选择公理与连续统假设

第 �� 卷 第 � 期 �� � 年 � 月 数 学 � � � � � � �� �� 进 展 � � 飞,� �� �� �� � � �� � � � , � � � � �� 。 · , � � � � 选择公理与连续统假设 � 戚 征 �中国科学院戮学研究所 � 务� � 引 言 选择公理 �� �� 令 � 为由互不相交之非空集 二 所成之集 , 则必存在集 ‘二 � 二 。声 , ‘ 与每个 二 有且仅有一个共同元 � 称上述之 ‘ 为 , 之“选择集” � 当 � 仅由一个非空集 二 构成时 , 由 二 为非空之定义立 见 � � 成立 �从而当 � 为有限集时 �� 亦成立 � 但当 � 为无限集时 , 既无法在有限时间 内从每个 � 中任选一元来构成 � , 又没有一种 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 能对每个 二 都唯一地确 定 出一个 元 �尽管不能逐一选遍全体 � ‘ � 来构成 ‘ , 此时 ‘ 之存在性是有争议的 � 诸如 � � �� 运� �� 比 , � � � �� �� �� 及 � � � �� � 这些数学家都曾怀疑过 � � � 值得注意的是 , 当 �为无限集时 , 每个集 ‘ 皆为有限的条件对保证选择集 ‘ 之存在既不必要亦不充分 � 例如当 每个 ‘ 皆为良序集时 , 可于每个 ‘ 中取其最小元�这是一种确定的规则�来构成 ‘ �而当每 个 � 皆为有限集时 , ‘ 之存在与否需视具体情况而定 � 按 � � � �� 习� 的有趣的例子来解 释这一点 � 当无限集 � 之每个元 ‘ 皆为一双鞋所成之二元集时 , 可于每个 ‘ 中取出左脚 穿的鞋来构成 。 � 但当每个 ‘ 皆为一双袜所成之二元集时 , 就没有一种规则保证 ‘ 之存 在 , 因袜子不分左右 � � � �出�� � � 早就在无意中用 � � 证明问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 了 � � � ��� 。 在 � � � � 年发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的一篇解常 微分方程组的文章�〔�� �� � �� 中明显地暗示了 �� , 但对其持拒绝的态度 , 他设法在该具 体情况下证出选择集 ‘ 之存在 � 在 �� ��� �街� �� �� ! � �� 和 �� �� �� �以止�� �� 公【�� ��� 中都提到 � � ��� 在 �� ! 年的文【牡 �中首次提到并使用了 � � � 但 � � �七�, 在 文� , �� 中指出这是对 � �� � 文章之内容和着重点的误解 , 因为就文意看来 �七�� 并不相信 � � � � � �� � 山 于 �� � � 年的文 【�� � 中明确提出了 � � , 并用它给出了良序定理的第一 个证明 , 它又于 �� � 年的文【� �� 中用 � � 给出第二个证明 � 文中声明他是根据 � � �� � � � � � 的提示提出 � � 的 , 其形式与现今所谓的“一般选择原理 ”接近 � 即不假设 ‘ 之元互 不相交 , 而断言存在定义于 ‘ 上之“选择函数” �使 了�幻 〔式二 〔 �� � � � � � ��� 于 �� � � 年 在文 � �� 〕盯一�� 中对互不相交之元 , 给出 �� 的 � �� �� �� 乘积形式�他所谓的 “乘法公 理勺以及本节一开头给出的那种 �关于 ‘ 的选择集 ‘ 的 �形式 � � � � ��� �� � 于 �� � 年的 文 〔� � � � �� 和 � �� ��� � , �� ��� 中用集论的其它公理论证了这几种不同形式的 �� 之等价 性 , 而容易引起误解的 “选择”一词就是在文 【�� 」�� � 中最先提出的 � �� � 年 � 月 � � 日收到 , �� � 年 � � 月 � � 日收到修改稿 , � 期 戚征 � 选择公理与连续统假设 除 � �� �� 的平行公设外 , 数学中未见有其它公理能象 � � 这样引起数学界这么大的 兴趣和有关其数学基础的如此众多的研讨 � 问题在于其非构造特性 � 直到十九世纪 , 数 学中的“ 存在”一词还是“ 可构成” 的同义词 � � � � �� �� 关于超限数存在的证明曾遭到当 时一些著名数学家的反对与怀疑 � 当时有位 � � � �� � 。 教授曾获费了十年时间去作一 个正 � � , � � � 边形 , 其实比他早一个世纪就已 由 � � � � � � 证明其存在了 � 但因该证明是非构造性的 , � �� �� 就不相信它 � 是否一定要用 � � 呢� 在有限数学中实际上可以不用 , 因当 � 为有限集时 , 选择集 � 之存在并无疑问 � 但在研究抽象无限结构的近代数学如点集拓朴 、代数 、测度论及泛函分 析等领域中 , � � 是必不可少的 � 更不用说 � � 在集论本身中的重要地位了 � 有两个较 � � 弱的选择原理常被用到 , 它们是 � � � 。 �可数选择公理�由可数个非空集所成之集 ‘ 有选择 函数 � � � �相关选择原理�若 � 为非空集 ‘ 上之二元关系 , 且 �� ‘ �为 ‘ , , �� �� 则 �� 。〔 , 日�� 。�� 〔。 �� , , 朴 � � � , 二 �群 � , ⋯ , 二, � 二。 � , , · ⋯ 已证 �� ” �〕� ” � � � �� � ��� 盯� �� � � , � � � ��� � , � � , 声争� � �� � ���� �� �� �� �生� ,目� , � � 。 , 沪, �℃ �� � � � �� � ��� � � � � ��� � � 关于 � � 及其历史进展的概要可参看谢邦杰 � � � � ��� 一 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf � 芍� � 与 � � 等价的某些命题 �� 若 , 为非空集 � 所成之集 , 则必存在定义于 ‘ 上之选择函数 �, �� ‘, , ��劝 ‘二 �� � �� � � � � � � �旧� ��� � 若 , 为互不相交之非空集 � 所成之集 , 则必存在 。 � � 二 。声 , ‘ 与每个 二 有且仅 有一个共同元 �� � � � ����� � � � 〔‘� , � � �� � 若 � 为非空集 � 所成之集 , 则 � �� � �� �� 乘积 � 二 。声 笋 �〔‘, , � � ! 每个集皆可良序化 (E . Ze rmel o 1904‘8日) . 命题(心是 G . C antor 在 1883 年提出的猜想. D .H ilbe rt 在 1900 年于 P扭s 举行的 第二届国际数学家大会 (l CM ) 上说明他提出的 23 个著名问题 中的第一个— “连续统之势的 c咖r问题” 即所谓的连续统假设 (c H ) 时 , 曾说到 良序定理可能包含着证明c H 的“ 钥匙” , 他认为这二者是密切联系的 . 在 1904 年于 H e记d b u rg 举行第三届 Ic M 时 , J . K 。吨 于 8 月 10 日提出了他的实数连续统不可良序化的“证明” , 但很快就不得不 放弃这个 “证明” . 此后不到两个月 , E . Z e n u elo 就用 A C 证 出了良序定理 , 他于同年发 表的那篇短文【86] 是他写给 H ilbe rt 的信的一部分. (5) 良序集之幂集必可 良序化 (H . R ubin 19 60〔5 , , ) . ( 6 ) 若 , 为以集为元之集 , 则 , 作为对包含关系c 之部分有序集有极大链(链即线性 有序子集 , x 〔y 表 x 为 y 之真子集) (F. H au sdo rff 1914国). (7) 任一部分有序集皆有极大链凶. (8) 令 ! 为以集为元之非空集 , 若对包含关系仁而言 ‘ 的每个非空链 中之集之并仍 为 ‘ 之元 , 则 ‘ 有极大元 (K . K urat ow ski 1922〔3 , , ; M . Zo rn 1 9 3 5 〔8 , , ) . ‘ 数 学 进 展 13 卷 一~~~.~~~~‘目 ~ ~ ~ ~ ‘‘ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - - - - . ~ ~ ‘~ ~ ~ - - -一(9)令 , 为以集为元之非空集 , 若对包含关系c 而言 ‘ 的每个 良序链中之集之并仍 为 ‘ 之元 , 则 , 有极大元网. (10) 若非空部分有序集 ‘ 中之每个链皆有上界 , 则 ‘ 有极大元 (N .Bourb ak i 1939国 ; J . w . T u k叮 19 4018习) . ( 1 1) 若非空部分有序集 ! 中一之 每 个 良序链 皆有上 界 , 则 ‘ 有 极 大 元 (T . sz d e 1950t7, , ) . 注记 Bo urb ak i-T uk ey 形式的极大原理(10)即为文献中经常提到的 “Zo m 引理” , 其 实 助m 在 1935 年提出的是形式(s) 的极大原理 , 这早在 1922 年就已 由 K ur atow sk i 提出 并详加研讨了 . 而形式上差别稍大一点的极大原理 (6) , ( 夕) 则更早在 1914 年就已由 H au汉fo rf f 提出了. 但 2沁rn 在文〔89 〕中第一个证明了(s) 与 A C 等价. (12 ) 三分律: 任二基数 二 , 。 必满足且仅满足 m < 。 , , ~ , 及 , > 。 三关系 之一 (F . H arto 罗 19 1 , 。4, ) . ( 一3 ) 对任何无穷基数 , 恒有 。2 = 。 ( A . T ar sk i 1 9 2 4〔, 9 ] ) . ( 1 4 ) 任意多个紧拓朴空间之 T叮习H oB 乘积亦为紧拓朴空间(A . H . T 叮OHoB 1935[82 , ; J . L . K ell 即 1950 08, ) 。 因 A C 、 (14) 为熟知 , 现仅简述一下 (14), (AC) 之过程. 令 , ~ { x , 1 1 〔 I } 为以 非空集 x* 为元之集 , 任取定一元 。 , 并令 y, 一 二‘U { a} . 以 y , 之有限子集及 夕, , 二* 为 y , 中之闭集 , 则 y* 成为紧拓朴空间. 考虑 x ;。了y ; 中之闭集 句 ~ 有 x ( X 脚 。理刁, 则 集 {二‘}i 〔 ,} 中任意有限个元之交非空(在有限个 勾 中各任取一点 , 而在其余下标 i所 对应之投影 夕, 中一律取 a) 。 故由 x , 。, 夕‘ 之紧性立见 x , 。z二; 一 x *。, z ‘ 尹 0. (15) 同一紧拓朴空间 x 之任意多次重复的 T Hx oH oB 乘积 X ‘。:二 ( 其中I 为任意指 标集)亦为紧拓朴空间 (L . E . w ard Jr 19 62[83 , ) . 已知 A C 一 (15) , 故仅须证明 (15)叶A C . 令 ! 一 {x*!i〔I } 为由互不相交之非空 集 x, 所成之集 , x ~ U * 。