2011《地下水利用》讲义

null地下水利用地下水利用夏龙兴15838106986水利与环境学院：市政教研室修改日期：2011.02本课程主要讲解内容本课程主要讲解内容第一章 管 井 出 水 量 计 算1第二章 地下水资源计算与评价2第三章 地下水资源计算的数值法3第四章 地下水开采建筑物设计4555第六章 地下水资源管理第五章 井 灌 区工程 规 划 第一章 管井出水量计算 第一章 管井出水量计算 1.开采地下水井的分类和地下水种类 2.单井出水量的稳定流计算（裘布依模型） 3.单井出水量的非稳定流计算（泰斯模型） 第一节.井的分类和地下水种类 第一节.井的分类和地下水种类 根据井径大小和构造的不同分为管井、筒井与大口井、辐射井。 1、管井：直径较小（250～450）mm ，深度较大(50～800)m,井壁采用钢管，铸铁管，钢筋混凝土管或塑料管加固的井型。 一般采用钻机施工，水泵机组抽水，又称作机井。城镇与工业区用水机井多开采深层承压水；农业机井一般开采浅层的潜水含水层。 2、筒井与大口井 筒井：直径较大（1.0～1.5）m，深度较浅(30～50)m,井壁采用钢筋混凝土管或砖加固的井型。 大口井：直径大（1.5～10）m，深度浅(10～30)m,井壁采用钢筋混凝土管或砖加固的井型。 一般开采埋深较小且含水层厚度小的潜水含水层，安装水泵机组抽水。 第一节.井的分类和地下水种类 第一节.井的分类和地下水种类 3、辐射井 由垂直的集水井和沿集水井四周水平辐射状的进水管组成。集水井直径（1.5～10）m ，较浅(5～50)m。适用于开采埋深小，含水层薄，富水性差的地区，如黄土区，砾卵石含水层，河漫滩地。 根据开采地下含水层的不同分为：潜水完整井，潜水非完整井，承压完整井，承压非完整井。 （1）潜水含水层：自由浸润面到不透水地板之间的饱含重力 水的地质构造层。 （2）承压含水层：上、下不透水地板之间的饱含承压水的 地质构造层。 （3）完整井与非完整井：穿过整个含水层直达隔水层的井 为完整井；否则为非完整井。 第二节 单井出水量的稳定流计算 第二节 单井出水量的稳定流计算 一、潜水完整井出水量计算－裘布依公式 1、裘布依模型 （1）潜水含水层特征：圆岛柱体，均质同性，等厚， 地板水平 （2）边界条件: 圆岛四周定水头供水边界 （3）渗流特征：符合达西定律和连续方程；轴对称 均匀无阻力汇入井中 （4）稳定井流：抽水形成降落漏斗，当降落漏斗扩 展到供水边界时，抽水流量与边界 供水流量相等，降落漏斗也稳定。 第二节 单井出水量的稳定流计算 第二节 单井出水量的稳定流计算 2、公式推导 由达西定律 Qr＝2πrh×K×dh/dr 流量连续方程Qr＝Q 积分得 h²＝QLnr/πK＋C ，当r＝R时 , h＝H C＝H²－QLnR/πK 不同断面处 Q＝πK(H²－h²)/Ln(R/r) 井出流量 Q＝πK(H²－h0²)/Ln(R/r0) Q＝1.364K(H²－h0²)/Lg(R/r0) 二、承压完整井出水量计算－裘布依公式 裘布依模型条件与潜水完整井裘布依模型相同。 Q＝2.73KM(H－h0)/Lg(R/r0) 式中 M－含水层厚度(m)， H－静水头（m) 作业：公式推导 null 三、裘布依公式讨论 1、实际应用 Q＝1.364K(H²－h0²)/Lg(R/r0) 已知含水层K，H或M，R，根据井的设计降深S0（S0=H－h0） 可求设计流量；根据设计流量Q推求水位降深S0；根据井的 稳定流抽水试验资料求水文地质参数K。 2、井出水量与井中水位降深的关系： 承压井Q=q S0 ，直线关系；潜水井二者则呈二次线关系。 3、实测降深较计算值大 计算值忽略下列水力损失：（1）井壁泥浆堵塞 （2）花管水力损失 （3）向上转弯水头损失 （4）沿吸水管至泵进口的沿程水头损失， 因此，承压完整井出水量与降深并非呈直线关系。 4、水跃 ：水流流入井壁时存在水位比井中水位高。 井壁附近水流流线为曲线，存在水跃水才能流入井中。 