MATLAB与概率统计

Matlab应用 第4章 Matlab与概率统计 4.1 随机数的产生 4.1.1 二项分布的随机数据的产生 命令 参数为N，P的二项随机数据 函数 binornd 格式 R = binornd(N,P) %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。 R = binornd(N,P,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。 R = binornd(N,P,m,n) %m,n分别表示R的行数和列数 例4-1 >> R=binornd(10,0.5) R = 3 >> R=binornd(10,0.5,1,6) R = 8 1 3 7 6 4 >> R=binornd(10,0.5,[1,10]) R = 6 8 4 6 7 5 3 5 6 2 >> R=binornd(10,0.5,[2,3]) R = 7 5 8 6 5 6 >>n = 10:10:60; >>r1 = binornd(n,1./n) r1 = 2 1 0 1 1 2 >>r2 = binornd(n,1./n,[1 6]) r2 = 0 1 2 1 3 1 4.1.2 正态分布的随机数据的产生 命令 参数为μ、σ的正态分布的随机数据 函数 normrnd 格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为MU， 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。 R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。 R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n分别表示R的行数和列数 例4-2 >>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6)) n1 = 2.1650 2.3134 3.0250 4.0879 4.8607 6.2827 >>n2 = normrnd(0,1,[1 5]) n2 = 0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462 >>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu为均值矩阵 n3 = 0.9299 1.9361 2.9640 4.1246 5.0577 5.9864 >> R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu为10，sigma为0.5的2行3列个正态随机数 R = 9.7837 10.0627 9.4268 9.1672 10.1438 10.5955 4.1.3 常见分布的随机数产生 常见分布的随机数的使用格式与上面相同 表4-1 随机数产生函数表 函数名 调用形式 注 释 Unifrnd unifrnd ( A,B,m,n) [A,B]上均匀分布(连续) 随机数 Unidrnd unidrnd(N,m,n) 均匀分布（离散）随机数 Exprnd exprnd(Lambda,m,n) 参数为Lambda的指数分布随机数 Normrnd normrnd(MU,SIGMA,m,n) 参数为MU，SIGMA的正态分布随机数 chi2rnd chi2rnd(N,m,n) 自由度为N的卡方分布随机数 Trnd trnd(N,m,n) 自由度为N的t分布随机数 Frnd frnd(N1, N2,m,n) 第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数 gamrnd gamrnd(A, B,m,n) 参数为A, B的 分布随机数 betarnd betarnd(A, B,m,n) 参数为A, B的 分布随机数 lognrnd lognrnd(MU, SIGMA,m,n) 参数为MU, SIGMA的对数正态分布随机数 nbinrnd nbinrnd(R, P,m,n) 参数为R，P的负二项式分布随机数 ncfrnd ncfrnd(N1, N2, delta,m,n) 参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数 nctrnd nctrnd(N, delta,m,n) 参数为N，delta的非中心t分布随机数 ncx2rnd ncx2rnd(N, delta,m,n) 参数为N，delta的非中心卡方分布随机数 raylrnd raylrnd(B,m,n) 参数为B的瑞利分布随机数 weibrnd weibrnd(A, B,m,n) 参数为A, B的韦伯分布随机数 binornd binornd(N,P,m,n) 参数为N, p的二项分布随机数 geornd geornd(P,m,n) 参数为 p的几何分布随机数 hygernd hygernd(M,K,N,m,n) 参数为 M，K，N的超几何分布随机数 Poissrnd poissrnd(Lambda,m,n) 参数为Lambda的泊松分布随机数 4.1.4 通用函数求各分布的随机数据 命令 求指定分布的随机数 