2005年注册岩土工程师考前辅导 精讲班
材 料 力 学
第三讲 扭 转
【
内容
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提要】
扭转是杆件的又一种基本变形形式,本节主要学习杆件发生扭转时的受力和变形特点,熟悉传动轴的外力偶矩计算,掌握求扭矩和作扭矩图的方法。掌握横截面上剪应力分布规律和剪应力计算,了解斜截面上的应力计算,掌握剪应力强度条件的应用。熟悉圆截面极惯性矩,抗扭截面系数计算公式的应用。熟悉圆截面杆扭转角的计算和刚度条件的应用,了解受扭圆杆应变能的计算。
【重点、难点】
求扭矩和作扭矩图的方法,横截面上剪应力分布规律和剪应力计算,剪应力强度条件。
【内容讲解】
一、扭转的概念
受力特征:杆两端承受一对力偶矩相等.转向相反作用面与杆轴线相垂直的外力偶作用。
变形特征:杆件各横截面绕轴线作相对旋转。
截面间轴线的相对角位移,称为扭转角,用 表示。杆件表面上的纵向线同时倾斜了一个角,即剪应变。以扭转变形为主要变形的直杆,简称为轴。
二、传动轴外力偶矩
传动轴所传递的功率、转速与外力偶矩之间关系
式中P为传递功率,常用单位为kW(千瓦), 为转速,常用单位为r/min(转每分),T为外力偶矩,常用单位为N•m(牛•米)。
三、扭矩扭矩图
扭矩:受扭杆件横截面上产生的内力,是一个在横截面平面内的力偶,其力偶矩称为扭矩,用 表示。
扭矩正负号
规定
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扭矩 以右手法则表示扭矩矢量方向,若该矢量方向与截面外向法线方向一致时为正,反之为负。
扭矩计算 应用截面法和扭矩正负号的规定,可直接根据横截面左侧(或右侧)杆上作用的外力
偶矩,计算该横截面上的扭矩法则:某横截面上的扭矩 ,在数值上等于该截面的左侧(或右侧)杆上所有外力偶矩的代数和,外力偶矩矢量方向(按右手法则离开该横截面的均取正值,反之取负值。
扭矩图 表示沿杆轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。以横坐标轴表示横截面的位置.纵坐标表示相应横截面上扭矩。
根据平面假设,应用几何、物理与静力学三方面,可建立圆截面轴扭转剪应力,变形公式。
四、圆轴扭转剪应力与强度条件
(一)横截面上的剪应力
1. 剪应力分布规律 横截面上任一点的剪应力,其值与该点到圆心的距离成正比,方向垂直于该点所在的半径。剪应力沿截面半径线性变化。如下图所示。
2.剪应力计算公式 横截面上距圆心为 的任一点处剪应力 。
横截面上最大剪应力 ,发生在横截面边缘各点处( ),其值为
上列两式中: 为所
要求
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剪应力的点所在横截面上的扭矩, 称为截面的极惯性矩, 称为抗扭截面系数。
、 是仅与横截面尺寸有关的几何量,分别为实心圆截面。(直径为d)
空心圆截面(外径为D.内径为 ;
(二)圆轴扭转强度条件
为了保证圆轴扭转工作时,不致因强度不够而破坏,最大剪应力 不得超过材料的扭转许用剪应力[],即要求,强度条件:
对于等截面圆轴
式中[ ]为扭转(纯剪切)许用剪应力,其值与许用应力[ ]之间存在下述关系:
对于塑性材料. ﹝0.5~0.577﹞ [ ]
对于脆性材料, ﹝0.8~1.0﹞
式中, 代表许用拉应力。
由上述强度条件,可对受扭圆轴进行强度校核、截面
设计
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以及许可载荷的确定等三类问题的计算。
五、圆轴扭转变形与刚度条件
(一)圆轴扭转变形
单位长度的扭转角,即扭转角沿轴线的变化率.
对于在长度 范围内, 均为常量,则扭转角
上式表明,扭转角 与扭矩 轴长 成正比,与 成反比。乘积 表示圆轴抵抗扭转弹性变形的能力,称为圆轴抗扭刚度。
(二)圆轴扭转刚度条件
刚度条件 圆轴扭转最大单位长度扭转角 不得超过某一规定的迕用值[ ]。即
对于等截面均质圆轴
上式中,[]代表单位长度许用扭转角。对于一般传动轴,[]为 ~ 对于精密机器与仪表的轴,[ ]值可根据有关设计
标准
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或规范确定。
六、扭转应变能
圆轴因扭转变形而贮存的能量,称为扭转应变能,用 表示,其数值上等于外力偶矩 在相应的扭转角位移 上所作之功。在线弹性范围内扭矩与扭转角成正比。于是,得扭转应变能
上式表明,应变能 是扭矩 的二次函数。
单位体积应变能,称为比能.用 表示。圆轴扭转单元体处于纯剪状态,在线弹性范围内,剪应力 与剪应变 成正比,于是比能
【小结】本节推导公式的理论基础是剪力互等定律和剪切虎克定律,其扭转剪应力和变形的公式仅适用于圆形截面的构件,计算的基本公式是扭转剪应力公式: ,扭转变形公式: 及其强度条件: ,刚度条件 = 。