2009年全国初中数学联赛试题及解答

2009 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题 1. 设 7 1a = − ，则 3 23 12 6 12a a a+ − − =（ ） A.24. B. 25. C. 4 7 10+ . D. 4 7 12+ . 2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且 AB＝7，AC＝8，则 BC＝（ ） A. 7 2 . B. 10 . C. 105 . D. 7 3 . 3．用[ ]x 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示不大于 x的最大整数，则方程 2 2[ ] 3 0x x− − = 的解的个数为（ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 4．设正方形 ABCD 的中心为点 O，在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三 角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ） A. 3 14 . B. 3 7 . C. 1 2 . D. 4 7 . DA B C E 5．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2，以 BC 为直径在矩形内 作半圆，自点 A 作半圆的切线 AE，则 CBE＝（ ） sin∠ A. 6 3 . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 10 10 . 6．设 是大于 1909 的正整数，使得n 1909 2009 n n − − 为完全平方数的n的个数是（ ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．已知 是实数，若 是关于t ,a b x的一元二次方程 2 2 1x x t 0− + − = 的两个非负实根， 则 ( 1 的最小值是____________. 2 2)( 1)a b− − 22 | 2 1a b a b a 2． 设 D 是△ABC 的边 AB 上的一点，作 DE//BC 交 AC 于点 E，作 DF//AC 交 BC 于点 F，已知△ADE、△DBF 的面积分别为 和 ，则四边形 DECF 的面积为______. m n 3．如果实数 满足条件 ，|1,a b 2 2 1a b+ = 2− + + + = − ，则 a b+ = ______. 4．已知 是正整数，且满足,a b 15 152( ) a b + 是整数，则这样的有序数对 共有 对. ( , )a b 第二试 （A） 一．已知二次函数 的图象与2 ( 0y x bx c c= + + < ) x轴的交点分别为 A、B，与 轴的 交点为 C.设△ABC 的外接圆的圆心为点 P. y （1）证明：⊙P 与 轴的另一个交点为定点. y （2）如果 AB 恰好为⊙P 的直径且 ，求 和 的值. 2ABCS△ ＝ b c 二．设 CD 是直角三角形 ABC 的斜边 AD 上的高，I 、I 分别是△ADC、△BDC 的内心， AC＝3，BC＝4，求 I . 1 2 1 2I 三．已知 为正数，满足如下两个条件： , ,a b c 32a b c+ + = ① 1 4 b c a c a b a b c bc ca ab + − + − + −+ + = ② 证明：以 , ,a b c 为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B） 一．题目和解答与（A）卷第一题相同. F Q E P H N M A C B 二．已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AB 边上的高线 CH 与△ABC 的两条 内角平分线 AM、BN 分别交于 P、Q 两点.PM、QN 的中点分别为 E、F.求证： EF∥AB. 三．题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C） 一．题目和解答与（A）卷第一题相同. 二．题目和解答与（B）卷第二题相同. 三．已知 为正数，满足如下两个条件： , ,a b c 32a b c+ + = ① 1 4 b c a c a b a b c bc ca ab + − + − + −+ + = ② 是否存在以 , ,a b c 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角. 2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 第一试 一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 二、填空题 1． 3− 2． 2 mn 3． 1− 4．7 第二试 （A） 一．解 （1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则C (0, )c 1A( ,0)x 2B( ,0)x 1 2x x b+ = − ， 1 2x x c= . 设 P⊙ 与 轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是 P⊙ 的两条相交弦，它们的 交点为点 O，所以 OA×OB＝OC×OD，则 y 1 2 1 x x cOA OBOD OC c c ×= = = = . 因为 ，所以点C 在 轴的负半轴上，从而点 D 在 轴的正半轴上，所以 点 D 为定点，它的坐标为(0,1). 0c < y y （2）因为 AB CD⊥ ，如果 AB 恰好为 P⊙ 的直径，则 C、D 关于点 O 对称， 所以点 的坐标为 ，即 . C (0, 1)− 1c = − 又 2 21 2 1 2 1 2( ) 4 ( ) 4AB x x x x x x b c b= − = + − = − − = +2 4 ，所以 21 1 4 1 2 2 2ABC S AB OC b= ⋅ = + ⋅ =△ ，解得 2 3b = ± . 二．解 作 E⊥AB 于 E， F⊥AB 于 F. 1I 2I 在直角三角形 ABC 中，AC＝3，BC＝4， 2 2AB = AC + BC 5= . 又 CD⊥AB，由射影定理可得 2AC 9A D = AB 5 = ，故 16BD = AB AD 5 − = ， 2 2 12CD = AC AD 5 − = . F E I1 I2 D B A C 因为 E 为直角三角形 ACD 的内切圆的半径，所以 I ＝1I 1 E 1 3(AD CD AC) 2 5 + − = . 连接 D 、D 2 ，则 D 1I 、 2I 分别是 ADC∠ 和∠BDC 的平分 线，所 1I DC＝∠ A＝∠ 2I DC＝∠ 2I DB 45° ∠ 1I D 2I ＝90°，所以 1I D 2 D， 1I I D 以∠ D ＝ ，故 ⊥1I I 1I E 1 1 3 5DI sin ADI sin 4 5 = = = 3 2 5∠ ° . 