普通物理力学例题总结

解：错误做法：1秒钟时的速率：x=-4时，t=2(3)由前面at=-b可知,质点作减速率圆周运动。当V减到0值时，质点将终止顺时针转，而开始逆时针转。此时刻记为t也正是前求a=b的时刻t。例：雨天一辆客车在水平马路上以20m/s的速度向东开行，雨滴在空中以10m/s的速度垂直下落。　　求：雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。解：已知方向向东方向向下例：一人骑车向东而行，当速度为10m/s时感到有南风，速度增加到15m/s时，感到有东南风，求风的速度。10m/s南风45°m/s=27°15m/so？考虑：在不同的参照系,对同一质点的运动状态进行描述我们能看出什么？？例１：质量都等于m的二物A和B　由两根不可伸 长的轻绳和两个不记质量的滑轮I、II连接。 求:A、B二物的加速度和两绳的拉力。解：隔离物体，分别做受力分析：列动力学方程：A：mg-T1=ma1B：mg-T2=ma2滑轮II：T1=2T2A、B两物关联：a2=-2a1求解…..例2：质量为m的物体通过不可伸长的轻绳和不记质 量的滑轮与弹簧（弹性系数k）连接，初始时刻 物体静止，弹簧为原长,让物体自由下落。 求:物体的速度随位置变化的关系。解：mg-T=ma列动力学方程：T=kx解:二维空间的变力情况。(1)选m为研究物体；(3)分析受力(2)建坐标xoy；(4)列方程:分量方程分离变量分别积分(5)解方程:消去t，得轨道方程：选自然坐标系列分量方程：a球离开地面前b做半径为lb的竖直圆周运动。由切向方程式得：(2)a的受力和运动：当T=mg时，a球刚好离地。由法向方程式得：例5：一匀质细绳，质量m，长L，一端固定在O，另一端有一 质量为M的小球，其在光滑水平面上以绕O点旋转。求:绳上各点的张力。隔离物体法分析绳上一小段dm的受力解I：绳上张力是距O点距离r的函数:T(r)动力学方程：求解每点（无限小，m->0）合张力为0.微元r:牛顿运动定律建立坐标系，取r处dr长的一微元，其作圆周运动所需向心力为：例：质量为M，倾角为的斜面放在光滑的水平桌面上，斜面光滑，长为l，斜面顶端放一个质量为m的物体，开始时斜面和物体都静止不动，求物体从斜面顶端滑到斜面底端所需时间。其中maM就是惯性力。而mg和N是真实力。分析物体受力分析　M　(相对惯性系)运动，水平方向：Nsin=MaM由此解得相对加速度　a'=(m+M)sing/(M+msin2)列方程:方向例：水桶以旋转，求水面形状？解：水面z轴对称，选柱坐标系。任选　　水面一小质元，其在切线方向静止。z在旋转参考系中，做受力分析：切线方向：抛物线方程例:已知m在水平面内作半径为R的匀速率圆运动，(R,v)已知，求：(1)A到B时动量的改变，(2)A到B时向心力平均值及方向。建坐标系，规定正方向解：子弹m在枪内水平只受力F(t)，加速时间0t子弹在枪筒内加速时间t=?例：一质量m=10×10-3kg的小球，从h1=0.256m的高处由静止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度h2=0.196m，接触时间τ,求小球和桌面碰撞时对桌面的冲量是多少？若接触时间为(1)τ=0.01s，(2)τ=0.002s,试求小球对桌面的平均冲力。解I：(N–mg)=mv2–(–mv1)小球和桌面碰撞时对桌面的冲量重力的40多倍重力的200多倍小球自重（≈0.1N)利用冲量定理解题时一般可忽略物体自身重力产生的冲量。解II：将动量定理应用于整个过程N–mg(t1++t2)=0例：绳子跨过定滑轮，两端拴有质量为m和M的物体，M>m,M静止在地面，当m自由下落h后，绳子被拉紧，M刚好离开地面，求绳子刚拉紧时，m和M的速度及M能上升的最大高度。解：vm=vM=v解：dm=ldll=m/(R)例:求均匀半圆铁环的质心（半径为R）.由对称性:xC=0,取长度为dl的一段铁丝,以l表示线密度dl由此式可见,弹力的功只与小球的初末位置有关,而与移动的中间过程无关,例如若先将m从x1点向右拉伸，然后再压缩至x2点,弹力的功仍为上式解：m受力和重力方向如图，例：m沿曲线由a→b,求重力的功与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的起﹑末位置，与中间过程无关。