函数 random 格式 y = random('name',A1,A2,A3,m,n) %name的取值见表4-2；A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的行和列 例4-3 产生12（3行4列）个均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数 >> y=random('norm',2,0.3,3,4) y = 2.3567 2.0524 1.8235 2.0342 1.9887 1.9440 2.6550 2.3200 2.0982 2.2177 1.9591 2.0178 4.2 随机变量的概率密度计算 4.2.1 通用函数计算概率密度函数值 命令 通用函数计算概率密度函数值 函数 pdf 格式 Y=pdf(name，K，A) Y=pdf(name，K，A，B) Y=pdf(name，K，A，B，C) 说明 返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表4-2。 表4-2 常见分布函数表 name的取值 函数说明 'beta' 或 'Beta' Beta分布 'bino' 或 'Binomial' 二项分布 'chi2' 或 'Chisquare' 卡方分布 'exp' 或 'Exponential' 指数分布 'f' 或 'F' F分布 'gam' 或 'Gamma' GAMMA分布 'geo' 或 'Geometric' 几何分布 'hyge' 或 'Hypergeometric' 超几何分布 'logn' 或 'Lognormal' 对数正态分布 'nbin' 或 'Negative Binomial' 负二项式分布 'ncf' 或 'Noncentral F' 非中心F分布 'nct' 或 'Noncentral t' 非中心t分布 'ncx2' 或 'Noncentral Chi-square' 非中心卡方分布 'norm' 或 'Normal' 正态分布 'poiss' 或 'Poisson' 泊松分布 'rayl' 或 'Rayleigh' 瑞利分布 't' 或 'T' T分布 'unif' 或 'Uniform' 均匀分布 'unid' 或 'Discrete Uniform' 离散均匀分布 'weib' 或 'Weibull' Weibull分布 例如二项分布：设一次试验，事件A发生的概率为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率P_K为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p) 例4-4 计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.6578的密度函数值。 解：>> pdf('norm',0.6578,0,1) ans = 0.3213 例4-5 自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度函数值。 解：>> pdf('chi2',2.18,8) ans = 0.0363 4.2.2 专用函数计算概率密度函数值 命令 二项分布的概率值 函数 binopdf 格式 binopdf (k, n, p) %等同于 ， p — 每次试验事件A发生的概率；K—事件A发生K次；n—试验总次数 命令 泊松分布的概率值 函数 poisspdf 格式 poisspdf(k, Lambda) %等同于 命令 正态分布的概率值 函数 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密度函数在K处的值 专用函数计算概率密度函数列表如表4-3。 表4-3 专用函数计算概率密度函数表 函数名 调用形式 注 释 Unifpdf unifpdf (x, a, b) [a,b]上均匀分布(连续)概率密度在X=x处的函数值 unidpdf Unidpdf(x,n) 均匀分布（离散）概率密度函数值 Exppdf exppdf(x, Lambda) 参数为Lambda的指数分布概率密度函数值 normpdf normpdf(x, mu, sigma) 参数为mu，sigma的正态分布概率密度函数值 chi2pdf chi2pdf(x, n) 自由度为n的卡方分布概率密度函数值 Tpdf tpdf(x, n) 自由度为n的t分布概率密度函数值 Fpdf fpdf(x, n1, n2) 第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值 gampdf gampdf(x, a, b) 参数为a, b的 分布概率密度函数值 betapdf betapdf(x, a, b) 参数为a, b的 分布概率密度函数值 lognpdf lognpdf(x, mu, sigma) 参数为mu, sigma的对数正态分布概率密度函数值 nbinpdf nbinpdf(x, R, P) 参数为R，P的负二项式分布概率密度函数值 Ncfpdf ncfpdf(x, n1, n2, delta) 参数为n1，n2，delta的非中心F分布概率密度函数值 Nctpdf nctpdf(x, n, delta) 