第二节 单井出水量的稳定流计算 第二节 单井出水量的稳定流计算 5、影响半径R0 实际含水层，抽水一定时间后，由于抽水时间有限，存在补水条件，当抽水量与补给量达到平衡时，地下渗流为稳定流；另外，抽水影响范围有限，从实际观测不到地下水位下降处到井中心的水平距离确定为稳定抽水影响半径R0，R0处流量为零，此处不存在水力坡降。 四、群井干扰抽水出水量稳定流计算 已知两口相同承压完整井，间距为2b，1号井单独抽水时的流量Q和降深S0，引起2号井中水位降深t；2号井单独抽水时的流量Q和降深S0，引起1号井中水位降深t。两口井同时干扰（井距近）抽水。 null 水位消减法： （1）若1号井仍保持出水量Q不变，实际降深S＝S0＋t Q＝2.73KMS0/Lg(R/r0) S0＝QLg(R/r0)/2.73KM t＝QLg(R/2b)/2.73KM 求得实际降深S＝S0＋t＝QLg(R²/r02b)/2.73KM 两井同时干扰抽水总流量等于2Q （2）若1号井保持降深S0不变，有效降深S＝S0－t Q＝2.73KMS0/Lg(R/r0) S0＝QLg(R/r0)/2.73KM t＝QLg(R/2b)/2.73KM 有效降深S＝S0－t＝QLg(2b/r0)/2.73KM 1号井实际出水量 QQ＝2.73KMS/Lg(R/r0) 两井同时干扰抽水总流量等于2QQ 第二节 单井出水量的稳定流计算 第二节 单井出水量的稳定流计算（3）N眼承压井同时干扰抽水（井距近） 1号井：S1＝S01±(t2＋t3---＋tn) ＋为1号井保持出水量Q1不变，实际降深。－为1号井保持降深S01不变，有效降深。t2﹑t3﹑---tn 分别为其它井抽水在1号井引起的降深。 2号井：S2＝S02±(t1＋t3---＋t) －－－ （4）N眼潜水井干扰抽水（井距近） 1号井单独抽水时的流量和降深为Q1，S01 Q1＝1.364K1(H1²－h01²)/LgR1/r01 Q1＝1.364K1×2Hp1×S01²/LgR1/r01 S01＝Q1Lg（R1/r01）/2.73K1Hp1 在2号井引起降深t2＝Q2Lg(R2/2B2)/2.73K2Hp2 S1＝S01±(t2+t3---+t) ＋为1号井保持出水量Q1不变，实际降深。－为1号井保持降深S01不变，有效降深。 2号井S2＝S02±(t1＋t3---＋t) －－－ 第二节 单井出水量的稳定流计算 第二节 单井出水量的稳定流计算 五 单井出水量计算的抽水试验经验公式法 由于实际含水层与裘布依模型条件差别大，计算结果误差大，可采用经验公式法，根据抽水试验资料，比较反应复杂的实际情况，建立流量与降深的关系曲线。常用的曲线有： 1﹑直线型Q=qS，回归系数q为水井单位出水量 m³(h.m)。 2﹑抛物线型S=aQ+bQ² 回归系数a, b 3﹑指数曲线型 S=（Q/n）m 回归系数n, m 4﹑对数曲线型 Q=a+blgs 回归系数a, b 具体公式形式可采用图解法或查分法或最小二乘法求解。一般试验数据处理采用最小二乘法求解（有软件）。 第三节 单井出水量的非稳定流计算 第三节 单井出水量的非稳定流计算一 潜水完整井出水量非稳定流微分方程式（泰斯模型） (1)潜水含水层特征：均质、同性、等厚、地板水平且无限延伸。 (2)渗流特征：符合达西定律和连续方程；轴对称均匀无阻力汇 入井中。 (3)垂直方向无补给。 求解模型： 取微元体：半径为r及r+dr, 高度为H及H+dH的圆筒体 1、由圆筒内壁流入井中的流量为Q,由圆筒外壁流入的流量为 Q－∂Q/∂r，则流出与流入的流量差： Q－(Q－∂Q/∂r×dr)＝∂Q/∂r×dr 2、重力释水量 －2πrdr×∂H/∂t ×u , u－潜水层给水度 第三节 单井出水量的非稳定流计算 第三节 单井出水量的非稳定流计算 3、水量平衡：∂Q/∂r×dr＝－2πrdr×∂H/∂t×u 4、由达西公式流出内筒面的渗流速度V＝－K∂H/∂r Q＝AV＝2πrH×V H＝(Hr+H(r+dr))/2 5、 ∂Q/∂r＝－2πkH×∂(∂H/∂r)/∂r ＝－2πkH(∂H/∂r＋r∂²H/∂²r) 代入水量平衡式化简得 KH(∂H/∂r＋r∂²H/∂²r)＝∂H/∂t×r×u 令 T＝KH， ∂H/∂r＋r∂²H/∂²r＝ r×u/T ×∂H/∂t 第三节 单井出水量的非稳定流计算 第三节 单井出水量的非稳定流计算 令a＝T/u ， ∂H/∂r＋r∂²H/∂²r＝∂H/∂t /a 在抽水过程中若有降水入渗补给或蒸发排泄时，在水量平衡计算时计入，设在单位时间在单位面积上的补给率或蒸发率为ε，上式改写为： a（∂H/∂r＋r∂²H/∂²r）+ε/u＝∂H/∂t u--潜水含水层给水度：水头下降一个单位时，从单位含水层面积高度等于含水层厚度的柱体中由于重力作用释放出的水量。 