解：建立如图所示h坐标系，取离地面h处厚度为dh的一层水。将这层水吸到地面需克服重力所作元功为：例：地下贮水池横截面S，池贮水深度h1，水平面与地面间距h0。求：将池中水全部吸到地面所需作功A。思路：将池中水全部吸到地面所需作 总功等于将每一层水吸到地面 所需元功的代数和。总功：例：长度为L、质量为M的均匀链条，置于水平光滑桌面上。开始时，有少部分链条（长度为a）下垂在桌外。在重力作用下，链条下落。求：当链条尾端刚刚离开桌面时的速率v=?思路：链条下落是重力做功的结果， 当下落长度变化时,重力大小 也变化，因此为变力做功。在此下落部分重力作用下链条向下运动dx所作元功：总功例:质量为m的小球经长为l的摆线悬挂于固定点O，开始时把小球拉到水平位置,并自由释放，求摆线下摆角为0时小球的速率v。解：外力为绳子张力和重力， 绳子张力始终与位移垂直， 不作功。由动能定理例1：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量三、几种典型刚体的转动惯量相当于质量为m的质点对轴的J如果在R’处有一质量为M的均匀圆环与此圆环轻质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：例2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量dJ=r2dm解：在圆盘上取r处dr宽的一圆环，其转动惯量为：比R处质量为m的均匀圆环中轴的转动惯量小如果在圆盘上离中心周距离为R’处放一质量为M的物体，此系统对中心轴的转动惯量为：例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量对质心轴，建立如图坐标系， 取x处dx小段：利用平行轴定理：例：求均匀圆盘对于通过其边缘一点O的平行轴 的转动惯量:利用平行轴定理：得：问题１：一质点相对于一转轴有无转动惯量？问题２：转动系统的转动贯量是否会变？例１：某飞轮直径d=50cm,绕中心垂直轴转动，转动惯量J=2.4千克·米2,转速n0=1000转/分，若制动时闸瓦对轮的压力为N=50千克力，闸瓦与轮间的滑动摩擦系数=0.4。问：制动后飞轮转过多少圈停止？解：(1)求（2）求圈数例2：如图，设滑块A，重物B及滑轮C的质量分别为MA，MB，MC。滑轮C是半径为r的均匀圆板。滑块A与桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间无滑动。求:（1）滑块A的加速度a （2）滑块A与滑轮C之间绳的张力T1， （3）滑轮C与重物B之间绳的张力T2。解：解方程得：解：用积分法求力矩：在圆盘上选取半径为r、宽度为dr的圆环，圆环上的质元具有相同的线速度v。则作用到圆环上的元阻力大小为:思路： 变力矩问题，应用转动定理，积分求解； 力在圆盘上有一分布，积分法求合力矩。考虑盘的上下表面，故元阻力矩大小为：总阻力矩利用刚体定轴转动定律分离变量，并积分：例4：均匀直杆M，长为l，其一端挂在一个水平光滑 轴上而静止在竖直位置。一子弹质量为m，以水 平速度v0射入杆下端而不复出。求子弹和杆一起 运动时的角速度。解:考虑以子弹和杆组成的系统，所受外力　（重力和轴支持力）对转轴的力矩为零，　角动量守恒:问题：如果不是杆，而是用绳悬挂一重物M， 碰撞过程中是什么守恒？为什么？注意质点对轴的角动量的表达方式:例5：质量为M，半径为R的水平放置的均匀园盘，以角速度1绕垂直于园盘并通过盘心的光滑轴，在水平面内转动时，有一质量为m的小物块以速度v垂直落在园盘的边沿上，并粘在盘上，求：（1）小物块粘在盘上后，盘的角速度2=？（2）小物块在碰撞过程中受到的冲量I的方向及大小。mvRM解:(1)以m,M为一个系统，过程中其所受合外力矩为零，角动量守恒碰前m对轴的角动量为零，但其动量不为零。（2）求I应用动量定理碰撞前后m动量方向不同，分方向讨论。讨论：1）碰撞过程中动能是否守恒？2）角动量守恒时，动量不一定守恒。方向向上方向沿切线初始：Ek1=0，令Ep1=0应用质心运动定理：解：例7：如图，一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为m的粘土块从h高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起，之后一起转动。