1xj 。 于 ‘ 中取 x 及所有可能的有限个 x, 之并集为闭集 , 则 x 成为紧拓朴空间. 由 (巧) 知 X , 〔声 亦为紧拓朴空间. 考虑其中之 闭 集 街 一 勺 x ( x 洲 。 , 习. 任意有限个此种闭集之交必非空(因可于有限个 xi 中各任取一元 , 而在其余 下标 i所对应之投影 , 中任意取定同一个元 a) . 故由乘积空间之紧性 立见 x , 。, x , ~ X , 〔r z , 笋 0 。 ( 1 6 ) 任意赋范线性空间x 之对偶 X * 中之单位 球 有 极 端 点 (J . L . Bell & D . H . F re rn lin 1972。, ) . ( 1 7 ) B P r r + K M ( [ 3 ] ) . ( 1 8 ) H B + V K M ( [ 3 ] ) . 以上之 BPI T 表 Bo ol e 代数之素理想定理. K M 表 K pe 如 一M 肠恤 定理: 局部凸线性拓朴空间x 中之非空 、紧 、 凸集K 必有极端点. 而 v K M 为 K M 之加强 , 即将其中之 “ 紧”改为“ 凸紧” 而得者. x 之子集K 称为凸紧的 , 若 {‘ , } 为 x 中之闭凸集所成之非空 集 , 且 {天 门c二 } 中任意有限个元之交非空时 , 必有 门, ( K 门c , ) 笋 0 . H B 表 H ahn 一B an ac h 定理 : 令 x 为实线性空间 , p ( 幻 为X 上之实泛函 , 当 二 , y 〔X , , ) o 时恒有 p(二 + 力 ( p(幻 + p (刃 , 抓rx ) ~ 印(幻 ; 若 j0 为定义于 x 之子空间 X 。 上之 实 线 性泛 函 , 工 期 戚 征: 选 择公理与连续统假设 j0 (二) ( 户(二) ( 舍 ‘X 。) ; 则必存在定义于整个x 上之实线性泛函 f , f ( 二) 一 f。( 二) ( x 〔X O) , 少(, ) 蕊 P(:)(x 〔x ) . H . R u bin 、 & J . E . R ub in 19 63 If0) 是有关 AC 之等价命题的最为详尽的专著 . 附带提 一下 , 弱于 A C 而强于 A c 。 之 D C 是等价于 B兹e 纲定理的 (c . E . Bl air , Bu n . Ac ad , P o l o n . s e i . 义r. ses. M atn . A stro no m . P hys. 25 (1977 ) , 9 3 3 一93, ) . 5 3 . 证明中用到 A C 的一些熟知命题 (l) 可数个可数集之并集为可数 . 熟知的证法是将这些可数集之元排成序列 , 再将各序列排成如下之无穷阵: ao· a 00 a o i a o 移 · ‘ ’ / 口1 0口 11 a l. ’ 二 a班o a 加 1 二 “ a 功 ” ⋯ 内二甄二 然后按箭头所示方向依次从左上角往右下角将阵中 之 元 排 成 一 列 。。 , 。。, , 。1 。 , 。。 , al , , 但事实上 当可数集 A 之元 。 皆为可数集时 , A 之元与自然数集之 (1一 l) 对应 之全体之集 xA 有势 。, 而 A 之每个元 ‘ 与 自然数集之 (1一 l) 对应之全体之集 二。 、亦有 势 。. 以上的阵是从 , 一 x A U {x。 1 。 〔A }之各元 中各选了一个元的结果 , 这里用了 A 几。 ( 2 ) 每个无限集必包含一个可数子集 (A . N . W hit eh oad , B . Ru ss ell 1 9 12 [84 , ) . 在一般教本(例如 H . fl . 比TaH coH [5I1 m . I, 邪 , T e o pe h l a Z ) 用的是逐步从无限集 a 中取一个元的办法抽 出子列来 , 这是不严格的 , 因这种选取毫无规律 , 又不可能经有限步 作完. 严格的证明如下: v 。 一 1 , 2 , ⋯ , 令 x , 一 毛叫甲 为集 {1, 2 , ⋯ , 朴 在 。 中之 (l一 l ) 映射}. 对 ; 一 {x。 [ 1 簇 n < 。} 用 AC , 知有选择函数 f, 使 甲: ~ f( x 。 ) ‘x 二 ( , 一 l , 2 , ⋯ ). 令 {l , 2 , ⋯ , 时 经 甲, 映射后所得之象为 , 个不同的元 试时 , 姚川 , ⋯ , 心, , 于序列 试1) , 。尹 , 。尹 , ⋯ , 。沪 , 砧们 , ⋯ , a 沪 , ⋯ 中从左至右逐一去掉前面 已 出 现过的元 , 如此所得之序列即合所求 . 因第 , 组出现 , 个不同之元 , 故以上元列中不可能 只有有限个不同之元. 因元列之存在是 由 A C 。 保证的 , 从而逐步淘汰掉重复的元是完全 有规律的 , 并没有作无穷多次任意选择. (3) 第一个不可数序数 。: 非为序数之可数增加列之极限(用 A C 。) . ( 钓 任一线性空间必有基(即极大线性无关子集). (力 任一线性空间之任二基必有同一基数. (6) 任一域必有唯一之代数闭包(即代数封闭的代数扩域). (7) 任一 Boo le 代数必有素理想[超滤子] (M . H . Sto oe 193 6t, 7 , ) . (s ) st on e 表示定理: 每一 Bo ol 。 代数 B 皆同构于一集合代数[可取此集合代数为一 完全不连通紧 H au sd or 任 空间 (所谓 B 之 “s to n 。 