u*--承压含水层弹性释水系数：当承压含水层的水头降低一个单位时，从单位含水层面积高度等于含水层厚度的柱体中释放出的水量。 T=KM为承压含水层的导水系数 a--在潜水含水层称为水位传导系数，在承压含水层称为压力传导，表示含水层水位或水头变化的传导速度。null二 承压完整井出水量非稳定流计算－泰斯公式 泰斯物理模型: (1)潜水含水层特征：均质、同性、等厚、地板水平且无限延伸 (2)渗流特征：符合达西定律和连续方程；轴对称均匀无阻力汇入井中 (3)垂直方向无补给 (4)定流量抽水，井径无限小 泰斯数学模型： ∂H/∂r /r ＋∂²H/∂²r ＝∂H/∂t /a （r00) H(r, 0)＝H0 （初始条件r00) lim(r ∂H/∂r)＝Q/2πT＝常数 r→0 第三节 单井出水量的非稳定流计算 第三节 单井出水量的非稳定流计算 解: 偏微分方程组 1、二元变量转化为一元变量（偏微分方程变为常微分方程） 构造一个二元复合变量 U=r²u*/4Tt ∂U/∂r＝ru*/2Tt ∂U/∂t＝－r²u*/4Tt² ∂H/∂r＝∂U/∂r×dH/du= ru*/2Tt ×dH/du ∂²H/∂²r ＝∂(∂H/∂r)/∂r ＝u*/2Tt×dH/du＋r²u*²/4T²t²×d²H/d²u ∂H/∂t＝－r²u*/4Tt² *dH/du 代入模型方程得到： u d²H/d²u+(1+u)dH/du＝0 第三节 单井出水量的非稳定流计算 第三节 单井出水量的非稳定流计算 2、二阶常微分方程先降阶 令dH/du＝G 则 dG/du＋(1＋u)/u*G＝0 分离变量积分：∫dG/G＝－∫(1＋1/u)du lnG＝－u－lnu＋C1 lnGu＝－u+C1 ， ＝G= *c/u 分离变量积分：当 r→∞时 ，u→∞, H→H0 dH＝C /udu H=H0-C /udu null 3、 ＝ ＝d/du(H0－C /udu) ＝d/du(-C /udu) ＝Cd/du（ /udu) ＝C / u ＝2C /r r ＝2C (r )＝ (2C )＝2C＝Q/2πT C＝Q/4πT H＝H0－Q/4πT /udu S＝H0－H＝Q/4πT /udu 令井函数W(u)＝ /udu ， S＝QW(u)/（4πT）(泰斯公式） 第三节 单井出水量的非稳定流计算 第三节 单井出水量的非稳定流计算 三 泰斯公式讨论 1、井函数W(U)可查表，W(U)随U值增大而减小；当承压井定流量抽水时，降深S随距离r的增大而减小，随抽水时间延长而增大。 井函数为负指数积分函数，展开后为一级收敛级数，当u值很小时忽略展开式第二项以后部分，化简后得： W(u)＝2.3lg2.25at/r² S＝2.3Q/4πT×lg2.25at/r² u<=0.01～0.1 2、降深S下降速度 ＝Q /4πTt 在一定距离范围内，当抽水时间足够长时， ＝Q/4πT/t。 说明在一定距离范围内，当抽水时间足够长时，水头下降速度与距离无关，等幅下降。 3、流量变化规律 ＝－Q/2πTr× 由达西定律:r处断面流量Qr＝－2πrKM =Q 0.3H0时不能用泰斯公式。null 五 群井干扰抽水非稳定流计算 1、承压完整井群干扰抽水时抽水降深计算 S1＝S01±(t2＋t3＋－－－＋tn) , －－－－ 井灌区任一点P水位消减值： SP＝S1＋S2＋S3－－－＋SN ＝Q1W(u1)/4πT＋Q2W(u2)/4πT＋－－－＋QNW(un)/4πT 当u<=0.01时 可用简化公式计算 2、潜水完整井群干扰抽水时抽水降深计算 当S<=0.1H0时，可按上式计算,其中T＝KH0 当0.1H0 单元 初级会计实务单元训练题天津单元检测卷六年级下册数学单元教学设计框架单元教学设计的基本步骤主题单元教学设计 ，在某均衡时段内，地下水的循环总是表现为补给--排泄--储存量变化三种形式，它们之间在数量上的均衡关系为V补—V排=±ΔV，该方法较大储量分类法合理。 （1）补给量： 单位时间内进入某一单元含水层的重力水体积，分为天然 补给量，人工补给量，开采补给量。 天然补给量：天然状态下进入含水层的水量 （降雨入渗补给，地表水渗漏，邻区地下水测渗）。 人工补给量：人工引水入渗补给地下水的水量。 开采补给量：开采条件下，除天然补给量之外，额外获得的补给量。开采形成降落漏斗使地表水体向地下含水层补水，或定托渗流变为自由渗流加大补给量，或使邻区地下水加大侧渗量。 需要说明：计算补给量是地下水资源评价的核心内容；一般先计算现状条件下的补给量，再估算开采后可能获得的额外补给量。 第二章 地下水资源计算与评价 第二章 地下水资源计算与评价（2）排泄量 单位时间内从某一单元含水层排泄出的重力水体体积，分为天然排泄量和人工开采量。 天然排泄量指潜水蒸发，补给地表水体，测向流入临区。 人工开采量是取水构筑物从含水层取出来的地下水量。 允许开采量：指通过技术经济合理的取水建筑物，在整个开采期内水量和水位不超过设计要求，水质水温变化在允许范围内，不影响已建水源地正常生产，不发生危害性工程地质现象的前提下，单位时间内从水文地质单元中能够取得水量。 允许开采量的大小取决于补给量，一般比补给量小。 （3）储存量 储存在含水层的重力水体积。容积储存量G＝uHF：潜水含水层中的重力水体积。弹性储存量：承压含水层水头下降顶板以上某一位置时，由于含水层弹性压缩和水体弹性膨胀所释放出的水量。 G＝u﹡ΔSF ΔS-承压水位降低值m 第二章 地下水资源计算与评价 第二章 地下水资源计算与评价4、评价区 若某区域的水文气象条件、地质构造条件、地貌条件、水文地质条件、岩性条件等比较接近，整个区域作为一个计算评价区，否则划分计算评价单元。 水利部水文局编制的《地下水资源调查评价工作细则》指出； 按地形地貌特征和地下水类型，把评价区划分为平原区、山丘区、沙漠区和内陆闭合盆地平原区，称为一级区。 一级区按水文地质条件又划分为若干个水文地质区，为二级区。 二级区按地下水埋深、包气带岩性的不同，再分为若干个均衡计算区，为三级区。均衡计算区是计算水资源的最小单元。 第二节 地下水资源数量计算与评价 第二节 地下水资源数量计算与评价一、水均衡法 （一）适用条件 地下水埋藏较浅，地下水的补给和排泄条件容易查清的地区。 对于干旱或半干旱山前洪积平原和喀斯特地区，某些河谷地区以及封闭的自流盆地，使用效果较好。对深层承压含水层或山区基岩裂隙含水层不宜使用。 （二）基本原理 水量平衡方程式：Q补－Q排＝±uFΔh/Δt Q补—地下水总补给量（m³); Q排—地下水总排泄量（m³)； ±uFΔh/Δt—单位时间内含水层中储存量的变化量（m³/d) Δt－均衡期（年包括干旱年，平水年，丰水年） Δh－均衡期评价区地下水位平均变幅（m） F－均衡区面积（m²) 第二节 地下水资源数量计算与评价 第二节 地下水资源数量计算与评价 （三）开采条件下的均衡方程 天然状态下，地表水，地下水，大气水依靠自然条件相互转化，在一定周期内，多年调节，天然补给量与天然消耗量近似相等，维持动态平衡。开采条件下，打破天然状态下的动态平衡，在天然渗流场的基础上叠加了开采渗流场即降落漏斗。由于人工开采，使得天然补给量增加，天然消耗量减少。 在一个均衡期内，合理的开采会建立新的动态平衡。否则地下水不断消耗，水位持续下降，不存在平衡。 水量均衡方程式 （Q入—Q出）＋（W－Q开）＝±uFΔh/Δt （Q入—Q出）－侧向补给量与排泄量之差（m³/d) （W－Q开）－垂直补给量与排泄量之差（m³/d) u－含水层平均给水度 ，其它参数同上式 W＝Q雨＋Q河＋Q越＋...－Q蒸 第二节 地下水资源数量计算与评价 第二节 地下水资源数量计算与评价（四）计算步骤 1 划分均衡区，确定均衡期 均衡期一般为一个水文年，包括丰水年，平水年和枯水年在内的一个多年均衡期。 