概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第二章

概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第二章概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第二章第二章随机变量及其分布 2.1 随机变量习题1 随机变量的特征是什么, 解答: ?随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数. ?随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值. ?随机变量取特定值的概率大小是确定的. 习题2 试述随机变量的分类. 解答: ?若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量;否则称为非离散型随机变量. ?若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随...

概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第二章第二章随机变量及其分布 2.1 随机变量习题1 随机变量的特征是什么, 解答: ?随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数. ?随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值. ?随机变量取特定值的概率大小是确定的. 习题2 试述随机变量的分类. 解答: ?若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量;否则称为非离散型随机变量. ?若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量. 习题3 盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,?,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率. 解答: 分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下: X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3 则X取每个值的概率为 P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10, P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10, P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10. 2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ. 解答: 由P{X=1}=P{X=2}, 得 λe-λ=λ22e-λ, 解得 λ=2. 习题2 设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5, 试求 (1)P{123}. 解答: (1)P{123}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35. 习题3 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算 P{X<1?X?0}. 解答: 依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得 c=3716=2.3125. 由条件概率知 P{X<1?X?0}=P{X<1,X?0}P{X?0}=P{X=-1}P{X?0} =12c1-34c=24c-3=26.25=0.32. 习题4 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 解答: 随机变量X的可能取值为3,4,5. P{X=3}=C22?1C53=110, P{X=4}=C32?1C53=310, P{X=5}=C42?1C53=35, 所以X的分布律为 3 4 5 X pk 1/10 3/10 3/5 习题5 某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下: 10 20 30 40 X pi 0.15 0.25 0.45 0.15 求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率. 解答: 因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为: P{3X>60}, 即P{X>20}, P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6. 就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6. 习题6 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求: (1)X的概率分布; (2)P{X?5}; (3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少? 解答: (1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,?; (2)P{X?5}=?k=5?P{X=k}=?k=5?(0.9)k×0.1=(0.9)5; (3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足 P{X?m}=0.6, 即P{X?m-1}=0.4. 由于 P{X?m-1}=?k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m, 故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得 m?4.85?5, 因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5. 习题7 设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布. 解答: 此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1. X=0表示未投中，其概率为 p1=P{X=0}=1-0.6=0.4, X=1表示投中一次，其概率为 p2=P{X=1}=0.6. 则随机变量的分布律为 X 0 1 P 0.4 0.6 习题8 某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布. 解答: 设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为 P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120, P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120. X的分布律为 X 0123 P 3512036120211201120 习题9 一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布. 解答: 由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以 X的可能取值是所有正整数1,2,?,k,?. 设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为 P{X=k}=310×310×?×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,?. 习题10 设随机变量X?b(2,p),Y?b(3,p), 若P{X?1}=59, 求P{Y?1}. 解答: 因为X?b(2,p), P{X=0}=(1-p)2=1-P{X?1}=1-5/9=4/9, 所以p=1/3. 因为Y?b(3,p), 所以 P{Y?1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27. 习题11 纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率. 解答: 以X记纺锭断头数， n=800,p=0.005,np=4, 应用泊松定理，所求概率为: P{0?X?2}=P{?0?xi?2{X=xi}=?k=02b(k;800,0.005) ??k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)?0.2381. 