加权平均值基本不等式的分析证明

职大学刊 1 0 9 6年第 4 期 加权平均值基本不等式的分析 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 包头师专数学系 汪凤珍 【 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 摘要】本文运 用数学分析的 ,见点 与方法在证明 : ( _全 、 k = 1 。: 。 :) · 。勺单调 :性‘勺基 础 上导 出。个常 见的基本不等式成立的结论 。 I 关键词】连续 可导 严格 单调 拉 格朗 日 中值 定理 引理 设 , ( : ) 一 I n (乞 。。 。、) , , 、 。; 其中。。> 0 , 。‘> 。, ( 、一 1 , 2 , … , : ) , \ k = 1 n 万 g 。一 l , 且叙不全相等 , 一 1 y > O I n ( a , q ‘。 Z q ’… : 。 q ” ) /‘!leeee 产 11 、 一一 、、.产 T 了.、小 则 甲 ( : ) 1 二 O 在 〔。 , 十 oo ) 上是严格单调增加的 。 证明 对于任意的 : 任 〔o , + 二 ) 口, a 蕊I n a , n万 甲‘ ( : ) = k = 1儿 艺 k = q 。 a 笼 其中甲+ , ( o ) ~ l im r 叶 0 + 0 切 ( r )一 沪( o ) 1im r 叶 0 + 0 ‘· (、鱼l 口。· : )一‘· (、全1叮·) r 一 O r ‘、.了,占J丈口盛 1i m r 叶 0 + 0 l n ( n 艺 q , a 、k = 1 r = In ( 。 , q ‘。 Z q ’… : 、,声夕了.公 进而 , 有 口含召 )(、 刀 艺 叮。a 奚1。 ~ 1 叮* a 毛I n a , ) 儿艺一一 乙几 /‘、、 一 、、.声了 贻a 内‘ n艺一一 几乙 Ž /‘‘、 n艺一一 ,尤 Z‘叭、 沪” ( : ) - ‘、、刀/ TL区 a抢口一 2 2 万 k < j簇 n n 艺 k = 。、口 ( a o a , ) r ( In a 。一 I n a ) ’ > 0 ( 誉。二 ; ) ’ “k = 1 n 一 l其中切+ “ (0 ) 一 艺 乏 q祠 , ( ln 御一 In a , ) ’ > 。. 1 < j 簇 刀 k = 1 这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明切“ ( r) 在 〔0 , + 。 ) 上连续且为正 , 故训 (r) 在 〔0 , + 二 ) 上连续 、 可导 , 且 严格单调增加 , 从而切( r) 在 〔o , + 。 ) 上连续可导 。 于是 , 对任意 的 : > 。, a > 0 , 在 区 间 〔0 , 门 与 〔r , ( 1 + a )门 上应用拉格朗 日中值定理 , 知必有占, 任 ( 。, 犷 ) , 宜2 任 ( 乙 ( l + a ) r ) , 切 , (占, ) 使得 一 切( : ) 一 甲( o ) 切 ( : + a : ) 一 切( : ) r 一 0 甲‘ (占2 ) = 注意到甲 ( 。) 一 。, 且。< 占, < : < 占2 < : 十 a : , 坚丝些< 望立土红吐望困 一卫迁竺里一望互口 ( : 十ar ) 一 : 故甲‘ (占1 ) < 切 , (言2 ) , 即 a r a r a r 于是有 i业夕< 丝吐燮2 . r r 州一 仗 r 记 ( l + a ) 。一 s , 则上式表明 : 当。< : < : 时 有望左乡< 里些夕 、产、月矛 习玄尤 ak口工 ,‘l n艺一一。。‘·(、艺 叮。a 二】/ I n (_ , / 又、 、,— I K) < ‘·( 7 8 亦即中 ( : ) < 巾 ( : )在。< : < : 时成立 . n 艺 g o a 又I n a 。o一。、、.矛/ 下尤 /索龟、 n 奄..J 由于 l i m 中 ( , ) = l i m r 叶 O+ O r ‘ O+ O n 艺 q o a 1i m 犷一 O + O k托二二 1 K 二二二 1 r 刀 艺 k = l q 无a 工 。、I n a 。一 I n ( 。 