2 确定均衡要素，建立均衡方程 3 地下水资源评价 Q开＝（Q入—Q出）＋W－uFΔh/Δt 给出均衡期地下水位允许变幅的条件下，计算地下水开采量，分析评价地下水资源对用水的保证程度。 第二节 地下水资源数量计算与评价 第二节 地下水资源数量计算与评价二、 开采试验法 适用于完全没有水文地质资料，水文地质资料难以查清的地区，当急需确定地下水允许开采量时。可采用打井或利用现有井按需要的开采流量进行抽水试验，依据试验结果计算地下水允许开采量。对潜水和承压水，新水源和旧水源地均适用，由于群井抽水费用很高，只适用于中小型水源地。一般在枯水季节按开采条件做抽水试验，延续几个月。 (一）抽水出现稳定状态时允许开采量QP与影响半径R0确定 按设计开采量长时间抽水，若水位达到设计降深S0后，一直能保持稳定，且停抽后水位又能较快恢复到原水位，说明抽水量小于开采条件下的补给量，按这样的流量开采是有保证的。 延长三个观测孔降深曲线（稳定时）与静水位交点，至抽水井中心的距离为影响半径R0。 第二节 地下水资源数量计算与评价 第二节 地下水资源数量计算与评价(二)抽水出现非稳定状态时允许开采量QP与影响半径R0确定 按设计开采量长时间抽水，若水位达到设计降深S0后，并不稳定，停抽后水位有所恢复，但不恢复到原水位，说明抽水量大于开采条件下的补给量，按这样的流量开采是没有保证的。 在水位持续下降的过程中，当大部分漏斗出现等幅下降后，任意时段的水量平衡为：（Q抽-Q补）Δt=uFΔS uF--水位下降1米时储存量的减少量m² ΔS--Δt时段的水位降低m Q抽--Δt时段的平均抽水流量m³/d Q补--开采条件下的补给流量m³/d 水量平衡方程 Q抽＝Q补＋uFΔS/Δt 认为Q补和uF变化不大，当作常数，则将抽水流量比较稳定，水位下降比较均匀的若干时段的资料代入上式解方程组求常数。 第二节 地下水资源数量计算与评价 第二节 地下水资源数量计算与评价 用水位下降时的资料求允许开采量Qp Q抽1＝Q补＋uFΔS1/Δt1 Q抽2＝Q补＋uFΔS2/Δt2 --- Q抽n＝Q补＋uFΔSn/Δtn 求Q补和uF的平均值。 再用水位恢复时的资料检验校核Q补的可靠性。 若在抽水过程中减少抽水量使Q抽 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 3-5。国内灌溉水质 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 为总盐量1～2g/L，并 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 在以下具体条件地区水质标准可放宽：干旱半干旱地区；具有一定灌排设施的地区；能保证一定的排水和径流条件的地区；有一定的淡水资源满足冲洗土体盐分的地区；土体透水性好，并能掌握耐盐作物类型和生育阶段的地区。 第三节 地下水资源质量计算与评价 第三节 地下水资源质量计算与评价（二）灌溉系数（Ka）法 指以英寸表示的水层厚度，该水层蒸发后所剩余的盐量使土壤累计盐分达到作物难以忍受的程度。 分级如下：Ka<1.2 水质坏，不宜用于灌溉 Ka=1.2 ～5.9 水质不适宜，必须进行人工排水 Ka=6 ～18 水质适宜 Ka>18 水质良好 （三）盐度、碱度、矿化度法 这是河南省水文地质豫东组提出来的，把灌溉水对农作物和土壤的危害分为4种类型，即盐害、碱害、盐碱害和综合危害。 1 盐害：主要指氯化钠和硫酸钠对农作物和土壤的危害，指标用盐度表示，盐度就是在液态条件下氯化钠和硫酸钠的允许含量。 2 碱害 主要指碳酸钠和重碳酸钠对农作物和土壤的危害，用碱度表示，就是在液态条件下碳酸钠和重碳酸钠的允许含量。 第三节 地下水资源质量计算与评价 第三节 地下水资源质量计算与评价3 盐碱害 当盐度大于10me/L，并有碱度存在时，即为盐碱害，更为严重。 4 综合危害 水中的氯化钙和氯化镁等有害成分与碱害盐害一起，对作物和土壤的危害称为综合危害，用总矿化度表示。 属于盐害、碱害和综合危害的水质，教材表3-8列出了灌溉水质评价指标，将水质分为淡水，中等水，盐碱水和重盐碱水。 