习题12 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率. 解答: \becauseP{X=1}=P{X=2}, 即 λ11!e-λ=λ22!e-λ?λ=2, ?P{X=0}=e-2, ?p=(e-2)4=e-8. 2.3 随机变量的分布函数习题1 F(X)={0,x<-20.4,-2?x<01,x?0, 是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量. 解答: 离散. 由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量. 习题2 设F(x)={0x<0x20?1,1x?1 问F(x)是否为某随机变量的分布函数. 解答: 首先，因为0?F(x)?1,?x?(-?,+?). 其次，F(x)单调不减且右连续，即 F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1, 且 F(-?)=0,F(+?)=1, 所以F(x)是随机变量的分布函数. 习题3 已知离散型随机变量X的概率分布为 P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2, 试写出X的分布函数F(x)，并画出图形. 解答: 由题意知X的分布律为: X 135 Pk 0.30.50.2 所以其分布函数 F(x)=P{X?x}={0,x<10.3,1?x<30.8,3?x<51,x?5. F(x)的图形见图. 习题4 设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)={0,x<-10.4,-1?x<10.8,1?x<31,x?3, 试求:(1)X的概率分布; (2)P{X<2?X?1}. 解答: (1) X -113 pk 0.40.40.2 (2)P{X<2?X?1}=P{X=-1}P{X?1}=23. 习题5 设X的分布函数为 F(x)={0,x<0x2,0?x<1x-12,1?x<1.51,x?1.5, 求P{0.40.5},P{1.70.5}=1-P{X?0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75, P{1.700,x?0, 试求:(1)A,B的值;(2)P{-100,x?0. 习题4 服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-?x?, 求系数A及分布函数F(x). 解答: 由概率密度函数的性质知，?-?+?f(x)dx=1, 即 ?-?+?Ae-?x?dx=1, 而?-?+?Ae-?x?dx=?-?0Aexdx+?0+?Ae-xdx =Aex?-?0+(-Ae-x?0+?)=A+A=2A 或 ?-?+?Ae-xdx=2?0+?Ae-xdx=-2Ae-x?0+?=2A, 所以2A=1, 即A=1/2. 从而f(x)=12e-?x?,-?150}=?150+?f(x)dx=?150+?100x2dx =-100x?150+?=100150=23, 从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27. 习题6 设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率. 解答: 设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数 n=10,p=P{X?4}=15=0.2, 所以 P{Y=1}=C101×0.2×0.89?0.268. 习题7 设X?N(3,22). (1)确定C, 使得P{X>c}=P{X?c}; (2)设d满足P{X>d}?0.9, 问d至多为多少? 解答: 因为X?N(3,22), 所以X-32=Z?N(0,1). (1)欲使P{X>c}=P{X?c}, 必有1-P{X?c}=P{X?c}, 即 P{X?c}=1/2, 亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3. (2)由P{X>d}?0.9可得1-P{X?d}?0.9, 即 P{X?d}?0.1. 于是Φ(d-32)?0.1,Φ(3-d2)?0.9. 查表得3-d2?1.282, 所以d?0.436. 习题8 设测量误差X?N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率. 解答: 先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p, p=P{?X?>19.6}=1-P{?X??19.6} =1-P{?X10??1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)] =1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05. 设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y?b(100,0.05). 因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ, 所以 P{Y?3}?1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5?0.87. 习题9 某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求:工人每月需完成多少件产品才能获奖, 解答: 用X表示工人每月需装配的产品数，则X?N(4000,3600). 设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X?x}=0.1, 即 1-P{Xx}?0.005. 解答: 已知血压X?N(110,122). (1)P{X?105}=P{X-11012?-512?1-Φ(0.42)=0.3372, P{100x}?0.05, 求x, 即1-P{X?x}?0.05, 亦即 Φ(x-11012)?0.95, 查表得x-10012?1.645, 从而x?129.74. 习题11 设某城市男子身高X?N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于 0.01. 解答: X?N(170,36), 则X-1706?N(0,1). 设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而 P{X>x}=1-P{X?x}=1-Φ(x-1706)<0.01, 即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm. 因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01. 习题12 某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求: (1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线, (2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线, 解答: 设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则 X?N(40,102),Y?N(50,42). 哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线. (1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725, P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379, 所以有60分钟时应走第二条路. (2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915, P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075 所以只有45分钟应走第一条路. 2.5 随机变量函数的分布习题1 已知X的概率分布为 -1 0 1 2 3 X -2 2a 3a a a 2a pi 1/10 试求:(1)a; (2)Y=X2-1的概率分布. 解答: (1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1, ?a=1/10. (2) -1 0 3 8 Y 3/10 1/5 3/10 pi 1/5 习题2 设X的分布律为P{X=k}=12k,k=1,2,?, 求Y=sinπ2X的分布律. 解答: 因为 sinxnπ2={1,当n=4k-10,当n=2k-1,当n=4k-3, 所以Y=sin(π2X)只有三个可能值-1,0,1. 