 。因此 EMBED Equation.3 ，使得 且 。由于 单调递减，则易证 有 。由于 都为S的上界，所以 也为 的上界。由(3.1) 易证 。故 有 。从而可知， 。即 ，故 为 的上确界。 (26) 定理5 定理2(Weierstrass聚点原理 单调有界定理) 证 不妨设 是单调有上界无穷数列，即 ，使得 。故由Weierstrass聚点原理可知 EMBED Equation.3 为 的聚点，即 含有 中的无限多项。由单调性易得知 外最多有 中的有限项，因此我们证明了 。 (27) 定理5 定理3(Weierstrass聚点原理 Contor区间套定理) 证 因为 ，所以 为一单调递增有界数列。故仿上题证明，Weierstrass聚点原理可知 EMBED Equation.3 为 的聚点且 。又由(3.1) ， 单调递减易证 。故有 。 (28) 定理5 定理4(Weierstrass聚点原理 Heine-Borel有限覆盖定理) 证(反证法) 假设闭区间 有一个开覆盖 不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质 ： 不能用 中有限个开区间覆盖。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 的区间套 。故由Weierstrass聚点原理可知 EMBED Equation.3 为 的一个聚点由Cantor区间套定理可知，存在唯一的 ，从而 EMBED Equation.3 ， ，有 EMBED Equation.3 ，这与 具有性质 矛盾。这就证明了Heine–Borel有限复盖定理。 (29) 定理5 定理6(Weierstrass聚点原理 Bolzano致密性定理) 证 设 为有界无穷数列(若 有无限多相等的项，则命题显然成立)。Weierstrass聚点原理可知， 至少有一个聚点 ，则由聚点的定义： Step(1) 令 ，则 且 。 Step(2) 令 且 。 Step(k) 令 且 。 从而得到 的子列 使得 当 时有 。即 。 故 。 (30) 定理5 定理7(Weierstrass聚点原理 Cauchy收敛准则) 证 不妨设 是无穷Cauchy基本列，即有 ，使得 有 。易证 有界。由Weierstrass聚点原理可知 至少有一个聚点 EMBED Equation.3 必含有 的无限多项。从而 , 任取 中满足 的某项 ，即可得到 。故 。 (31) 定理6 定理1(Bolzano致密性定理 确界原理) 证 仿(25)的证明。 (32) 定理6 定理2(Bolzano致密性定理 单调有界定理) 证 不妨设 是单调有上界无穷数列。则由Bolzano致密性定理可知 存在一个收敛子列，其极限记为 。即知 含有 的无限多项。由单调性易得知 外最多有 的有限项，因此我们证明了 。 (33) 定理6 定理3(Bolzano致密性定理 Cantor区间套定理) 证 因为 ，所以 为一单调递增有界数列。故由Bolzano致密性定理仿上题证明， 。又由(3.1) ， 单调递减易证 。故有 。 (34) 定理6 定理4(Bolzano致密性定理 Heine-Borel有限覆盖定理) 证(反证法) 假设区间 不能被开覆盖 有限覆盖。 定义性质 不能被有限个开区间覆盖。 利用二等分法容易得到一个具有性质 的区间套 满足(3.1)。 由于 都是有界数列，故由Bolzano致密性定理知，存在子列 ， 使得 ， 。由(3.1)易证 EMBED Equation.3 。从而 ， ，使得 有 。从而 ，这与 具有性质 矛盾。这就证明了Heine–Borel有限复盖定理。 (35) 定理6 定理5(Bolzano致密性定理 Weierstrass聚点定理) 证 设 为直线上有界无穷点集，则由Bolzano致密性定理可知必存在一个序列 ， 使得 , 则 即为 的一个聚点。 (36) 定理6 定理7(Bolzano致密性定理 Cauchy收敛准则) 证 不妨设 是无穷Cauchy基本列，即有 ，使得 有 。易证 有界。由Bolzano致密性定理可知 至少有一个收敛子列，其极限记为 。即知 含有 的无限多项。从而 , 任取 中满足 的某项 ，即可得到 。故 。 (37) 定理7 定理1(Cauchy收敛准则 确界原理) 证 设 是一个有上界非空数集，则 使得 有 ，取 构造区间 。定义性质 区间中至少有一个数属于 ，且区间的右端点为 的一个上界。仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 的区间套 且满足(3.1)。则由(3.1)可知， EMBED Equation.3 时，有 。由于 单调递增， 中的每一个元素都为 的上界。故 ，则有 。故由Cauchy收敛准则可知 收敛，记其极限为 。由(3.1) 易证 。