l q ‘ a Z q ’… 。 , , q , ‘ ) = 中 ( o ) n甲白 一一 + 。 ) 在是严格单调增加的 .n曰 一一眨k 可知少 ( r )在 定理 , 设、 ( 。 , 、) 一 ( 全。、。、) “ k 一 1 1 . r 为加权平均值 , 其中 a 、> 。, q 、> 。, 且ak 不全相 等 ( k 一 1 , 2 , … , 儿 ) , 艺 叭一 l , 则当。< : < s 时 , 有M ( a , q ) < M 、 ( a , 。 ) . k = l 证。 、 ( · , 。卜一 !令‘·(、鱼, 、、·工)] 2 3 ) 九艺 根据引理知当。< : < : 时 , 有 1n 一 K 二二二 1 犷 ( 再根据指数 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的严格单调性 , 母有 一 [令‘·(、鱼, 叮。·l )]< 一 [专‘·(、鱼, 。二 , )] 即 M ( a , q ) < 万 丫 ( a , q ) 在 o < r < : 时成立 . 推论 若设M 。 ( a , 。) = 叮 。 + ( a , 叮) = l i m M , ( a , 叮) , 其中M , ( a ,下一O +0 q ‘召奋 · ) 犷n艺一一了从M=V、、,产、了、口q 咖 , 价的假设同前 , ( k 事实上 , 由于 2 , …… , n ) 则当 。 ( , < : 时 , 有M , ( a, ( a , q ) . 九艺一一 了尤 声/‘甩、 n 1刁力‘X己M 。 ( a , g ) 二 1i m M , ( a , g ) r 叶 0十 O ~ 11扭 了弓O十 O l q o a * )下 = 1im了一 0 十 0 。。。。·)」n艺一一,尤/叮、、 ·x o l 1im下弓 0 + 0 , / 忍 八“‘、: 全, 口介a 无7 1 、 r , , ~ 二二二生— J = “x 夕L‘n 俨 1T “ 1 0 2 “2 … 。 “ ‘)」一 a , “l a 2 “2 … a 因此 , 当 。 ( T < : 时 , 有 万 ( a , q ) < M ( a , a ) . 特别 , 当 : 一 。 , 得 即为著名的基本不等式 . 又 , 当口, = 俘, = 月 月 - 刁 / 竺 、工 a l ” ’“ ’ ” ‘ ” ’“ ! ’‘ < 又、鱼, “。““‘) ‘ 一 q ,, 一 三 , : 二 1时 ,n 得 _ 、咨 , a , + a , + … + a 。戈“ 1 “ 2 ’ . ’“” 夕“ 久— .就是熟知的关于儿何平均值与算术平均值的不等式 .1定” 2 设“ 一 : ‘a , 。, 一众里1 q o a一 下)一 下 , 1 l M 了 (一 ‘ , 夕, 一 !、里l 叮。(众)了]下 一 (、里1穿一)了 其中外 , a 、 ( k 一 1 , 2 , … , 儿 ) 的假 设同定 理 l , 则 当 : < : < o 时 , 有 脚 、 ( a , 。 ) < M , ( a , q ) . 证明 显然 , M _ : ( a 一 ‘ 召卜 l、叠l 口,帐)一 犷]一 了 ~— l = 1M , ( a , q ) . 1“。… 则当 : < 犷< o 时 , 有 一 : > 一 , > 0 , 结果 。 因此根据定理 1 , 有M 一 、( 。 ’ ‘ 且当。、> 0 , 。。不全相等 时 , 有上> 。 , 上不全相等的 口 七 a 七 。) > M 一 ; ( a 一 ‘ , q ) > o 成立 , 即 !、里1 口。(六)一 “> [、里1叮·(众)一]一 了 > 。 亦即 1M : ( a , 。) > 一下2 一一 J玫 , 弋a , q ) > 0 于是就有 M : ( a , q ) < M , ( a , 。) 。 推论 若设M 。 ( a , , ) = M 。 * ( a , 。) = zi m M , ( a , : ) , 了一O一 O l 其中、 了 ( 。 , 。) 一 ( ‘誉 。。。 :) · , 。。与。。的假设同前 。 ( 、一 , , 2 , … , , )、k = 1 贝J当s < , 镇 。时· , 有 M 、 ( a , q ) < M , ( a , q ) . 