null第二节第二节 第五章 一、多元函数的概念二、多元函数的极限与连续性三、多元连续函数的性质多元函数的基本概念 一、多元函数的概念 一、多元函数的概念 引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式定义1. 设非空点集定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域 ; 数集称为函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作例如, 二元函数例如, 二元函数定义域为圆域说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球等值线 ： 另一种
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示函数z=f(x,y)的方法是利用等值线 ： 另一种表示函数z=f(x,y)的方法是利用xOy面上的曲线族。
当点(x,y)在其中每一
条曲线f(x,y)都取相同的值所谓的等值线f(x,y）=C， 其中C为常数。它表示上变化时. 函数null容易看出，等值线f(x,y)=C实际上就是曲面z=f(x,y)与平面z=C 的交线在xOy平面上的投影。因此,将等值线f(x,y)=C族中各曲线升到相应得高度z=C处就不难想象出曲面z=f(x,y)的图像
例 画出函数例 画出函数的等值线， 并由此等值线解: 显然等值线为可知， 此曲面仅位于xOy平面的上方， 与xOy平面讨论此曲面的形状。容易看出，当C>0时，等值线是以原点为中心的同心圆 ，C越小半径越小; C=0时为原点O(0,0); C<0时无轨迹。由此切于原点， 在xOy平面上方与水平平面z=C的截面都是圆， 且越往上开口半径越大定义 设非空点集定义 设非空点集是自变量 ; 是因变量，显然，一个n 元向量值函数y=f(x)对应于m 个n 元数量值函数映射称为定义在 D 上的 n 元向量值函数 , 也可记作为运算方便， 有时把为运算方便， 有时把其中与中的向量写成列向量， 在这种情况下 n 元向量值函数 也可记作例 我们知道, 空间中曲线的参数方程为例 我们知道, 空间中曲线的参数方程为它可以看做是从 到 的一个映射，即一元其中向量函数二、多元函数的极限和连续性二、多元函数的极限和连续性定义2. 3 设 n 元函数点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作都有对任意正数 , 总存在正数 ,切例1. 设例1. 设求证:证:故总有例2. 设例2. 设求证：证：故总有null如图注： 当点趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在 .函数说明： null对二元函数 f (X), 如图有 点X以任何方式趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A.null例3. 设f (x, y) = 证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.证: 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.null考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.如图对应函数值null从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.null沿 x 轴, y = 0. 函数极限= 0沿 y 轴, x = 0. 函数极限= 0但不能由此断定该二重极限为0例 . 求累次极限例 . 求累次极限解：和二元函数还可以定义两个累次极限 和累次极限 注. 二重极限仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.注. 二重极限不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .注：多元数量值函数极限的概念可推广到多元向量值函数的情形注：多元数量值函数极限的概念可推广到多元向量值函数的情形定义： 设 D为一点集则称 a 为函数为一n元向量值函数对一记作都有对任意正数 , 总存在正数 ,切是 D 的聚点多元函数的连续性 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续, 例如, 函数例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：设 是紧集， 是 A 上的 定理：设 是紧集， 是 A 上的 (3) 对任意(介值定理) 三. 多元连续函数的性质:的连续函数， 则定理：设 是紧集， 在A 上连续, 定理：设 是紧集， 在A 上连续, f 必在A 上一致连续 , 即(证明略) 时， 恒有注：有界闭区域都是连通的紧集，故上述定理对有界闭区域上的连续函数都成立。(一致连续性定理) 例5.求解: 原式例5.求例6. 求函数的连续域.解:内容小结内容小结1. 多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数2. 多元函数的极限2. 多元函数的极限有3. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P61 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8
P129 题 3; *4思考与练习解答提示:解答提示:P61 题 2. 称为二次齐次函数 .P61 题 4.P61 题 5(3).定义域P61 题 5(5).定义域nullP62 题 8.间断点集P129 题 3.定义域P129 题 *4.令 y= k x ，, 则 可见极限
不存在作 业 作 业 P61 5 (2), (4), (6)
6 (2), (3), (5), (6)
*7， *10第二节 备用题备用题1. 设求解法1 令1 .1 .设求解法2 令即2.2.是否存在？解: 利用所以极限不存在. 3. 证明 3. 证明在全平面连续.证:为初等函数 , 故连续.又故函数在全平面连续 .由夹逼准则得
浙公网安备 33021202002483