因此 EMBED Equation.3 ， 有 。由于 都为S的上界，所以 也为 的上界。从而可知， 。即 ，故 为 的上确界。 (38) 定理7 定理2(Cauchy收敛准则 单调有界定理) 证 不妨设 为单增有上界数列。假设 无极限，Cauchy收敛准则可知， 但是 。由 的任意性，不难得到 的一个严格单增的子列 ，满足 。由于 ， 所以当 时，有 。 这与 为有界数列矛盾， 故 收敛。 (39) 定理7 定理3(Cauchy收敛准则 Cantor区间套定理) 证 设 是Cantor区间套。则由 可知， EMBED Equation.3 时，有 。由于 单调递增， 中的每一个元素都为 的上界。故 ，则有 。故由Cauchy收敛准则可知 收敛，记其极限为 。由(3.1) 易证 。由 ， 的单调性可知有 。 (40) 定理7 定理4(Cauchy收敛准则 Heine-Borel有限覆盖定理) 证(反证法) 假设闭区间 有一个开覆盖 不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质 ： 不能用 中有限个开区间覆盖。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 的区间套 。仿(39)的证明可知， EMBED Equation.3 ，从而 EMBED Equation.3 ， ，有 EMBED Equation.3 ，这与 具有性质 矛盾。这就证明了Heine–Borel有限复盖定理。 (41) 定理7 定理5(Cauchy收敛准则 Weierstrass聚点原理) 证 设 为直线上有界点集，则 使得 。 定义性质 至少含有 中的无限多个点。 利用二等分法容易构造出具有性质 的区间套 满足(3.1) 。由性质 任意挑选 中不同的点构成的数列 使得 。 ，由(3.1)和极限定义知， 有 。由定义知 是Cauchy列。由Cauchy收敛准则知， 使得 。从而可知 即为 的一个聚点。 (42) 定理7 定理6(Cauchy收敛准则 Bolzano致密性定理) 证 设 为有界无限点集。则由(10)，(11)的证明，从 中可抽出一单调有界子列。对该子列重复(38)的证明，可以得知该子列收敛，故 必存在一个数列子列。 4. 定理8与前7个定理的互证 (43) 定理1 定理8(确界原理 Dedekind准则) 证 设( , )是 的一个划分，则 为非空有上界数集， 为非空有下界数集，则由确界原理可知 。若 则 有最大元，否则 ，则由上确界的定义可知， 是 所有上界中最小的，即 = 为 的最小元。 (44) 定理2 定理8(单调有界定理 Dedekind准则) 证 设 是 的一个划分，因为 非空，故 且 ，构造区间 。定义性质 存在一点属于 ，但区间的右端点属于 。仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 的区间套 且满足(3.1)。所以 为单增有上界数列， 为单减有下界的数列。所以由有单调有界原理可知 使得 ， 。由(3.1)易知， 。又由 和 的单调性可知 都有 。不难证明 是 的一个上界，且是 的一个下界。若 ，则显然 为 的最大元，否则 ，则同理 为 的最小元． (45) 定理3 定理8(Cantor区间套定理 Dedekind准则) 证 仿上题的证明，构造出区间套 ，其中 。则由区间套定理可知，存在唯一的实数 ，且 EMBED Equation.3 。由 和 的单调性不难证明 是 的一个上界，且是 的一个下界，若 ，则显然 为 的最大元，否则 ，则同理 为 的最小元。 (46) 定理4 定理8(Hein-Borel有限覆盖定理 Dedekind准则) 证(反证法) 因为 非空，所以 ，构造区间 。假设 无最大元且 无最小元，则 ，必存在 ，使得 ，或 (如若不然，即 ，使得 ，且 ，则由于 ，不难证明 或为 的最大元或为 的最小元)。从而得 的一个开覆盖(3.2)记为 。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在 的一个有限子覆盖(3.3)记为 。因此必有一个，不妨设为 ，包含 。因为 不属于 ，故 (定义为性质 )。从而与 相交的 中的邻域也具有性质 。依次类推下去，将有包含 的 中的邻域也应具有性质 ， 这与 矛盾， 故或 有最大元或 。 (47) 定理5 定理8(Weierstrass聚点原理 Dedekind准则) 证 仿(44) 的证明，构造出区间套 ，其中 。由Weierstrass聚点原理可知， 和 都至少存在一个聚点分别记为 。容易证得 ，则显然 。若 ，则由 的取法可知， 为 的最大元; 若 ，则由 的取法可知， 为 的最小元。 (48) 定理6 定理8(Bolzano致密性定理 Dedekind准则) 证 仿(44) 的证明，构造出区间套 ，其中 。