属于盐碱类型的灌溉水，教材表3-9列出双指标进行评价，即当盐度大于10时，按盐害和碱害这一对指标评价水质。 （四）综合危害系数（K)法 这是河北沧州地区农科所提出的一种兼顾盐害和碱害的水质评价法。教材表3-10给出了灌溉水质评价指标。 三、农业用水水质标准 1 生活饮用水水质标准 第三节 地下水资源质量计算与评价 第三节 地下水资源质量计算与评价 水质指标分四大类，共计35项，见表3-12GB 5749-85。 2 农田灌溉水质标准 该标准适合于以地表水，地下水，工业废水和生活污水做农田灌溉用水。表3-13 GB 5084-92《农田灌溉水质标准》。 第三章 地下水资源计算的数值法 第三章 地下水资源计算的数值法 第一节 基本概念 一、前言 在地下水资源评价中，需要通过求解数学模型得到地下水位的变化过程与水文地质参数等。数学模型是用来描述一个系统的结构、空间形式、边界条件和系统内部运动状态等的一组数学关系式。 地下水非稳定运动理论是以质量守恒性（连续性原理）和能量转换性（达西定律）为基础，对任何复杂的地下水流系统都可建立相应的数学模型，即支配地下水运动的偏微分方程以及决定其解初始条件和边界条件。如果渗流区域的几何形状比较简单，其含水层是均质的、各项同性的情况，可以求得解析解，如泰斯数学模型及其解析求解得到泰斯公式。 第三章 地下水资源计算的数值法 第三章 地下水资源计算的数值法 实际应用中地下水条件复杂，如渗流区域形状不 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf ；含水层是非均匀的，含水层的厚度随时空变化，隔水底板不平；地下水的补水源中包含线性补给和局部的面状补给；排泄条件的复杂和变化；含水层不同地段的各向异性等等；使得地下水资源计算评价模型复杂，解析法求解困难，若对实际问题过渡简化，计算结果与实际不符，从而失去了实用价值。 把复杂的非线性偏微方程转化为线性代数方程组，然后对其求解，这是一种离散近似的计算方法即数值法，所要求解的不是域内的连续函数值而是域内各结点上函数的近似值。数值方法作为一种求解近似解的方法被广泛用于地下水水位预报和资源评价中。 第三章 地下水资源计算的数值法 第三章 地下水资源计算的数值法二、数值法求解地下水流数学模型的基本步骤 （1）将研究区域按照某种规则进行剖分或离散化形成若干 个剖分单元。对时间离散化，划为若干时段。 （2）将若干个小单元作为地下水的小均衡区域，并定义特征点 上的各种物理量。 （3）建立某一时段内结点之间制约各种物理量的关系式。 （4）利用初始条件和边界条件，建立在某时段内边界结点和 内部节点的关系式。 （5）求解由（3）和（4）组成的方程组，即可求得某一时刻， 研究区域上各离散点的水位H值，其集合H就是渗流区域 上某一时刻地下水位H的近似解。 （6）重复（3）～（5），可计算下一时刻的水头H集合值。 本章介绍常用的两种方法：有限差分法和有限元法。 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算第二节 地下水资源数量计算的有限差分法 一、基本原理和求解思路 把描述地下水运动的偏微分方程及其求定解问题，近似的用一组差分方程代替，然后求解差分方程组。 首先将地下水区域离散化网格状的小区域，简化为有限个结点，并对时间坐标离散化；采用一定差分格式将微分方程变成差分方程；解差分方程组；边界条件处理。求解结果为各结点在各时段的的水位。 1、区域离散化：用两组正交的平行线，把区域剖分成有限个小区域。小区域的中心为结点，近似认为：结点水位H代表小区域各点的水位，小区域内的各参数视为常数，相邻小区域之间水位近似为线性变化。结点编号：（i, j）,剖分网格的边长为Δx,Δy,也即相邻结点的间距、空间步长。 2、时间坐标离散化：时间坐标取向前差分格式，ΔT为时间步长。 3、承压含水层二维非稳定流偏微分方程进行差分 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算二、非均质各向异性的承压含水层二维非稳定流微分方程 ＋ ＋ε＝u* （1） H—地下水水头 T—导水系数 u*—承压含水层出水系数 ε—垂直方向水量交换量，不给为正，消耗为负，包括入渗、蒸发、越流补给或抽水。 ＝(Ti+1/2,j |i+1/2,j －Ti-1/2,j |i－1/2,j)/Δx ＝Ti+1/2,j(Hi+1,j－Hi,j )/Δx²－Ti-1/2,j(Hi,j－Hi-1,j))/Δx² ＝(Ti,j+1/2 |i,j+1/2－Ti,j-1/2 |i,j-1/2)/Δy＝ Ti,j+1/2(Hi,j+1－Hi,j)/Δy²－Ti,j-1/2(Hi,j－Hi,j-1)/Δy² 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算 u* ＝u*( － )/Δtk Ti-1/2,j Hi-1,j/Δx²－( Ti-1/2,j＋Ti+1/2,j )Hi,j /Δx²＋ Ti+1/2,j Hi+1,j /Δx²＋Ti,j-1/2 Hi,j-1/Δy²－(Ti,j-1/2＋Ti,j+1/2 )Hi,j /Δy²＋Ti,j+1/2 Hi,j+1/Δy² ＋εi,j ＝ui,j( － )/ΔtK （2） 式2为离散后的差分方程，采用中心差分格式，时间采用向前差分 三、显式差分格式：水头H取时段（k,k+1)初tk时刻的值，等步长 Δx＝Δy 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算 Ti-1/2,j －( Ti-1/2,j＋Ti+1/2,j ) ＋Ti+1/2,j ＋Ti,j-1/2 －(Ti,j-1/2＋Ti,j+1/2 ) ＋Ti,j+1/2 ＋εi,jΔx²＝ui,jΔx²( － )/ΔtK （3） = +γ1[Ti-1/2,j -（Ti-1/2,j＋Ti+1/2,j +Ti,j-1/2＋Ti,j+1/2 ） ＋Ti+1/2,j ＋Ti,j-1/2 Ti,j+1/2 ]＋γ1εi,jΔx² （4） γ1=ΔtK/ui,jΔx² (4)式在满足稳定条件时，显式差分才是稳定的，其解才收敛于微分方程（1）的解。 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算（1）当 r1(Ti-1/2,j＋Ti+1/2,j＋Ti,j-1/2＋Ti,j+1/2)≤1时，显式差 分格式才是稳定的，差分方程的解收敛于微分方程的解。 （2）Δtk ≤ui,jΔx²／（Ti-1/2,j＋Ti+1/2,j＋Ti,j-1/2＋Ti,j+1/2) 校核或选取时段或步长，当含水层T值较大，U值较小时，可选取较大的步长。 （3）适用于参数估算或其它差分格式计算中的初值估算。 四、隐式差分格式：水头H取时段（k,k+1)末tk＋1时刻的值， 等步长Δx＝Δy Ti-1/2,j －( Ti-1/2,j＋Ti+1/2,j ) ＋Ti+1/2,j ＋Ti,j-1/2 －(Ti,j-1/2＋Ti,j+1/2 ) ＋Ti,j+1/2 ＋εi,jΔx²＝ui,jΔx²( － )/ΔtK （6） 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算 Ti-1/2,j －( Ti-1/2,j＋Ti+1/2,j＋Ti,j-1/2＋Ti,j+1/2＋ui,jΔx²/ ΔtK) ＋Ti+1/2,j ＋Ti,j-1/2 ＋Ti,j+1/2 ＝－ui,jΔx² /ΔtK －εi,jΔx² （7） 左端包含k+1时刻5个未知水头，称为隐式差分格式。 简化为一线性代数方程组： ai,j ＋bi,j ＋ci,j ＋ei,j ＋fi,j ＝di,j i＝1,2,...,n ; j＝1,2,...,m （8） 采用隐式差分格式计算量较显式格式大，但它具有无条件稳定的优点。 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算五、中心差分格式 （2）式等式左端水头H取时段（k,k+1)末tk＋1/2时刻的值 Ti-1/2,j －( Ti-1/2,j＋Ti+1/2,j） ＋Ti+1/2,j ＋Ti,j-1/2 －（Ti,j-1/2＋Ti,j+1/2） ＋Ti,j+1/2 ＋εi,jΔx² ＝ ui,jΔx²/ΔtK（ － ） 若时段内水头变化比较均匀。