参数为n，delta的非中心t分布概率密度函数值 ncx2pdf ncx2pdf(x, n, delta) 参数为n，delta的非中心卡方分布概率密度函数值 raylpdf raylpdf(x, b) 参数为b的瑞利分布概率密度函数值 weibpdf weibpdf(x, a, b) 参数为a, b的韦伯分布概率密度函数值 binopdf binopdf(x,n,p) 参数为n, p的二项分布的概率密度函数值 geopdf geopdf(x,p) 参数为 p的几何分布的概率密度函数值 hygepdf hygepdf(x,M,K,N) 参数为 M，K，N的超几何分布的概率密度函数值 poisspdf poisspdf(x,Lambda) 参数为Lambda的泊松分布的概率密度函数值 例4-6 绘制卡方分布密度函数在自由度分别为1、5、15的图形 >> x=0:0.1:30; >> y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':') >> hold on >> y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+') >> y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o') >> axis([0,30,0,0.2]) %指定显示的图形区域 则图形为图4-1。 4.2.3 常见分布的密度函数作图 1．二项分布 例4-7 >>x = 0:10; >>y = binopdf(x,10,0.5); >>plot(x,y,'+') 2．卡方分布 例4-8 >> x = 0:0.2:15; >>y = chi2pdf(x,4); >>plot(x,y) 图4-2 3．非中心卡方分布 例4-9 >>x = (0:0.1:10)'; >>p1 = ncx2pdf(x,4,2); >>p = chi2pdf(x,4); >>plot(x,p,'--',x,p1,'-') 4．指数分布 例4-10 >>x = 0:0.1:10; >>y = exppdf(x,2); >>plot(x,y) 图4-3 5．F分布 例4-11 >>x = 0:0.01:10; >>y = fpdf(x,5,3); >>plot(x,y) 6．非中心F分布 例4-12 >>x = (0.01:0.1:10.01)'; >>p1 = ncfpdf(x,5,20,10); >>p = fpdf(x,5,20); >>plot(x,p,'--',x,p1,'-') 图4-4 7．Γ分布 例4-13 >>x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10); >>y = gampdf(x,100,10); >>y1 = normpdf(x,1000,100); >>plot(x,y,'-',x,y1,'-.') 8．对数正态分布 例4-14 >>x = (10:1000:125010)'; >>y = lognpdf(x,log(20000),1.0); >>plot(x,y) >>set(gca,'xtick',[0 30000 60000 90000 120000]) >>set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',… '$90,000','$120,000')) 图4-5 9．负二项分布 例4-15 >>x = (0:10); >>y = nbinpdf(x,3,0.5); >>plot(x,y,'+') 10．正态分布 例4-16 >> x=-3:0.2:3; >> y=normpdf(x,0,1); >> plot(x,y) 图4-6 11．泊松分布 例4-17 >>x = 0:15; >>y = poisspdf(x,5); >>plot(x,y,'+') 12．瑞利分布 例4-18 >>x = [0:0.01:2]; >>p = raylpdf(x,0.5); >>plot(x,p) 图4-7 13．T分布 例4-19 >>x = -5:0.1:5; >>y = tpdf(x,5); >>z = normpdf(x,0,1); >>plot(x,y,'-',x,z,'-.') 14．威布尔分布 例4-20 >> t=0:0.1:3; >> y=weibpdf(t,2,2); >> plot(y) 图4-8 4.3 随机变量的累积概率值(分布函数值) 4.3.1 通用函数计算累积概率值 命令 通用函数cdf用来计算随机变量 的概率之和（累积概率值） 函数 cdf 格式 说明 返回以name为分布、随机变量X≤K的概率之和的累积概率值，name的取值见表4-1 常见分布函数表 例4-21 求标准正态分布随机变量X落在区间(-∞，0.4)内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：标准正态数值表）。 解： >> cdf('norm',0.4,0,1) ans = 0.6554 例4-22 求自由度为16的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率 >> cdf('chi2',6.91,16) ans = 0.0250 4.3.2 专用函数计算累积概率值（随机变量 的概率之和） 命令 二项分布的累积概率值 函数 binocdf 格式 binocdf (k, n, p) %n为试验总次数，p为每次试验事件A发生的概率，k为n次试验中事件A发生的次数，该命令返回n次试验中事件A恰好发生k次的概率。 