1998年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、 填空题
1.设 15 +=m ,那么
m
m 1+ 的整数部分是 .
2.在直角三角形 ABC 中,两条直角边 AB,AC 的长分别为 1 厘米,2 厘米,那么直
角的角平分线的长度等于 厘米.
3.已知 ,那么代数式 的值是 013 =−− xx 123 +− xx .
4.已知 , 是有理数,并且方程 有一个根是m n 02 =++ nmxx 25 − ,那么
的值是
nm +
.
5. 如图,ABCD 为正方形,A,E,F,G 在同一条直线上,并
且 AE=5 厘米,EF=3 厘米,那么 FG= 厘米.
6.满足 19982+ =19972m 2+ 2n )19980( <<< nm 的整数
对 ,共有 ),( nm 个.
7.设平方数 是 11 个相继整数的平方和,则 的最小值是 2y y .
8.直角三角形 ABC 中,直角边 AB 上有一点 M,斜边
BC 上有一点 P, 已知 BMPBCMP Δ⊥ , 的面积等于四边形
MPCA的面积的一半, BP=2厘米, PC=3厘米,那么直角三
角形 ABC 的面积是__________平方厘米.
9.已知正方形 ABCD 的面积 35 平方厘米, E, F 分别为
边 AB, BC 上的点, AF, CE 相交于点 G,并且 ABFΔ 的面积
为 5 平方厘米, 的面积为 14 平方厘米,那么四边形
BEGF 的面积是____________平方厘米.
BCEΔ
10.把 100 个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每
人分的数目各不相同,那么至多有__________人.
11.设 为实数,那么 的最小值是__________. ),( ba bababa 222 −−++
12. 1, 2, 3,98 共 98 个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是
_______.
13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么
A 与 B 乘积的最大值是____________.
14.直线 AB 和 AC 与圆 O 分别为相切于 B,C 两点,P 为圆上一点,P 到 AB,AC
的距离分别为 4 厘米,6 厘米,那么 P 到 BC 的距离为 厘米.
15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中 A B C D E F G H I
由九个数字排列而成,J 是检查号码.令 S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I,
r 是 S 除以 11 所得的余数,若 r 不等于 0 或 1,则规定 J=11-r.(若 r=0,则规定
J=0;若 r=1,规定 J 用 x 表示)
现有一本书的书号是 962 707015,那么 = y y .
第二试
1. 求所有正实数 a ,使得方程 仅有整数根. 043 =+− aaxx
2. 已知 P 为□ABCD 内一点,O 为 AC 与 BD 的
交点,M、N 分别为 PB,PC 的中点,Q 为 AN 与 DM
的交点,求证:
(1) P,Q,O 三点在一条直线上;
(2) PQ=2OQ.
3.试写出 5 个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个
数的差整除.
1998年全国初中数学联合竞赛试题答案
第一试
一填空题
1. 3
15 +=m ，
4
15
15
11 −=+=m ，
∴
4
35
4
51 +=+
m
m ， 31 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
m
m .
2．
3
22
如图，AD 为直角 A 的平分线，过 B 作 交
CA 的延长线于点 E.
DABE //
=∠EBA °=∠ 45BAD ，
1== ABAE ， 2=EB ，又 CDAΔ ∽ CBEΔ ，
3
2==
CE
AC
EB
AD ，∴
3
22
3
2 == EBAD .
3．2
2)1()(12 2233 +−−+−−=+− xxxxxxx
. 22)1()1( 22 =+−−+−−= xxxxx
4．3
因为 m、n 为有理数，方程一根为 25 − ，那么另一个根为 25 −− ，由韦
达定理.得 ， ，∴4=m 1−=n 3=+ nm .
5．
3
16
由原图
AE
FGEF
AE
EG
ED
BE
EF
AE +=== ，
∴ EF
EF
AEFG −=
2
3
163
3
52 =−= (厘米).
6．16
, 47175399522 ××==−mn
47175))(( ××=+− mnmn .
显然，对 3995 的任意整数分拆均可得到(m,n)，故满足条件的整数对(m,n)
共 (个). 162222 =×××
7．11
11 个相继整数的平方和为
, 22222 )5()4()4()5( +++++++−+− xxxxx LL 22 )10(11 yx =+=
则 y 最小时，从而 ，∴12 =x 11=y .
8． 39
∵ MBPΔ ∽ ，CBAΔ 3:1: =ΔΔ CBAMBP SS
3:1: =BABP , ∴ 32=BA ， 13=AC .
391332
2
1 =⋅⋅=ΔABCS
.
9．
27
204
∵
7
2==
Δ
Δ
ABC
ABF
S
S
BC
BF ，同理
5
4=
BA
BE ,
由原图，连 BG. 记 aS AGE =Δ ， bS EGB =Δ ， cS BGF =Δ ， . dS EGc =Δ
又由已知 ，5=++ cba 14=++ dcb ，解之得
27
28=b ，
27
100=c .
∴ )(
27
204
27
128 平方厘米==+= cbSBEGF .
10．13
由题意，设有 n 人，分苹果数分别为 1,2,…,n
2
)1(321 +=++++ nnnL ≤100, ∴ n≤13，所以至多有 13 人.
11．-1
bababa 222 −−++ bbaba 2)1( 22 −+−+=
4
1
2
3
4
3)
2
1( 22 −−+−+= bbba
1)1(
4
3)
2
1( 22 −−+−+= bba ≥-1. 当 0
2
1 =−+ ba ， 01=−b ，
即 ， 时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1. 0=a 1=b
12．73
对 (1≤m=
>=+
04
,0
axy
ayx
2
a
≤y≤a,4≤x≤8.可推出 ， ∴4≠x
4
2
−= x
xa ，由于 x 为整数,
∴ 时， ，5=x 25=a 20=y ； 6=x 时， 18=a ， 12=y ；
时，a 不是整数；7=x 8=x 时， 16=a ， 8=y .
于是 或 18 或 16 均为所求. 25=a
说明 没有说明理由，仅指出 a 的每一个正确值给 4 分.
二、证明 如原图，连 PO，设 PO 与 AN，DM 分别交于点 , ' . 'Q 'Q
在 中，∵ ，PACΔ OCAO = NCPN = ，
∴ 为重心， 'Q '2' OQPQ =
在 中，∵ ，PDBΔ BODO = MPBM = ，
∴ '为重心， 'Q ''2'' OQPQ =
这样 '，并且 ' , '就是 AN，DM 的交点 Q.故 P,Q,O 在一条直线上，
且 .
'' QQ = Q 'Q
OQPQ 2=
三、1680，1692，1694，1695，1696 为满足条件的 5 个数（注：答案不唯
一）
以上 5 个数可用以下步骤找出：
第一步：2,3,4 为满足要求的三个数.
第二步：设 a,a+2,a+3,a+4 为满足条件的四个数，则 a 可被 2,3,4 整除.取 a=12，
得满足条件的四个数 12，14，15，16.
第三步：设 b,b+12,b+14,b+15,b+16.取 12,14,15,16 的最小公倍数为 b.即
b=1680，得满足条件的五个数 1680，1692，1694，1695，1696.
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