由Bolzano致密性定理可知， 和 各自至少存在一个收敛子列。又由于 和 单调，容易证明 和 收敛。再由(3.1)可知， 和 收敛于同一点 ，且 则不难证明 或为 的最大元，或为 的最小元。 (49) 定理7 定理8(Cauchy收敛准则 Dedekind准则) 证 仿(44) 的证明，构造出区间套 ，其中 。仿(44) 的证明可知， 和 收敛于同一点 ，且 。，则由 ， 的单调性及 ，由柯西收敛准则易证 ， 收敛于同一点 ，仿(47) 的证明可知 或为 的最大元，或为 的最小元。 (50) 定理8 定理1(Dedekind准则 确界原理) 证明：设 为有上界集合。若 为 的上界，那么容易知道， 。否则，记 的上界集为 ，令 。显然 ，且容易知道， 构成 的一个分划。由Dedekind准则和所定义的分化可知， 必有最小元 。若 ，使得 都有 ，则 。因为 是 的最小元，所以 矛盾。故 ， ，使得 ，即 为 的上确界。 (51) 定理8 定理2(Dedekind准则 单调有界原理) 证 不妨设 为单调递增有上界数列，记 的所有上界为 且 ，则不难证明 构成 的一个分划，由Dedekind准则和所定义的分化可知， 必有最小元 。仿(44) 的证明可知， 含有数列 中的数。由单调性易得知 外最多有数列 中的有限项，因此我们证明了 。 (52) 定理8 定理3(Dedekind准则 Cantor区间套定理) 证 记 的上界集为 ，令 ，不难验证 为 的一个分划，则由Dedekind准则可知，或者 有最大元 ，或者 有最小元 。不妨设 有最大元 ，则因为 ，所以 ，又因为 故 ，从而有 。 (53) 定理8 定理4(Dedekind准则 Heine-Borel有限覆盖定理) 证(反证法) 假设闭区间 有一个开覆盖 不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质 ： 不能用 中有限个开区间覆盖。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 的区间套 。仿(52)的证明可知， EMBED Equation.3 。从而由(3.1)可知， EMBED Equation.3 ， ，有 EMBED Equation.3 ，这与 具有性质 矛盾。这就证明了Heine–Borel有限复盖定理。 (54) 定理8 定理5(Dedekind准则 Weierstrass聚点原理) 证 设 为直线上有界无限点集，则 ，使得 。 定义性质 含有 中的无限个点。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 的区间套 。仿(52)的证明可知， EMBED Equation.3 。从而由(3.1)可知， EMBED Equation.3 ，有 。由 具有性质 及聚点的定义可知， 即为 的一个聚点。 (55) 定理8 定理6(Dedekind准则 Bolzano致密性定理) 证 设 为有界无穷点集。仿(11)的证明，可知 存在一个单调子列。仿(51)的证明，可知这子列收敛。这就证明了Bolzano致密性定理。 (56) 定理8 定理7(Dedekind准则 Cauchy收敛准则) 证明：设 满足 ，有 。不难证明 有界。仿(54) 证明的不难证明， 使得 EMBED Equation.3 中含有 的无限多项，即 。从而有 。 故 。 致谢 感谢学生叶飞、陈国锋、张静娴、陈丽红在撰写学位论文时作了大量的工作，包括查阅文献、输入文本以及制作多媒体课件等。 参考文献 [1] 邝荣雨，薛宗慈，陈平尚，等. 微积分学讲义[M]. 北京：北京师范大学出版社，1989. KUANG Yurong,XUE Zongci,CHEN Pingshang,et al. Calculus Lecture[M].Beijing: Beijing Normal University Press,1989. [2] 刘玉璉，杨奎元，吕　凤. 数学分析讲义学习指导书[M]. 北京：高等教育出版社 ，1987. LIU Yulian,YANG Kuiyuan,LU Feng. Guide of Mathematical Analysis[M].Beijing: Higher Education Press,1987. [3] 陈纪修，於崇华，金　路. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，1999. CHEN Jixiu, YU Chonghua, JIN Lu. Mathematical Analysis[M]. Beijing: Higher Education Press,1999. [4] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，1991. Department of Mathematics of Eastern China Normal University. Mathematical Analysis[M]. Beijing: Higher Education Press, 2001. [5] 翟连林，姚正安．