命令 正态分布的累积概率值 函数 normcdf 格式 normcdf( ) %返回F(x)= 的值，mu、sigma为正态分布的两个参数 例4-23 设X~N（3, 22） （1）求 （2）确定c，使得 解（1） p1= p2= p3= p4= 则有： >>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2) p1 = 0.5328 >>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2) p2 = 0.9995 >>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2) p3 = 0.6853 >>p4=1-normcdf(3,3,2) p4 = 0.5000 专用函数计算累积概率值函数列表如表4-4。 表4-4 专用函数的累积概率值函数表 函数名 调用形式 注 释 unifcdf unifcdf (x, a, b) [a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} unidcdf unidcdf(x,n) 均匀分布（离散）累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} expcdf expcdf(x, Lambda) 参数为Lambda的指数分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} normcdf normcdf(x, mu, sigma) 参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} chi2cdf chi2cdf(x, n) 自由度为n的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} tcdf tcdf(x, n) 自由度为n的t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} fcdf fcdf(x, n1, n2) 第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值 gamcdf gamcdf(x, a, b) 参数为a, b的 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} betacdf betacdf(x, a, b) 参数为a, b的 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} logncdf logncdf(x, mu, sigma) 参数为mu, sigma的对数正态分布累积分布函数值 nbincdf nbincdf(x, R, P) 参数为R，P的负二项式分布概累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} ncfcdf ncfcdf(x, n1, n2, delta) 参数为n1，n2，delta的非中心F分布累积分布函数值 nctcdf nctcdf(x, n, delta) 参数为n，delta的非中心t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} ncx2cdf ncx2cdf(x, n, delta) 参数为n，delta的非中心卡方分布累积分布函数值 raylcdf raylcdf(x, b) 参数为b的瑞利分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} weibcdf weibcdf(x, a, b) 参数为a, b的韦伯分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} binocdf binocdf(x,n,p) 参数为n, p的二项分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} geocdf geocdf(x,p) 参数为 p的几何分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} hygecdf hygecdf(x,M,K,N) 参数为 M，K，N的超几何分布的累积分布函数值 poisscdf poisscdf(x,Lambda) 参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 说明 累积概率函数就是分布函数F(x)=P{X≤x}在x处的值。 4.4 随机变量的逆累积分布函数 MATLAB中的逆累积分布函数是已知 ，求x。 逆累积分布函数值的计算有两种方法 4.4.1 通用函数计算逆累积分布函数值 命令 icdf 计算逆累积分布函数 格式 说明 返回分布为name，参数为 ，累积概率值为P的临界值，这里name与前面表4.1相同。 