容易求得 P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815 故Y的分布律列表表示为 Y -101 P 21513815 习题3 设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y=cX+d(c?0), 试求随机变量Y的密度函数. 解答: fY(y)={fX(y-dc)?1?c?,a?y-dc?b0,其它, 当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d?y?cb+d0,其它, 当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d?y?ca+d0,其它. 习题4 设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y). 解答: f(x)={1,0?x?10,其它, f=ex,x?(0,1)是单调可导函数，y?(1,e), 其反函数为x=lny, 可得 f(x)={fX(lny)?ln′y,11时) =P{-y-12?X?y-12=?-y-12y-1212πe-x2dx, 所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12?y-12?122y-1,y>1, 于是 fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y?1. 习题6 设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度: (1)Y=1X; (2)Y=?X?. 解答: (1)FY(y)=P{Y?y}=P{1/X?y}. ?当y>0时， FY(y)=P{1/X?0}+P{0<1/X?y} =P{X?0}+P{X?1/y}=F(0)+1-F(1/y), 故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);; ?当y<0时，FY(y)=P{1/y?X<0}=F(0)-F(1/y), 故这时fY(y)=1y2f(1y); ?当y=0时，FY(y)=P{1/X?0}=P{X<0}=F(0), 故这时取fY(0)=0, 综上所述 fY(y)={1y2?f(1y),y?00,y=0. (2)FY(y)=P{Y?y}=P{?X??y}. ?当y>0时，FY(y)=P{-y?X?y}=F(y)-F(-y) 这时fY(y)=f(y)+f(-y); ?当y<0时，FY(y)=P{?}=0, 这时fY(y)=0; ?当y=0时，FY(y)=P{Y?0}=P{?X??0}=P{X=0}=0, 故这时取FY(y)=0, 综上所述 fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y?0. 习题7 某物体的温度T(?F)是一个随机变量, 且有T?N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(?F)的概率密度. 解答: 已知T?N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32, 是单调函数，所以 fθ(y)=fT(95y+32)?95=12π?2e-(95y+32-98.6)24?95 =910πe-81100(y-37)2. 习题8 设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同. 解答: 因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又 Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为 FY(y)=P{Y?y}={0,y<0y,0?y?11,y>0, 于是，Z的分布函数为 FZ(z)=P{Z?z}=P{FX-1(Y)?z}=P{Y?FX(z)} ={0,FX(z)<0FX(z),0?FX(z)?1,1,FX(z)>1 由于FX(z)为X的分布函数，故0?FX(z)?1. FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同. 总习题解答习题1 从1?20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率. 解答: 设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,?,20. 因为P(?K=120Ak)=?k=120P(Ak)=c?k=120k=1，所以c=1210, P{取到偶数}=P{A2?A4???A20} =1210(2+4+?+20)=1121. 习题2 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, (1)命中3炮的概率; (2)至少命中3炮的概率; (3)最可能命中几炮. 解答: 若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故 (1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7?0.009; (2)P{X?3}=1-P{X<3} =1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8] ?0.998; (3)因X?b(10,0.7), 而 k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7, 故最可能命中7炮. 习题3 在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000 元赔偿金，求: (1)保险公司亏本的概率; (2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率. 解答: (1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为 2500×120元=30000元. 设1年中死亡人数为X, 则X?b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须 200000X>300000即X>15(人). 因此，P{保险公司亏本}=P{X>15} =?k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k ?1-?k=015e-55kk!?0.000069, 由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的. (2)P{保险公司获利不少于100000元} =P{300000-200000X?100000}=P{X?10} =?k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k??k=010e-55kk!?0.986305, 即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上. P{保险公司获利不少于200000元} =P{300000-200000X?200000}=P{X?5} =?k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k??k=05e-55kk!?0.615961, 即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%. 习题4 一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数. 解答: 设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A, 则P(A)=0.03, 显然X?b(300,0.03), 即 P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,?,300), 因n=300很大，p=0.03又很小, λ=np=300×0.03=9, 可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故 P{X?13}??k=0139kk!e-9?0.9265, (查泊松分布表) 且同时向总机要外线的分机的最可能台数 k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9. 习题5 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求: (1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率; (2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率. 解答: (1)t=3,λ=3/2, P{X=0}=e-3/2?0.223; (2)t=5,λ=5/2, P{X?1}=1-P{X=0}=1-e-5/2?0.918. 习题6 设X为一离散型随机变量，其分布律为 X -101 pi 1/21-2qq2 试求:(1)q的值; (2)X的分布函数. 