空间勺 中全体既开又闭之集所成乏代 数 ] (M . H . sto ne 1934〔7幻: 1 9 3 6 〔, , , ) . ( 9 ) H all n 一刀an ac h 延拓定理(J. to‘ a . C . R yl l一 N 田月z ew sk i 19 5 1“幻: W . A . J . L u x exn - 数 学 进 展 13 卷 b倒唱 1 9 6 7诩). (10) 在每个 Bo ol e 代数 B 上恒可定义如下之实侧度 产: 产 为 B 上之实值函数 , 试的 ) o(吞〔 召) , 产( o ) ~ o , 产( x ) ~ l , 拼 ( a + 吞) ~ 产( a ) + 产( 云) ( a , 石‘ 刀 , 。 · 石 ~ o ) ( c . R 禅~N 田月 zews 琢 (未发表); [45]) , ( ( 9 ) 与(10)等价.) (11) K pe 血.刃卜仍b M阳 定理. (12) 可分距离空间之子空间必可分(用 A 几). ( 13) y P曰coH 引理: 若 A , B 为正规拓扑空间 X 中之不相交闭集 , 则必存在定义于x 上之连续实函数 f, o 成 f(二) 成 l(x 〔 X ) , f ( 汉) ~ {o } , f ( B ) ~ { 1 } . ( 1 4 ) 令 B 为直线 R 上之全体开集所生成之最小 卜代数 , 即 B 为 R 中 Bo 旧 集 之代数 , 则 (i ) B ~ U ;。IB ; , 其中 B0 为全体开集之集 , v 夸> o , 凡 为 U , 《尹 , 之 元及其余集之可数并之全体之集. (ii) B :军B f+l (萝< 。, ) ( 用 Ac 砂. (15) Leb 心即e 侧度为可数可加(用 A C矽. (16 ) 存在 L 山. gu e 不可测集. (17) 存在不满足 B瓦汪e 性质之集. (18) 在实轴 R 上存在无处连续之实值可加函数 . (19 ) 令 R 表实直线 , A c R , 则点 ‘ 之任何邻域 皆与 A 有交点之充 要 条 件 为存 在 王‘} g A , li m 二。 ~ 二 ( 证明此条件之必要性时要用 A q ) . (20 ) 令 R 表实直线 , A 〔R , 则A 为有界闭集之充要条件为 A 中任一列元 {‘} 必 有子列 {“。}, 恕 “*‘A (证明此条件之充分性时要用 A 几). (21) 令 f(二 ) 为定义于 [a , 吞] 上之实函数 , 朴〔 [ a , 吞] . 则 V s > 0日沙> 0 使当 二 ( [ a , 吞] , l x 一 苟[ < a 时 I f(二) 一 f(x。) l < ‘ 之充要条件为对 [a , b ] 中收敛于 介 之 任意序列 {x 。 } 恒有 lim 了(九) ~ f( x0 ) (证明此条件之充分性时要用 A C刀. 命题(21 )是数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中熟知的函数 f(、) 在一点 x0 处之连续性的 E . L . Cau chy 的 。一子 邻域定义 (cc ) 与 E . H ei n。 的序列极限定义 (H c) 的等价性. 显然证明 (c c), ( HC ) 时无需用 A C . 但在证明 (H C )。 (CC ) 时 要用 A C o. 下面的定理说明 , 不用某 种形式的选择原理是不行的 . 考虑条件: (s ) 对互不相交之非空实数集之列 必有子列 O 任取正整数 , > 生 . 占 V 互〔X 。 令 x。~ 一 _ / 1月 x女七 、一一二- 丁 , \ 刀 , . 1 ) 仁( 。, “, · 代人得 , · ( 二; , 三不气万 (I子面 十 ~ ‘) , ’衅~夸〔x 。 , 从而按定义知 f(x。) ~ 1 . 合 f(o) ~ o 知 V 占 > 0 日x 。〔 ( o , a ) 使 If(二。) 一 f(0) 一 1. 故在 朴 ~ o 处非为 (CC ). 从 而由题设 (H C ) * (CC ) 知在 二。 ~ o 处亦非为 (H C ). 因 f(二) 仅取 。及 i 二值 , 故 日{ u s} c ( O , l ) , 万m os一 o , f ( u s ) 一 1(i 一 l , 2 , ⋯). V户一 l , 2 , ⋯ 在 {us} 中仅有 有限个项 叭特 , 劲.故必有正整数列 Pl < 扒 < 按 f(幻 之定义知此有限个 。i 转 。 或 三 (。 一 1 , 2 , ⋯). 一 、 人 / 1. “ . , 理上翅七, 1、 l 曰 , \ P 互 十 1 中各包含有限个 uj ; 令此有限个 “ j 中之下标最小者为 因 f( , , ) 一 f(u , ) ~ 1 . ( S ) 成立 . , , , 则 V 友~ l , 2 , ⋯ 故按 f(二) 之定义知 , 沙之 V 天 1.不r ’ 2 , 二 , 生、.P左/ , 劣左 令 ‘, 一 甲, * ( , , ) , 则 一 甲以( “ , ) 〔X , * ; 即 、、.户/一PL. - l一八 ( =] 口‘、= 反之 , 若 (s) 成立 , 而 了(劝 在【o , 1] 中点 苟 处非为 (cC ) , 则必 日8 > 。使由 }二 一 二。} < 生 (, 一 l , 2 , ⋯)不能保证 Ir(二) 一 r(二。) } < 。. 此时令 , 二 一 { X }· 〔〔。, ‘, , 1 n 十 l ‘ ,一 , < 告, ,, ( ·卜 , ( 一) ! 妻 。} ,则显然诸 P 。 互不相交 , 且必有无穷多个 p 二 铸 0. 以(x 。 } 1 ( n < 。) 表此诸非空之 p 。 所 成之子列 .由 (s) 知有子列 (X 。 , 1 1 ( 乏< 。) 及实数列 (x, l 二 * 〔X 。。