如果 ，则 例4-24 在标准正态分布表中，若已知 =0.975，求x 解：>> x=icdf('norm',0.975,0,1) x = 1.9600 例4-25 在 分布表中，若自由度为10， =0.975，求临界值Lambda。 解：因为表中给出的值满足 ，而逆累积分布函数icdf求满足 的临界值 。所以，这里的 取为0.025，即 >> Lambda=icdf('chi2',0.025,10) Lambda = 3.2470 例4-26 在假设检验中，求临界值问题： 已知： ，查自由度为10的双边界检验t分布临界值 >>lambda=icdf('t',0.025,10) lambda = -2.2281 4.4.2 专用函数-inv计算逆累积分布函数 命令 正态分布逆累积分布函数 函数 norminv 格式 X=norminv(p,mu,sigma) %p为累积概率值，mu为均值，sigma为标准差，X为临界值，满足：p=P{X≤x}。 例4-27 设 ，确定c使得 。 解：由 得， =0.5，所以 >>X=norminv(0.5, 3, 2) X= 3 关于常用临界值函数可查下表4-5。 表4-5 常用临界值函数表 函数名 调用形式 注 释 unifinv x=unifinv (p, a, b) 均匀分布(连续)逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求x） unidinv x=unidinv (p,n) 均匀分布（离散）逆累积分布函数，x为临界值 expinv x=expinv (p, Lambda) 指数分布逆累积分布函数 norminv x=Norminv(x,mu,sigma) 正态分布逆累积分布函数 chi2inv x=chi2inv (x, n) 卡方分布逆累积分布函数 tinv x=tinv (x, n) t分布累积分布函数 finv x=finv (x, n1, n2) F分布逆累积分布函数 gaminv x=gaminv (x, a, b) 分布逆累积分布函数 betainv x=betainv (x, a, b) 分布逆累积分布函数 logninv x=logninv (x, mu, sigma) 对数正态分布逆累积分布函数 nbininv x=nbininv (x, R, P) 负二项式分布逆累积分布函数 ncfinv x=ncfinv (x, n1, n2, delta) 非中心F分布逆累积分布函数 nctinv x=nctinv (x, n, delta) 非中心t分布逆累积分布函数 ncx2inv x=ncx2inv (x, n, delta) 非中心卡方分布逆累积分布函数 raylinv x=raylinv (x, b) 瑞利分布逆累积分布函数 weibinv x=weibinv (x, a, b) 韦伯分布逆累积分布函数 binoinv x=binoinv (x,n,p) 二项分布的逆累积分布函数 geoinv x=geoinv (x,p) 几何分布的逆累积分布函数 hygeinv x=hygeinv (x,M,K,N) 超几何分布的逆累积分布函数 poissinv x=poissinv (x,Lambda) 泊松分布的逆累积分布函数 例4-28 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1% 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的。设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，36），求车门的最低高度。 解：设h为车门高度，X为身高 求满足条件 的h，即 ，所以 >>h=norminv(0.99, 175, 6) h = 188.9581 例4-29 卡方分布的逆累积分布函数的应用 在MATLAB的编辑器下建立M文件如下： n=5; a=0.9; %n为自由度，a为置信水平或累积概率 x_a=chi2inv(a,n)； %x​_a 为临界值 x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n)； %计算 的概率密度函数值，供绘图用 plot(x,yd_c,'b'), hold on %绘密度函数图形 xxf=0:0.1:x_a; yyf=chi2pdf(xxf,n)； %计算[0，x_a]上的密度函数值，供填色用 fill([xxf,x_a], [yyf,0], 'g') %填色，其中：点(x_a, 0)使得填色区域封闭 text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a)) %标注临界值点 text(10,0.10, ['\fontsize{16}X~{\chi}^2(4)']) %图中标注 text(1.5,0.05, '\fontsize{22}alpha=0.9' ) %图中标注 结果显示如图4-9。 4.5 随机变量的数字特征 4.5.1 平均值、中值 命令 利用mean求算术平均值 格式 mean(X) %X为向量，返回X中各元素的平均值 mean(A) %A为矩阵，返回A中各列元素的平均值构成的向量 mean(A,dim) %在给出的维数内的平均值 说明 X为向量时，算术平均值的数学含义是 ，即样本均值。 