事实上 , 由于当了‘ o 一 。时 , 必有一 : , 0 十 。 且由定理 2 的证明知 M , ( a , )】= q丽币万不江 故 M 。 ( a , q ) = 1i m M 了 ( a , 。) = 1 ~ -. O一 O 一 :两 。+ o M 一 , ( 。 1i m l一了 一飞...J 一 ‘ , 叮) = 1im 一 r ~ 0 + O !飞。 。 (二 ) - k = l a 七 = 1i m l _ 1一卜0二。[一;‘·(、塾1 叮: (会, 一 )] 。二,于1i m一 犷叶 0 + O I n f鳌: 。 (生 ) 一 1、兰至愁于兰三于 e x 乡 〔I n ( a : 一 “‘。 2 一 “ ’…。。 一 “” )〕 = 。 , “, a Z “’” · a o g , 从而知当 s < : ( 0 时 , 有 M 根根以上诸定理与推论 , ( a , q ) < M , ( a , q ) 即得以下的 定理 3 1设、 r ( 。 , 。) 一 ( 誉。: a : )下 、k = l M 。 ( a , 。) = a , “’ a Z “’… a , q ” 2 , … 则对于任二实数了与 : , 当: < : 时 , 有n)其中口, 与 a 。的假设 同前 ( k - 叮 r ( a , q ) < M 、 ( a , 。) 2 5 即当 : < : 时 , 有 ( 全。。。 ; ) \ k = 1 l 了 < ( ‘k n 艺 口。a 觉 一 1 ) “ 推论 对 n个不全相等的正数 a 、 , ( k - 、上 , l ” 、上 冬) 了 < 又下、里l “于) “ , 2 , … , n) 当实数 : < :时 , 丫 a nV] 了尤 l一n/‘.、、 这是一个有名的不等式 , 特别当 , 二 2 时 , 对任何两个正数 a 铸 b , 有下面的不等式 : 犷JJ丫或 a + b <了件b 一‘ < 3了a ” + b 32 < … < 价 一 1了a 仍 一 l + b , 一 ’夕 a 饥 + b仍少 推论 2 , 如果 a 、与。。的假设 同前 ( k 一 l , 2 , … , n ) 则当实数 : < 0 < : 时 , 有 、 生 又、呈, “、·“) 了 < 一 “ ’一 “ 2 … / 伙 、止 a “ ” ‘ < 气、丘, “·“全) “ 特 别 , 当, - 一 1 , : 一 一青 ( ‘一 ! , 2 , ~ 一 ) , 有 全 n ‘ 一 , 、 : _ 。圣, a 。一 久几 、a i a 2 . ‘ . “ 件 / ‘\ 凡 一 1 k = l a k 儿 即为又一个重要不等式 。 ( 刘芳彬教授 审 参考文献 : ( 1 ) G · H · H a r d y J · E · l i t t l e w o o d G · p o l y a I n e o u a l i t i e s 科学出版社 1 9 6 9年 ( 2 ) G · p ol y a G · s ze g o 《效学分析的间 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 和定理 》 上海科学技术出版社 ( 3 ) 徐利治 : 《数学分析的方法及例题选讲 》 高等教育出版社 1 9 8 3年 (4 ) T · M ·扣 ; x T e H r o 入二 y : 《微积分学教程 》 人 民教育出版社 (上接第 29 页 ) 更新校 ) 9 8 1年 ] 9 7 8年 ? 义 , . , l 、 别 n 一 万 1 I l ll t — — ) . _ __ __ 1夕 产 , 。 , \ ——一 护 , 叮‘ U 一 I 钊1 、 一 ~ n一 。 又万 / 一 匕 ‘ 其实 , 上述问题的实质都 已包含在高等数学的教材中 , 只要你能善于发现它 , 并能灵 活 运用它 , 有 时会收到事半功倍的效果 , 故作此文 以供参考 。 参 考 文 献 ( l ) 同济大学出版社<高等数学 ( 一 ) 学 习辅导> ( 2 ) 高等教育出版社<高等数学>第三版 ( 3 ) 上海科学技术出版社<数学分析的间题和练习> ( 4 ) 人民教育出版社<数学分析题集题解 > ( 任春 田 副教校 审 更新校 )