同理，可求得 2 4I F 5 = ， 2 4 2D I 5= . 所以 ＝1I 2I 2 2 1 2D I D I 2+ = . 三．证法 1 将①②两式相乘，得 ( )b c a c a b a b c a b c bc ca ab + − + − + − ( ) 8+ + + + = ， 即 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 8b c a c a b a b c bc ca ab + − + − + −+ + = ， 即 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )4 4b c a c a b a b c bc ca ab + − + − + −− + − + = 0， 即 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0b c a c a b a b c bc ca ab − − − − + −+ + = ， 即 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab − + − − − + − − + + + −+ + = ， 即 ( ) [ ( ) ( ) ( )] 0b c a a b c a b c a b c a b c abc − + − − − − + + + + = ， 即 2 2 2( ) [2 ] 0b c a ab a b c abc − + − − + = ，即 2 2( ) [ ( ) ]b c a c a b abc 0− + − − = ， 即 ( ) ( )( )b c a c a b c a b abc − + + − − + = 0， 所以 或 或 ，即0b c a− + = 0c a b+ − = 0c a b− + = b a c+ = 或 c a b+ = 或 . c b a+ = 因此，以 , ,a b c 为三边长可构成一个直角三角形. 证法 2 结合①式，由②式可得 32 2 32 2 32 2 1 4 a b c bc ca ab − − −+ + = ， 变形，得 2 2 2 11024 2( ) 4 a b c abc− + + = ③ 又由①式得 ，即 ， 2( ) 1024a b c+ + = 2 2 2 1024 2( )a b c ab bc ca+ + = − + + 代入③式，得 11024 2[1024 2( )] 4 ab bc ca abc− − + + = ，即 16( ) 4096abc ab bc ca= + + − . 3( 16)( 16)( 16) 16( ) 256( ) 16a b c abc ab bc ca a b c− − − = − + + + + + − 34096 256 32 16 0= − + × − = ， 所以 或 或16a = 16b = 16c = . 结合①式可得b a 或 或 c b . c+ = c a b+ = a+ = 因此，以 , ,a b c 为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B） 二．证明 因为 BN 是∠ABC 的平分线，所以 ABN CBN∠ = ∠ . 又因为 CH⊥AB， 所以 ， CQN BQH 90 ABN 90 CBN CNB∠ =∠ = °−∠ = °−∠ = ∠ 因此 . CQ NC= 又 F 是 QN 的中点，所以 CF⊥QN，所以 CFB 90 CHB∠ = ° = ∠ ，因此 C、F、H、B 四点共圆. 又 ，所以 FC＝FH，故点 F 在 CH 的中垂线上. FBH = FBC∠ ∠ F Q E P H N M A C B 同理可证，点 E 在 CH 的中垂线上. 因此 EF CH.⊥ 又 AB CH⊥ ，所以 EF AB. ∥ 第二试 （C） 三． 解法 1 将①②两式相乘，得 ( )b c a c a b a b c a b c bc ca ab + − + − + −+ + + +( ) 8= ， 即 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 8b c a c a b a b c bc ca ab + − + − + −+ + = ， 即 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )4 4b c a c a b a b c bc ca ab + − + − + −− + − + = 0， 即 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0b c a c a b a b c bc ca ab − − − − + −+ + = ， 即 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab − + − − − + − − + + + −+ + = ， 即 ( ) [ ( ) ( ) ( )] 0b c a a b c a b c a b c a b c abc − + − − − − + + + + = ， 即 2 2 2( ) [2 ] 0b c a ab a b c abc − + − − + = ，即 2 2( ) [ ( ) ]b c a c a b abc 0− + − − = ， 即 ( ) ( )( )b c a c a b c a b abc − + + − − + = 0， 所 以 或0b c a− + = 0c a b+ − = 或 0c a b− + = ， 即 b a c+ = 或 c a b+ = 或 . c b a+ = 因此，以 , ,a b c为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90°. 解法 2 结合①式，由②式可得 32 2 32 2 32 2 1 4 a b c bc ca ab − − −+ + = ， 变形，得 2 2 2 11024 ③ 2( ) 4 a b c abc− + + = 又由①式得 ，即 ， 2( ) 1024a b c+ + = 2 2 2 1024 2( )a b c ab bc ca+ + = − + + 代入③式，得 11024 2[1024 2( )] 4 ab bc ca abc− − + + = ，即 16( ) 4096abc ab bc ca= + + − . 3( 16)( 16)( 16) 16( ) 256( ) 16a b c abc ab bc ca a b c− − − = − + + + + + − 34096 256 32 16 0= − + × − = ， 所以 或 或 . 16a = 16b = 16c = 结合①式可得b a 或 c a 或 c bc+ = b+ = a+ = . 因此，以 , ,a b c为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90°.