, l 簇 及< 。) , 故必 If(x , ) 一 f(翔) } ) 。( 无一 l , 2 , ⋯). VP~ l, 2 , ⋯ 显然 q 时 二* 〔p , + : U p , 。 U · ⋯ 从而 lx , 一 二。 l < 二。 处 - 共 伏 > 。) , 此即 。m 二* 一 二。. 由 Ij(二* ) 一 r(二。) l 妻 。( 天一 ; , : , ⋯)知在P 十 1 天, 。 f ( 二) 非为 (H c) . 故已证 (H C ) 、 (ee ). 定理 3.2 [’61 不用附加任何形式的选择原理 , 可证 当 f(幻 在 【a , 司 上到处为 (H C ) 时 , 亦必在 【。 , b] 上到处为 (C C) . 证 令 <“ * 1 1 钱 无< 。) 表[a , b ] 中全体有理数之列. Vx 。〔 [ a , b ] , V 。 > o , 若不 > o使当有理数 , 〔 [ a , 乡] , . , 一 朴! < 舀 时恒有 If(r) 一 f(朴) ! < 。 ; 则 饰 ~ l, 二: “* 。[ 。 , 去] , 一, , 一 二。一< 生 , I f ( 。* ) 一 r(二。) 一) 。. 令(“互一l ( 互< 。) 中满足此 占,日2 条件之第一个 权 ~ i(x 。) l ) 。. 从而由 , , . 则 v 。一 , 2 , ⋯:有理数 r。 。 [ 。 , 石] , l , 。一x0 一< 生 , I r ( r 。 ) 一 黑 r二 ~ 二。 及 f(:) 在 [。 , b ] 上到处为 (H C ) 之题设知 lim f( , , ) 一 f(翔) . 此与 If( , 。 ) 一 f(二0 ) I ) 。 矛盾 !故 V 。 > o 日占 > o 使当有理数 r 〔 [ 。 , 石] , { r 一 x。 ! < 口时恒有 If(r) 一 f(二。) . < 。. 竹 〔 [ a , 占] , ! 二 一 二。f < 占, 日 有理数列任。 ! l ( , < 。) C [ a , 去] , li m 二二 ~ x . 因 f(二 ) 在[a , b ] 上到处为(H C ) , 故 lim f(二二 ) 一 f(二) . 显然 日N > 0 使当 。 ) N 时 1二。 一 x。} < 吞. 因 x: 为有理数 , 故当 , ) N 时 !f(介) 数 字 进 展 13 卷 一 f(勒) } < 5 . 皆为 (CC ). 令 。 , co 即得 If(:) 一 f(x0 ) l 《 s , 即在 [a , 汤] 中任一点 x0 处 f(二) 有关本节题材的进一步的材料见 T . J. Jec h 1973〔32] . 5 4 . 用 A C 可证出许多奇怪的命题 (l) 在 Euc lid 平面 牙 上存在点集 Q , r 中之每条直线与 Q 有且 仅 有 两 个交 点 (5. Ma zu rki e咏2 191408, , 3 8 2 一383 , C p . w . s i e 印苗sk i 19 5 8〔70) , 4 4 6 一449)。 ( 2 ) 令 开 中之每条直线 s 对应上一基数 。: , 2 镇 二 , 《 2、. 则 日Q c 牙 , V 直线 S〔r , } Q 门S ! ~ m s. (F . B agem ili l 19 52。, ; w . 5 1仰油ki 1953“, , ) . ( 3 ) 在 Ellc lid 空间 Rs 中之单位球面K 可分解为四个互不相交之集 口, R , s , T; 其 中Q 为可数 , R 望S望T 望5 U T , 其中 “望” 为全等号 , 表示其两端之集经绕球心之旋转后 可合而为一 (F. H au sdo 击 1914。目 4 6 9 一472: Cp. H . fl . Ha 、eoH 19, o ‘, 1] 刀 , 5 , ) . ( 4 ) 砰 中之单位球面[开单位球 , 闭单位球〕K 可分解为 4[5] 个互不相交之集 Si (,’~ l , 2 , 3 , 4 ) [ Si ( i ~ l , 2 , 3 , 4 , 5 ) , 其中 S5 为由球心所成之单点集]. 将 凡 绕球心作 适当之旋转 R , [ R , 为恒等变换 1可得 K 一 R , ( S1 ) U R : ( 凡) ~ R , ( 5 3 ) U R ; ( 凡) [尤一R :(Sl ) U R :(凡) U 凡 ~ 双3( 5 3) U 尺;(又) U 凡] , 其中等号同侧之各 R ;(Si ) 当 i 不同时互不相交 , 而 4[5] 为使上述分解成立之最小数 (s . B an ac h et A . T ars kl 192412 , ) . (5 ) 令 K , , K , 为 开 中以 护 及 p 二正数为半径之二球面[开球 , 闭球] , 则可将 Kr 分 解为有限个互不相交之集 si (i一 1 , 2 , ⋯ , 习 , 且存在 。 个刚性运 动 (平 移及 旋 转) M ‘( i ~ l , 2 , ⋯ , 。) 使 K , ~ U :。、 , M , ( Si ) , 其中诸 M , ( 又) 两两不相交 (H ausd orf卜 B an ach 一ars ki一on N eu m an n 一R o b in o n ; c p . R . M . R o b i nso n 1 9 4 7 ‘, , , ) . 注记 (i ) 此诸分解所得之集 R , s , T , Si ( 凡 除外) 等皆非 L e比, 。 可测 , 其造法 与在 Rl 中造 L 一不可测集之法相近. 