数学分析方法论[M]．北京：北京农业大学出版社，1992． ZAI Lianlin, YAO Zheng-an. Method Theory of Mathematical Analysis[M]. Beijing: Beijing Agriculture University Press,1992. [6] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993． PEI Liwen. Problems and Methods of Mathematical Analysis[M]. Beijing: Higher Education Press,1993. [7] 孙本旺, 汪浩主编．数学分析中的典型例题与解题方法[M]．长沙：湖南科技 出版社． 1981． SUN Benwang, WANG Hao. Examples and Solving Problem Methods of Mathematical Analysis[M]. Changsha: Hunan Science and Technology Press,1981. [8] 王向东. 数学分析的概念与方法[M]. 上海：上海出版社,1980. WANG Xiangdong. Conceptions and Methods of Mathematical Analysis[M].Shanghai: Shanghai Press,1980. Equivalent Proofs for Real Basic Theorems YUAN Wenjun (School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangzhou 510405, China) Abstract: In this paper we give the equivalent proofs of each other for eight real basic theorems. Keywords: real basic theorems; equivalent; number sequence; limit; convergence CLC number: O 174.5 Document code: A PAGE 1 _1108040643.unknown _1167590485.unknown _1167661487.unknown _1167676910.unknown _1167723707.unknown _1167802589.unknown _1167807698.unknown _1167810467.unknown _1167810608.unknown _1167811858.unknown _1167812360.unknown _1167812017.unknown _1167811831.unknown _1167809141.unknown _1167809754.unknown _1167810356.unknown _1167807839.unknown _1167806726.unknown _1167806966.unknown _1167806807.unknown _1167806925.unknown _1167802590.unknown _1167802812.unknown _1167746876.unknown _1167802556.unknown _1167802572.unknown _1167767777.unknown _1167801998.unknown _1167802049.unknown _1167800742.unknown _1167767764.unknown _1167745569.unknown _1167746042.unknown _1167746771.unknown _1167745804.unknown _1167737629.unknown _1167745047.unknown _1167745267.unknown _1167745413.unknown _1167745186.unknown _1167744187.unknown _1167737470.unknown _1167727440.unknown 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