例4-30 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 >> mean(A) ans = 1.3333 3.0000 3.0000 5.3333 >> mean(A,1) ans = 1.3333 3.0000 3.0000 5.3333 命令 忽略NaN计算算术平均值 格式 nanmean(X) %X为向量，返回X中除NaN外元素的算术平均值。 nanmean(A) %A为矩阵，返回A中各列除NaN外元素的算术平均值向量。 例4-31 >> A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan] A = 1 2 3 NaN 5 2 3 7 NaN >> nanmean(A) ans = 2.0000 4.6667 2.5000 命令 利用median计算中值（中位数） 格式 median(X) %X为向量，返回X中各元素的中位数。 median(A) %A为矩阵，返回A中各列元素的中位数构成的向量。 median(A,dim) %求给出的维数内的中位数 例4-32 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 >> median(A) ans = 1 3 4 5 命令 忽略NaN计算中位数 格式 nanmedian(X) %X为向量，返回X中除NaN外元素的中位数。 nanmedian(A) %A为矩阵，返回A中各列除NaN外元素的中位数向量。 例4-33 >> A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan] A = 1 2 3 NaN 5 2 3 7 NaN >> nanmedian(A) ans = 2.0000 5.0000 2.5000 命令 利用geomean计算几何平均数 格式 M=geomean(X) %X为向量，返回X中各元素的几何平均数。 M=geomean(A) %A为矩阵，返回A中各列元素的几何平均数构成的向量。 说明 几何平均数的数学含义是 ，其中：样本数据非负，主要用于对数正态分布。 例4-34 >> B=[1 3 4 5] B = 1 3 4 5 >> M=geomean(B) M = 2.7832 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 >> M=geomean(A) M = 1.2599 3.0000 2.5198 5.3133 命令 利用harmmean求调和平均值 格式 M=harmmean(X) %X为向量，返回X中各元素的调和平均值。 M=harmmean(A) %A为矩阵，返回A中各列元素的调和平均值构成的向量。 说明 调和平均值的数学含义是 ，其中：样本数据非0，主要用于严重偏斜分布。 例4-35 >> B=[1 3 4 5] B = 1 3 4 5 >> M=harmmean(B) M = 2.2430 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 >> M=harmmean(A) M = 1.2000 3.0000 2.0000 5.2941 4.5.2 数据比较 命令 排序 格式 Y=sort(X) %X为向量，返回X按由小到大排序后的向量。 Y=sort(A) %A为矩阵，返回A的各列按由小到大排序后的矩阵。 [Y,I]=sort(A) % Y为排序的结果，I中元素表示Y中对应元素在A中位置。 sort(A,dim) %在给定的维数dim内排序 说明 若X为复数，则通过|X|排序。 例4-36 >> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A = 1 2 3 4 5 2 3 7 0 >> sort(A) ans = 1 2 0 3 5 2 4 7 3 >> [Y,I]=sort(A) Y = 1 2 0 3 5 2 4 7 3 I = 1 1 3 3 2 2 2 3 1 命令 按行方式排序 函数 sortrows 格式 Y=sortrows(A) %A为矩阵，返回矩阵Y，Y按A的第1列由小到大，以行方式排序后生成的矩阵。 Y=sortrows(A, col) %按指定列col由小到大进行排序 [Y,I]=sortrows(A, col) % Y为排序的结果，I表示Y中第col列元素在A中位置。 说明 若X为复数，则通过|X|的大小排序。 例4-37 >> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A = 1 2 3 4 5 2 3 7 0 >> sortrows(A) ans = 1 2 3 3 7 0 4 5 2 >> sortrows(A,1) ans = 1 2 3 3 7 0 4 5 2 >> sortrows(A,3) ans = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 >> sortrows(A,[3 2]) ans = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 >> [Y,I]=sortrows(A,3) Y = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 I = 3 2 1 命令 求最大值与最小值之差 函数 range 格式 Y=range(X) %X为向量，返回X中的最大值与最小值之差。 