若它们皆为 L 一可测 , 则由 L 一测度之运动不变性 及可加性将得 出小数等于大数之矛盾. (ii) 这些怪结果使人们更加怀疑 A c 了 . 当 z er m 山 于 1夕。4 年在 M ath . An n习en 第 59 卷上首次用 A C 证明问题后 , 同刊 1905 年第 60 卷 19斗一19 5 页所载 E . Bo rel 的专 文就是反对这种证明的 . J. H ad am ard 在 1905 年的 Bull . de la so c. M ath .de Fr Zllc e , 3 了 卷 26 1一273 页的信中也提出了反对意见 . 但后来 E . Bo 旧 与 A . D enj oy 都倾向于承认 可数选择公理 A C 。 , 而 H . L eb留gu e 已看出区别集合 ‘ ( 由非空集 , 所成之集)之不同的 超限基数顶多是个心理上的理由罢了 . 尽管在 19 04 年以后一段时间内数学杂志上充满 了反对 A C 的意见 , 有趣的是也是在 M at h. An nal en 1905 年 60 卷 495 一462 页上发表了 G . H am d 用前一卷中 Z~ 山 刚用 A C 证出的良序定理证明了实数集 R 中 H am el 基 之存在 , 并用此种基证明了在 R 中存在不连续的可加函数(邪 , ( 1 5) ) . (ii i) 下一定理说明 , 单从 A C 能推出一些奇怪的结论就企图否定 A C 的理由是不充 分的 , 因为不用 A C 而用很初等的方法也能证出类似的怪命题 . 定理 4.1 (5. M azu rk iew ic z et w . sierp试sk i 19 14。 , , ) . 在 牙 中存在点集 材 一 才 以 B , A 门B 一 0 , 刁望 B 望 M 。 期 戚 征: 选择公理与连续统假设 证 在复平面中考虑两个刚性运动 R (幻 ~ 日z 及 T (幻 ~ z + l (z 为复变数). 令M 为由 二 ~ 0 经有限次 R 及 了之作用而得之点之全体之集 , 则显然M 中每一点皆可表 为 日 之一多项式 , 其系数为非负整数 . 因 砂 为超越数(见例如 c . L . si egel & R . Be ll- m an 19 4产习 Ch aP . 1 ) , 故此种表示为唯一 , 故可令M 中之点与 。‘ 之非负整系数多项式 (l一 l) 对应. 令 A 为M 中之点在此种表示下无常数项者全体之集 , 并令 B ~ M ~ A . 则 显然可见 汉 U B 一 M , 汉 门B ~ O , R ( M ) 一 才 , T ( 材 ) 一 召 , 从而 汉 一 R (材)望材望 T (M ) 一 B. 5 5 . 连续统假设 (C H )与广义连续统假设 (G C H ) 这里 , “连续统”一词是指全体实数之集 , 现今拓扑中的连续统是指非空的连通 、 紧集 。 已知 , 距离空间中的连续统若多于一个点 , 则其基数必为 。. G . ca nt or 于 1878年 (〔7〕256 , [ 8 ] 1 3 2 ) 提出了“连续统假设”: “在可数集之基数 a 与实数连续统之基数 c 之间不存在 其它基数” . 这是集论中早期出现的名题之一 , 当时的许 多数学名家都曾试 图解决它. 在 上世纪末 Ca ntor 曾认为他能证 出此猜想 , 并数次在自己的文章中许愿要在以后发表文章 来证明它 , 最后他甚至曾宣称 已经证出了它; 当然 , 他实际上并没有证 出来 (cP . 〔8〕, 24 4 ) . 据说 , ca n to r 在 1884 年健康恶化到危险程度的部分原因就在于他不顾一 切地 力 图证明 c H . D . H ilbe rt 于 1900 年 8 月 8 日在 Pa 击 举行的第二届 Ic M 上提出的二十三 个著名问题中的第一号—“连续统之势的 ca nt 。: 问题 ”就是 cH . 在 1904 年于 H e记el-bu rg 举行的第三届 IC M 上有人想证明也有人想否定 c H , 但都是错的. H ilbe rt 在 192, 年的文〔28] 中曾有意用他的元数学理论证明 c H 之相容性而未果. 总之 , 从 cH 提出 直到 1938 年以前这六十年间 , 在这一问题的解决上一直没有重大进展;但常用 c H 来简 化一些问题的证明. 下列四个命题皆与 c H 等价: (l) 牙 一 SI U S:U S 3, S * 与 R , 中平行于 D esc arteS 坐标轴 。x i ( i ~ l , 2 , 3 ) 之任何 直线皆仅有有限个交点 (w . sierp 澎ki 1951汇“ , ; c p · [ 7 0 ] , 3 9 7 ) . ( 2 ) n 3 ~ SI U s Z U s , , s * 与 开 中垂直于 D eSC artes 坐标轴 。x ‘( i 一 l , 2 , 3 ) 之任何 平面皆至多有可数个交点(〔68 1; ‘p . [ 7 0 〕, 3 7 8 ) . ( 3 ) 非 。实数全体之集 R ~ {o} ~ U 。 。J , , 其中 v , 〔 。 , 月。 为 R 中之一 H am el 基(极大有理线性无关子集) (P . E川。, & s . K 应ut an i 194 3。习 , 4 5 9 , T h . 2 ) . ( D 存在序型为 。 , 之超限序列 (N ;1互< 叭) , v 互< 。, , N : 皆为自 然 数之 无 限 集; 对自然数之每个无限集 A , 恒有 a < 。, 使 1从 ~ 刁 } < 从。 ( F . R o th 决铭er 194 8 , [ 5 8 ] , 3 3 ; cP . [ 7 0 ] , 4 5 0 ) . C an to r 于 1883 年隐含地猜测成立 2确: ~ 姨 , F . H a 理吐orff 于 1908 年 ([25 ]) 首先提 出更一般的命题: “对每个 alePh 。 , 2 “ ~ a+ , 亦即 v 序数 a , 2 、 ~ 汽+l ,’; 是即所谓 “广 义连续统假设 (G c H )” . G c H 还可以用另一种方式提出: “对每个无穷基数 。 不存在 任何基数 n 满足 m < n < 2, ” . 定理 5.1 (A . Linden baum e: A . T arsk i 1926【43 , ; 证明见 w . sie印iffsk i 194 7〔‘7 , ) . ( V 数 学 进 展 一 13 卷 无穷基数 m , 不存在基数 n 使 m < n < 2“ ) 一(AC)八(V 序数 a , 2 气 ~ 礼+1 ).此定理亦可由以下之定理 5.2 及良序定理与 A C 之等价性得出. 定理 5. 2 (E . sP ec ker 1954[7n ). 若 m 为基数 , 且不存在基数 n 使 二 < 。 < 2 , 或 2. < n < 2气 则 2. 从而 二 为“可良序化之集之基数叮一称“ 良序基数勺. 定理 5.3 (H . Rubin 1960闭). (v 序数 。 , 2 晚。 ~ 饮a+ :) 、 AC . 此定理之条件蕴涵“ 每个良序集之幂集必可良序化” ( 5 2 ( 5 ) ) , 故蕴涵 A C .但 52(5)蕴 杨 A C 之证明要用即将在 拓 中提到的 ZF 集论中的基础公理 vi , 有些数学家宁 愿 用 A C 而不愿用它 . 由定理 5.1及 5. 3 得到: 定理 5.4 定理 5. 5 2 。 之定义为 G c H 之两种定义在 ZF 中等价. G c H , AC. (印.[4 2 ] , 1 3 9 一40). G伽一(Y 序数 a , 之 。 一 汽) , 其中 块th 函数之 。 ~ 城 , 之 。 + : 一 2之 , , 对极限序数 了 定义 定, , 一 、。.〔42 〕, 1 8 9 ) 一。一, , 一 }奕二 , , t 扮a+ , , 定理 5. 7 (印.[4 2 ]一9 0 ) . ( G e H ) A ( : 为极限序数 , 戈 , 一 犯环< , 2 。 . 若 坎a < cj 汽 , 若 cf 汽 镇 汽《 汽 , 若 汽 提 丸. (。: ! 又< ‘) 为非零基数之增加 列 , 。 ~ 肛甲孟< .a : ) ” ITl o Q: 一 “气 5 6 . Z er m e l, F r ae Dk e l 集论公理系统 (Z F ) 要弄清 A C 与 c H 是否可信 , 首先应有一些共同承认的前提 , 亦即承认某一公理系 统. 早在十九世纪末与二十世纪初出现朴素集论时 , 一些悖论的被发现就已表露出集论 之公理化研究的必要. C an to r 于 1895 年发现 , 若考虑全体序数所成之“集” “ , 则对序 数之大小次序< 而言 , “ 为一良序集 , 故 “ 为一序数 , 它大于 “ 之任何元;但按 。 之定义应 有 。 〔。 , 故得 “ > “ ! 他于 1896 年将此结果告诉 H ilbe rt . C . B ul al i.Forti 于 1897 年又 重新发现此悖论并发表于文【61 中 , 因而以 ‘,B ur al i-F ort i 悖论”为人所知. c an to r 于 1899 年又注意到 , 若考虑全体集合之“集 ” “ , 令 “ 之幂集为 P (心 , 则必 IP (劝 } > 1“ } ; 但 按 。 之定义应有 P (“ ) g 。 , 从而又应有 !P (“ ) } 《 !“ } ! 但直到 1932 年才发表于他的文 集【81 中. B . R 出Se ll 于 1901 年 6 月在 Can tor 的这一悖论的启发下 , 造出一个很初等的 悖论: 令 “ 为满足 二 必二 之集 ‘ 之全体所成之 “集” , 则按 “ 之定义立见 , 〔“一“ 关川这一悖论之证明未用任何集论公理 , 是个纯粹逻辑上的矛盾 . 与此同时 及恤el。 及其周 围的人在 G撇ing en 也独立地讨论了此同一悖论. R USSe ll 将此悖论发表于 1903 年出版的书〔611 C h . X 57 8 中. 他曾于 1902 年将此结果函告 G . F reg e, 当时 Freg e 正准备发表在c an to : 的直观集论基础上改造算术的文章 , 此信的突然打击使他暂停发表该文. 这个悖 论引起了数学界和逻辑界的震动 , 推动了公理集论的发展. 首先是 及rm elo 于 190 8 年提 出一个公理系 (Z ) , A . A . Fr a en k d 于 1922 年将其扩大 , 并加强了 及恤d。 的分离公理 (即子集合公理) , 从而形成了 2沁rm 山一aenk el 公理系统 (ZF 系统). ZF 中的集合是受 公理约束的对象 , 上述那些悖论中出现的特定对象之“类”不是 ZF 中的集合 . 另一种消除悖论的方法是 由 J. vo n N eu m ann 于 19 25 年设计的 , 于 1937 年为 P .Be 卜 戚 征 : 选择公理与连续统假设 nays 所修改 , 最后又于 1940 年为 K . G 6de l 所修改 . 按这种观点 , “ 大集合” ( 即相对于由 公理界定出来的“最初的”那些集合而言是“大”的那些“集合,’) 并不有害 , 毛病出在将这种 “ 大集合”考虑为[至少是隐涵地考虑为〕某个“ 集合.之元. 因此就应区分集合与类 , 任何 一些集合之总汇称为一个类 . 