已知：M=2m,=600求：(1)碰撞后瞬间盘的0=? (2)P转到x轴时的=?=?（1）m自由下落碰撞t极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：动量不守恒？例8：匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转，轻绳跨过圆盘一端与弹簧相连，另一端与质量为m的物体相连，弹簧另一端固定在地面上，轻绳与盘无滑动，系统处于静止状态，此时一质量为m1的小物块从h高度处自由落下，与m碰撞后粘在一起。求：m下降的最大位移s。解：自由落体，碰时角动量守恒， 碰后机械能守恒例1：一光滑水平面上静放一长为l，质量为m的细直杆，今有一质量也为m的质点，在与杆垂直的方向上以v0运动，并在杆的一端和杆发生完全非弹性碰撞，求(1)碰后质心的速度和转动的角速度；(2)碰撞过程中损失多少机械能。解(1)碰前后动量守恒，思路：考虑质点和杆组成的系统（质点系）碰撞时水平方向有无外力？水平方向无外力，故质点系动量守恒。质点系转动过程中转动方向上有无外力矩？无，惯性系中质心角动量守恒。碰前后角动量守恒，对质心：(2)碰前后损失机械能为：例2：半径为R质量为m的均匀实心圆柱体，沿倾角为的斜面 无滑动滚下，求圆柱体的受力大小及质心的加速度。解:对质心的平动，刚体的滚动可看作随质心平动和刚体绕质心轴转动的两运动的叠加。平动满足质心运动定理，转动满足转动定律。对纯滚动，满足vc=R，ac=R，即滚动的刚体与支撑面接触线上的各点的瞬时速度为零，该线为瞬时转轴。对绕质心的转动，刚体的滚动可看作刚体随质心平动和绕质心轴转动的两运动的叠加。平动满足质心运动定理，转动满足转动定律。在纯滚动中，除对质心外，还能对哪条轴应用转动定律？力学总结滚动中的摩擦力：滑动、静摩擦力；向前、向后？此题滚动过程中，机械能是否守恒？其滚动动能怎么表达？刚体的纯滚动可以看做是绕瞬时轴的转动，如果支撑面是固定在惯性系上的，也可以对瞬时轴应用转动定律。解：轮与m为联结体，轮为定轴转动、m为平动，二者用绳联系起来。m的速度大小与轮边缘线速度大小相等。例3.己知：定滑轮为均匀圆盘，其上绕一细绳，绳一端固定在盘上，另一端挂重物m。绳与轮无相对滑动，绳不可伸长。轮半径R=0.2m，m=1kg,m下落时间t=3s，v0=0,h=1.5m。求：轮对O轴J=?求解…T恒定例4：转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为0,转台对此轴的转动惯量J=5×10-5(kgm2),今有砂粒以每秒1g速率垂直落在转台上,砂粒落点距轴r=0.1m,求砂粒落在转台上,使转台角速度减为0/2所需时间?解：例5：已知圆盘半径为R，质量为M，在垂直平面内可绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别联接倔强系数为k的弹簧和质量为m的物体，设轮轴光滑，绳不伸长，绳与轮间无相对滑动，今用手托住m使弹簧保持原长，然后静止释放。求（1）m下落h距离时的速度。（2）弹簧的最大伸长量。解：取m+M+绳+弹簧+地 球为一系统外力：轴承支承力和地面对弹 簧的支承力功为零。内力：重力，弹性力为保守力 绳不伸长，张力功为零。 绳与轮间无相对滑动， 摩擦力功为零。系统机械能守恒1薄圆环对中心轴的转动惯量三、几种典型刚体的转动惯量相当于质量为m的质点对轴的J如果在R’处有一质量为M的均匀圆环与此圆环轻质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：2细圆环对任意切线的转动惯量平行轴定理垂直轴定理3圆柱体对柱体轴线的转动惯量薄片的转动惯量圆柱体对柱体轴线的转动惯量4圆柱环对柱体轴线的转动惯量细环的转动惯量圆柱环对柱体轴线的转动惯量5细杆对过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量对质心轴，建立如图坐标系， 取x处dx小段：6实圆柱体对中心直径的转动惯量任取与中心直径相距为x的薄圆片平行轴7实球体对任意直径的转动惯量8薄球壳对任意直径的转动惯量