Y=range(A) %A为矩阵，返回A中各列元素的最大值与最小值之差。 例4-38 >> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A = 1 2 3 4 5 2 3 7 0 >> Y=range(A) Y = 3 5 3 4.5.3 期望 命令 计算样本均值 函数 mean 格式 用法与前面一样 例4-39 随机抽取6个滚珠测得直径如下：（直径：mm） 14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32 试求样本平均值 解：>>X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32]； >>mean(X) %计算样本均值 则结果如下： ans = 15.0600 命令 由分布律计算均值 利用sum函数计算 例4-40 设随机变量X的分布律为： X -2 -1 0 1 2 P 0.3 0.1 0.2 0.1 0.3 求E (X) E(X2-1) 解：在Matlab编辑器中建立M文件如下： X=[-2 -1 0 1 2]; p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3]; EX=sum(X.*p) Y=X.^2-1 EY=sum(Y.*p) 运行后结果如下： EX = 0 Y = 3 0 -1 0 3 EY = 1.6000 4.5.4 方差 命令 求样本方差 函数 var 格式 D=var(X) %var(X)= ,若X为向量，则返回向量的样本方差。 D=var(A) %A为矩阵，则D为A的列向量的样本方差构成的行向量。 D=var(X, 1) %返回向量（矩阵）X的简单方差（即置前因子为 的方差） D=var(X, w) %返回向量（矩阵）X的以w为权重的方差 命令 求标准差 函数 std 格式 std(X) %返回向量（矩阵）X的样本标准差（置前因子为 ）即： std(X,1) %返回向量（矩阵）X的标准差（置前因子为 ） std(X, 0) %与std (X)相同 std(X, flag, dim) %返回向量（矩阵）中维数为dim的标准差值，其中flag=0时，置前因子为 ；否则置前因子为 。 例4-41 求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差 14.70 15.21 14.90 15.32 15.32 解： >>X=[14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32]; >>DX=var(X,1) %方差 DX = 0.0559 >>sigma=std(X,1) %标准差 sigma = 0.2364 >>DX1=var(X) %样本方差 DX1 = 0.0671 >>sigma1=std(X) %样本标准差 sigma1 = 0.2590 命令 忽略NaN的标准差 函数 nanstd 格式 y = nanstd(X) %若X为含有元素NaN的向量，则返回除NaN外的元素的标准差，若X为含元素NaN的矩阵，则返回各列除NaN外的标准差构成的向量。 例4-42 >> M=magic(3) %产生3阶魔方阵 M = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 >> M([1 6 8])=[NaN NaN NaN] %替换3阶魔方阵中第1、6、8个元素为NaN M = NaN 1 6 3 5 NaN 4 NaN 2 >> y=nanstd(M) %求忽略NaN的各列向量的标准差 y = 0.7071 2.8284 2.8284 >> X=[1 5]; %忽略NaN的第2列元素 >> y2=std(X) %验证第2列忽略NaN元素的标准差 y2 = 2.8284 命令 样本的偏斜度 函数 skewness 格式 y = skewness(X) %X为向量，返回X的元素的偏斜度；X为矩阵，返回X各列元素的偏斜度构成的行向量。 y = skewness(X,flag) %flag=0表示偏斜纠正，flag=1（默认）表示偏斜不纠正。 说明 偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度，如果偏斜度为负，说明均值左边的数据比均值右边的数据更散；如果偏斜度为正，说明均值右边的数据比均值左边的数据更散，因而正态分布的偏斜度为 0；偏斜度是这样定义的： 其中：μ为x的均值，σ为x的标准差，E(.)