若 类 A 本身为某个类之元 , 则称类A 为一集合 , 有些类不是 集合(所谓“真类与. 这就排除了上述诸悖论 , 因其中所述之类并非集合. 应注意 , 承认有 比集合更广之类与 ZP 集论并无矛盾. 首先简介一下集论之基本语言 , 采用关于相等谓词~ 的一阶谓词演算 , 其中只有一种 用小写拉 丁字母 x , y , ⋯表示的集合变元 ;这种集论语言由从属关系 〔这个二元谓词组 成. 集合完全 由其元所确定 , 而无任何其它结构. 基本语言是由原子公式 x ~ y (二 等于 力 及 x 〔y (二 属于 y , 或 x 为 夕 之元)经 语句联词 , (非) , V ( 或) , 八(与) , * ( 蕴涵 , 若⋯则) , 一(当且仅当) , 及量词 到存在一个) , v ( 对任一个)等而得之全部公式 , 以小写希腊字母 甲 , 币, x , · ⋯表之. 可仅考虑联 词门及 V 为原始联词 , 日 为原始量词 . 此时 甲八沙 为 , ( , 甲 V , 功) , 甲 , 价为 , 甲 V 币 , 甲一价 为 (门甲 V 刃A (, 沙V 司 , Vx 甲 为 , 玉门 甲. 但为方便起见 , 不仅不减少联词和量词 , 反而以 二 笋 y 表 , 二 一 y , 以 x 蜻夕 表门二 〔 夕, 以 翔x 甲 表存在唯一之 二 , 甲 , 意 即 即V 二( 二 ~ y 一 甲) , 以 归x 〔夕冲 表 玉(x 〔夕A 甲) , 以 (V 二 〔 夕为 表 价(x〔 夕一甲) . 左 , 右括号( , ) 的隔断作用和它们分层次左右配对的规则如熟知的那样 。 若变元 x 在 公式中 中出现 , 但 V : 及 玉 不在 甲 中出现 , 则称 x 为 甲 之 自由变元;若在 甲 中出现 V x 或 日x , 则称 ‘ 为 甲 之约束变元. 没有 自由变元之公式称为命题 . 公式及命题统称为语句 . 以 甲 (幻 表以 ‘ 为一可能的自由变元之公式(但 甲 可能还有别的 自由或约束变元). 一些公式所成之集称为理论 , 这些公式称为该理论之公理 . 若T 为理论 , 则 科一 甲 表示“由T 可证出 甲” , 此时 甲 称为 T 中之一定理. ZF 集论之公理计有六条: I 外延性公理 (e . F res e 1593). V z(z 〔x一z〔夕) 、 二 一 y意即 , 若 ‘ 及 y 有相同之元 , 则 x 与 夕 相等. 其逆 , 当 x 等于 y 时 x 及 y 有相同之元 为逻辑真理 . 11 并公理 (e . e anto r 一5 9 9 , E . ze rm e lo 1 9 0 5 ) . v x 日y V z ( : 〔 y一日“ ( : 〔“ 八“ 桩x ) ) . 意即 , 对每个集 r , 存在由 x 之诸元之各元所成之并集 y. 亦可记为 “ { zI 日u( 。 〔 “ A “ 〔x) } 为一集” , 或记为“ U : 为一集” . 定义 (i) x二夕一Vz(:〔二 , : 〔夕) , 此时称 x 为 y 之子集 , 亦称 y 包含 二 . ( 1 1 ) x cy 一二 g y 八孔(:〔y A 译 劝 , 此时称 x 为 夕 之真子集 , 或 y 真包含 二 . 11 1 幕集公理 (E . 及仙el。 1 9 0 8 ) 。 Yx 日y V : ( : 〔 y一z二x) .意即 , 对每个集 x , 存在由 x 之全体子集所成之集 夕. 亦即 ,t, ~ { : 1: g x} 为一 集 ” . 称 y 为 x 之幕集 , 以 P 伽) 表之. 定义 若公理中包含可变之公式 , 此时该公理非为单个语句 , 而是无穷多个语句; 称 这种公理为公理格式. 当给定其中之可变公式时所得之单个语句称为此公理格式之一实 例 , 亦称“一个这种公理 ,, . 斗 数 学 进 展 ” 卷 IV 代换公理(一 格式) (A . A . Fraenk el 1922 , T . s k 0 1 e m 1 9 2 3 . 更早是 G · C a n t o r 在 1599 年 , 及 D . M 州血an off 在 19 17 年非正式提出的). v “v , V , ( 价(u , , ) A 少(。 , 。 ) ” , 一 。) , 竹日yV , ( t, 〔夕一(日“ t x ) 价(“ , , ) ) , 其中 价(u , , ) 为一公式; , 及 y 非为必之 自由变元 , 而 币(u , , ) 为在 叻(u , , ) 中以 , 代换 , 所得之公式 , 沙(。 , 刃 还可 能有 。 , , 以外的其它自由变元. 代换公理(一格式)的前提是对每个 “ 至多有一个 , 使 币(“ , 刃 , 故 , 为 ,’u 之函数” , 即存在一个未必“对每个 “ 确定”之函数 F 使 价(u , F ( u )) 在 F 有定义之处成立 , 而结论 是对每个 , 存在由 ‘ 中 F 有定义之元在 F 作用下之象之全体之集 y. 以上之公理 I一Iv 都未假定集合之无条件地存在 , I 中之 二 , y 是假定其存在的 , 在 11 一Iv 中也都是假定存在 x , 则存在 势 二 ; 它们本身不能保证一定存在一 个集 二. 在 ZF 中仅有下面即将提到的无穷性公理v 断言存在一个集 二. 但因所用之语言为一阶谓 词演算 , 其仅有之变元为集合;这种变元之定义域自然应假定为非空的 (否则这种语言就 没有意义了 ). 故实际上已暗中承认存在一个(完全无结构的 , 仅由其元确定的)集合. 定理 ‘J (空集公理). 存在唯一的一个集合 , 它没有任何元 . 证 由上述知存在一个集 x , 将代换公理中之 价(u , 习 取为 。 笋 “ 这一不成立 的