解答: (1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足?ipi=1, 且0?pi?1, ? {1/2+1-2q+q2=10?1-2q?1q2?1, 解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示: X -101 pi 1/22-13/2-2 (2)由F(x)=P{X?x}计算X的分布函数 F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1?x<00?x<0x?1. 习题7 设随机变量X的分布函数F(x)为 F(x)={0,x<0Asinx,0?x?π/2,1,x>π/2 则A=?,P{?X?<π/6}=?. 解答: 应填1;1/2. 由分布函数F(x)的右连续性，有 F(π2+0)=F(π2)?A=1. 因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12, 于是有 P{?X?<π6=P{-π60是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率. 解答: 因X的可能取值充满区间(0,+?), 故应分段求F(x)=P{X?x}. 当x?0时，F(x)=P{X?x}=P(?)=0; 当x>0时，由题设知P{xx}P{X>x} =P{x0,λ>0, 故X的分布函数为 F(x)={0,x?01-e-λx,x>0(λ>0), 从而电子管在T小时内损坏的概率为 P{X?T}=F(T)=1-e-λT. 习题9 设连续型随机变量X的分布密度为 f(x)={x,02时，F(x)=?-?00dt+?01tdt+?12(2-t)dt+?2x0dt=1, 故 F(x)={0,x?212x2,02. 习题10 某城市饮用水的日消费量X(单位:百万升)是随机变量，其密度函数为: f(x)={19xe-x3,x>00,其它, 试求:(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率; (2)水日消费量介于600万升到900万升的概率. 解答: 先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x?0时有 F(x)=?0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3 故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x?00,x<0, 所以 P{X?6}=1-P{X<6}=1-P(X?6}=1-F(6) =1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2, P{6a0,其它(λ>0), 求常数c及P{a-10, 分布函数F(x)满足: (1)F(-a)=1-F(a); (2)P{?X?>a}=2[1-F(a)]. 解答: (1)F(-a)=?-?-a?(x)dx=?a+??(-t)dt=?a+??(x)dx =1-?-?a?(x)dx=1-F(a). (2)P{?X?>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X?a} F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)]. 习题15 设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率. 解答: 因为K?U(0,5), 所以 fK(k)={1/5,090}=12/526?0.0228, P{X?90}=1-P{X>90}?1-0.0228}=0.9772; 又因为P{X?90}=P{X-μσ?90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得 90-μσ=2 ? 同理:P{X?60}=83/526?0.1578; 又因为 P{X?60}=P{X-μσ?60-μσ, 故Φ(60-μσ)?0.1578. 因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)?1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得 μ-60σ?1.0 ? 联立?，?解得σ=10,μ=70, 所以，X?N(70,100). 某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526?0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种: 方法1: P{X>78}=1-P{X?78}=1-P{x-7010?78-7010 =1-Φ(0.8)?1-0.7881=0.2119, 因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取. 方法2:看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X?x0}=0.2947(录取率), P{X?x0}=1-P{X?x0}=1-0.2947=0.7053, x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053, P{X?x0}=P{x-7010? 反查标准正态表得x0-7010?0.54, 解得x0?75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取. 习题17 假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位:年). (1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数; (2)求今后3年内再次发生地震的概率; (3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率. 解答: (1)当t?0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t, ?F(t)=P{X?t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t; 当t<0时，F(t)=0, ? F(x)={1-e-0.1t,x?00,x<0, X服从指数分布(λ=0.1); (2)F(3)=1-e-0.1×3?0.26; (3)F(5)-F(3)?0.13. 习题18 100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中 (i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布. 有i个 (1)试求设备寿命超过1的概率 ; (2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 . 解答: ”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1X的密度函数为 fX(x)={λe-λx,x>00,x?0 (λ=i+1,i=0,1,2), P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(A?B0)=?1+?e-xdx=e-1, P(A?B1)=?1+?2e-2xdx=e-2, P(A?B2)=?1+?3e-3xdx=e-3, 由全概率公式:P(A)=?i=02P(Bi)P(A?Bi)?0.32. (2)由贝叶斯公式: P(B0?A)=P(B0)P(A?B0)P(A)?0.93. 习题19 设随机变量X的分布律为 X -2-1013 pi 1/51/61/51/1511/30 试求Y=X2的分布律. 解答: pi 1/51/61/51/1511/30 X -2-1013 X2 41019 所以 X2 0149 pi 1/57/301/511/30 注:随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和. 习题20 设随机变量X的密度为 fX(x)={0,x<02x3e-x2,x?0, 求Y=2X+3的密度函数. 解答: 由Y=2X+3, 有 y=2x+3,x=y-32,x′=12, 由定理即得 fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y?3. 习题21 设随机变量X的概率密度 fX(x)={e-x,x>00,其它, 求Y=eX的概率密度. 解答: )}=min{1,+?}=1, 因为α=min{y(0),y(+? β=max{y(0),y(+?)}=max{1,+?}=+?. 类似上题可得 fY(y)={fX[h(y)]?h′(y)?,1

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