为期望值算子 例4-43 >> X=randn([5,4]) X = 0.2944 0.8580 -0.3999 0.6686 -1.3362 1.2540 0.6900 1.1908 0.7143 -1.5937 0.8156 -1.2025 1.6236 -1.4410 0.7119 -0.0198 -0.6918 0.5711 1.2902 -0.1567 >> y=skewness(X) y = -0.0040 -0.3136 -0.8865 -0.2652 >> y=skewness(X,0) y = -0.0059 -0.4674 -1.3216 -0.3954 4.5.5 常见分布的期望和方差 命令 均匀分布（连续）的期望和方差 函数 unifstat 格式 [M,V] = unifstat(A,B) %A、B为标量时，就是区间上均匀分布的期望和方差，A、B也可为向量或矩阵，则M、V也是向量或矩阵。 例4-44 >>a = 1:6; b = 2.*a; >>[M,V] = unifstat(a,b) M = 1.5000 3.0000 4.5000 6.0000 7.5000 9.0000 V = 0.0833 0.3333 0.7500 1.3333 2.0833 3.0000 命令 正态分布的期望和方差 函数 normstat 格式 [M,V] = normstat(MU,SIGMA) %MU、SIGMA可为标量也可为向量或矩阵，则M=MU，V=SIGMA2。 例4-45 >> n=1:4; >> [M,V]=normstat(n'*n,n'*n) M = 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 V = 1 4 9 16 4 16 36 64 9 36 81 144 16 64 144 256 命令 二项分布的均值和方差 函数 binostat 格式 [M,V] = binostat(N,P) %N，P为二项分布的两个参数，可为标量也可为向量或矩阵。 例4-46 >>n = logspace(1,5,5) n = 10 100 1000 10000 100000 >>[M,V] = binostat(n,1./n) M = 1 1 1 1 1 V = 0.9000 0.9900 0.9990 0.9999 1.0000 >>[m,v] = binostat(n,1/2) m = 5 50 500 5000 50000 v = 1.0e+04 * 0.0003 0.0025 0.0250 0.2500 2.5000 常见分布的期望和方差见下表4-6。 表4-6 常见分布的均值和方差 函数名 调用形式 注 释 unifstat [M,V]=unifstat ( a, b) 均匀分布(连续)的期望和方差，M为期望，V为方差 unidstat [M,V]=unidstat (n) 均匀分布（离散）的期望和方差 expstat [M,V]=expstat (p, Lambda) 指数分布的期望和方差 normstat [M,V]=normstat(mu,sigma) 正态分布的期望和方差 chi2stat [M,V]=chi2stat (x, n) 卡方分布的期望和方差 tstat [M,V]=tstat ( n) t分布的期望和方差 fstat [M,V]=fstat ( n1, n2) F分布的期望和方差 gamstat [M,V]=gamstat ( a, b) 分布的期望和方差 betastat [M,V]=betastat ( a, b) 分布的期望和方差 lognstat [M,V]=lognstat ( mu, sigma) 对数正态分布的期望和方差 nbinstat [M,V]=nbinstat ( R, P) 负二项式分布的期望和方差 ncfstat [M,V]=ncfstat ( n1, n2, delta) 非中心F分布的期望和方差 nctstat [M,V]=nctstat ( n, delta) 非中心t分布的期望和方差 ncx2stat [M,V]=ncx2stat ( n, delta) 非中心卡方分布的期望和方差 raylstat [M,V]=raylstat ( b) 瑞利分布的期望和方差 Weibstat [M,V]=weibstat ( a, b) 韦伯分布的期望和方差 Binostat [M,V]=binostat (n,p) 二项分布的期望和方差 Geostat [M,V]=geostat (p) 几何分布的期望和方差 hygestat [M,V]=hygestat (M,K,N) 超几何分布的期望和方差 Poisstat [M,V]=poisstat (Lambda) 泊松分布的期望和方差 4.5.6 协方差与相关系数 命令 协方差 函数 cov 格式 cov(X) %求向量X的协方差 cov(A) %求矩阵A的协方差矩阵，该协方差矩阵的对角线元素是A的各列的方差，即：var(A)=diag(cov(A))。 cov(X,Y) %X,Y为等长列向量，等同于cov([X Y])。 例4-47 >> X=[0 -1 1]';Y=[1 2 2]'； >> C1=cov(X) %X的协方差 C1 = 1 >> C2=cov(X,Y) %列向量X、Y的协方差矩阵，对角线元素为各列向量的方差 C2 = 1.0000 0 0 0.3333 >> A=[1 2 3;4 0 -1;1 7 3] A = 1 2 3 4 0 -1 1 7 3 >> C1=cov(A) %求矩阵A的协方差矩阵 C1 = 3.0000 -4.5000 -4.0000 -4.5000 13.0000 6.0000 -4.0000 6.0000 5.3333