时段中间水头可取时段始末的平均值，即 ＝（ ＋ ）/2 差分格式的导水系数可采用等差中值法计算，以Ti+1/2,j为例 Ti+1/2,j＝（Ti+1,j＋Ti,j ）/2 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算 Ti-1/2,j －( Ti-1/2,j＋Ti+1/2,j＋Ti,j-1/2＋Ti,j+1/2＋2ui,jΔx²/ΔtK) ＋Ti+1/2,j ＋Ti,j-1/2 ＋Ti,j+1/2 ＝－2εi,jΔx²－Ti-1/2,j ＋（Ti-1/2,j＋Ti+1/2,j＋Ti,j-1/2＋Ti,j+1/2 －2ui,jΔx²/ΔtK ） －Ti+1/2,j － Ti,j-1/2 － Ti,j+1/2 ai,j ＋bi,j ＋ci,j ＋ei,j ＋fi,j ＝di,j （9）式左端包含k+1时刻5个未知水头，无条件稳定，精度比隐式差分要高。 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算 六、边界条件处理 1、第一类边界条件：已知边界结点水头，将边界结点水头代入 内结点方程，重新整理即可。如边界点已知水头Hb在结点（1,3）上： = = Hb ， 只需将该值代入与结点（1,3）有关的内结点即可。 a2,3 ＋b2,3 ＋c2,3 ＋e2,3 ＋f2,3 ＝d2,3 2、第二类边界条件：隔水边界。在隔水边界外再设一排虚结点，令虚结点的导水系数为零（T＝0)，这样在隔水边界内侧结点上列差分方程时，自然会形成隔水边界，如图所示（a)。 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算3、第三类边界条件：已知边界侧向径流量。流入均衡区为正，流出为负，并记入εi,j项中，形成隔水边界同二类进行处理。 4、第四类边界条件：侧向径流量为时间的函数。取时段初与时段末的径流量的平均值并入εi,j项中，形成隔水边界同二类进行处理。 若第2、3、4类边界结点在边界上，T = q 则外法线方向n(x轴负方向），边界水头有如下关系 T（ － ）/Δx = q （11） 隔水边界时q=0，计算时将（11）式所得边界方程与内结点方程联立求解，即可求得各结点水头值。 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算七、例题 一维承压含水层非稳定渗流数学模型有限差分法。 承压含水层均质等厚，各向同性，顶板和底板水平且无限延伸，含水层水头与两侧河流水位相同。由于某种原因，两条对称边界河流水位突然下降至0－0，求解含水层的水头随时间下降的过程。 ＋ε＝u* (0＜x<＜L ，t＞0) H(x ,t)＝Ha (0≤x≤ L ， t=0) H(x ,t)＝Hb＝0 ( x＝0， x＝L， t＞0) 解： θ[Ti+1/2（ － ）－Ti-1/2( － )]＋ (1 －θ)[Ti+1/2( － )－Ti-1/2( － )＋εiΔx² = uiΔx²( － )/ΔtK 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算当θ=0、1/2、1分别为显式、中心差分和隐式差分格式。 ai ＋bi ＋ci ＝di i=1、2、3、...n 区域离散化：Δx＝L/(n+1)，将区域（0～L）n+1等份，0结点和n结点位于左端和右端边界上，边界结点H0＝Hn+1＝Hb。 将差分方程依次用于全部内结点则有方程组： a1 ＋b1 ＋c1 ＝d1 a2 ＋b2 ＋c2 ＝d2 - - - - an ＋bn ＋cn ＝dn 将边界水头 和 代入第一个方程和第n个方程得 第三章 地下水资源数量数值计算 第三章 地下水资源数量数值计算 b1 ＋c1 ＝d1-a1 ＝d1¹ an ＋bn ＝dn-cn ＝dn¹ 代入上述方程组得： b1 ＋c1 ＝d1¹ a2 ＋b2 ＋c2 ＝d2 an-1 ＋bn-1 ＋cn-1 ＝dn-1 - - - - an ＋bn